高中数学必修第一册人教A版（2019）4.5《函数模型的应用》教学设计（表格式）

《函数模型的应用》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
问题引入 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率. （1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型. （2）利用（1）中的模型计算1951～ 1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. （3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？ 师：形如的函数为指数型函数，生产生活中以此函数构建模型的实例很多（如“问题引入”中的题目）. 学生在教师的引导下审题、建模、求解、检验，尝试完成此问题. 师生合作总结解答思路及题型特征. 师生共同完成题目的解答： （1）由题意知=55 196，设1950～1959年期间我国人口的年平均增长率为，根据马尔萨斯人口增长模型，有67 207=55 196，由计算工具得0.021 876. 因此我国在1950～1959年期间的人口增长模型为 ，. （2）分别取，由可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951～1958年各年末的实际人口总数，如下表所示. 根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数（）的图象（如下图） 由表和图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合. （3）将130 000代入 ， 由计算工具得. 所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿. 通过人口问题导入课题，让学生熟悉数学模型的实际应用价值. 让学生明确：如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的压力.
例题讲解 例1 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数 建立数学模型. 例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据. 例3 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？ 分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司的总利润.于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即. 不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果. 师生合作探究解答过程. 解：设样本中碳14的初始量为，衰减率为，经过年后，残余量为.根据问题的实际意义，可选择如下模型： . 由碳14的半衰期为5730年，得 . 于是. 所以. 由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知， ， 即. 解得. 由计算工具得. 因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的. 师生合作探究解答过程. 解：设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数 进行描述；方案三可以用函数进行描述. 三种方案所得回报的增长情况见教材第151页表4.5-5. 再画出三个函数的图象（见教材第151页图4.5-7）. 由表和图可知，从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元. 下面再看累计的回报数，通过信息技术列表（见教材第152页表4.5-6）. 因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三. 教师出示例3，让学生明确：本题 是已知3个函数模型，根据已知数据推断这3个模型中哪个符合公司的要求（即契合度最高）. 这种题型和之前学习的根据函数模型计算相关数据和自己根据数据推断函数模型都不同，教师要关注学生是否会解决. 教师提示学生：利用函数图象来辅助对题目的理解是一个好方法. 解：借助信息技术画出函数，，，的图象（见教材第153页图4.5-8）. 观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型，的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求. 下面通过计算确认上述判断. 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型，它在区间 [10，1 000]上单调递增，而且当时，，因此，当时，，所以该模型不符合要求； 对于模型，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间 内有一个点满足，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当时，，所以该模型也不符合要求； 对于模型，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当1 000时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求. 再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当[10，1 000]时，是否有成立. 令，[10，1 000]，利用信息技术画出它的图象（见教材第153页图4.5-9）.由图象可知函数在区间[10，1 000]上单调递减，因此 ， 即. 所以当时，，说明按模型奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型确实能符合公司要求. 将实际问题转化为数学问题，利用合理的函数模型来解决实际，培养学生分析问题、解决问题的能力. 利用表格、图象，根据不同函数的增长快慢解决实际问题，提升学生的知识运用能力. 通过借助函数解决函数模型的优化选择问题，培养学生的数学运算素养.
归纳总结 数学建模的主要步骤： （1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景，弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题. （2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量. （3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等. （4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解. （5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性；如果不满意，要考虑重新建模. （6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果做出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围；如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤. 师生合作，反思、归纳、总结、完善. 学生通过独立思考和必要的交流，分析归纳例题的解题过程，简述建模的主要步骤. 教师点评、总结学生的回答，然后完善归纳步骤. 培养学生整理知识的习惯，提升归纳总结能力.
课后练习 教材第154页练习第1，2题. 学生独立完成. 强化基础，提高能力.
板书设计
4.5.3 函数模型的应用 问题引入 例1 例2 例3 数学建模的主要步骤： （1）理解问题 （2）简化假设 （3）数学建模 （4）求解模型 （5）检验模型 （6）评价与应用 课后练习
教学研讨
本节课是比较难上的一节课，对于学生和教师来说都是如此.应用性比较强，计算的冗长可能会影响学生对整体问题思路的把握，需要做好课堂教学的整体规划.另外应用计算机画图必须熟练，否则课堂上就会分散学生的注意力，要让学生真正从计算机画图中认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的应用价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美.