高中数学必修第一册人教A版（2019）4.5.2《用二分法求方程的近似解》教学设计（表格式）

《用二分法求方程的近似解》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 引入课题 问题：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在定理判定根的存在性，而没有公式，求根的操作就无法下手，如何求得方程的根呢？ （1）函数在区间内有零点. （2）如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值. （3）通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. （4）取区间的中点2.5，用计算器算得.因为，所以零点在区间内.再取区间的中点2.75，用计算器算得.因为，所以零点在区间内. （5）由于，所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如下表）. （6）例如，当精确度为0.01时，由于 ，所以，我们可以将作为函数零点的近似值，也即方程 的近似解. 师：怎样求方程的根？ 引导学生观察图象. 生：方程的根在区间内. 师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根？ 生：应该可以. 师：我们现在用一种常见的数学方法——二分法，共同探究已知方程的根. 师生合作，借助计算机探求方程的近似解. 由旧到新设疑、析疑导入课题，通过实例了解二分法，进一步师生合作尝试用二分法求近似根，提升学生的数学运算素养.
概念形成 1.对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的中点. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤（2）～（4）. 教师给出二分法的概念，让学生理解. 通过上面的求解过程，试着让学生自己总结二分法的解题步骤，有不对或遗漏的，教师随时补充. 教师着重讲解零点所在区间的归属条件，避免学生出现选择区间上的错误. 教师明确精确度的概念和判断方法，即“算法”何时结束的条件. 由特殊到一般形成概念，归纳总结应用二分法的步骤.
应用举例 例 借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）. 解：原方程即， 令，用计算器或计算机画出函数的图象（如下图），并列出它的对应值表（如下表）. 012345678-6-2310214075142273
观察图或表，可知，说明这个函数在区间内存在零点. 取区间的中点，用计算器算得.因为，所以. 再取区间的中点，用计算器算得.因为，所以. 同理可得，. 由于，所以，原方程的近似解可取为1.375. 师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.教师提醒学生注意精确度的要求. 尝试体验二分法，培养学生应用二分法求方程的近似解的能力，提升数学运算素养.
巩固练习 1.借助计算器或计算机，用二分法求函数在区间内的零点（精确度为0.1）. 2.借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间内的近似解（精确度为0.1）. 第1题按照二分法的步骤一步一步计算即可，注意精确度的要求，不要选错区间. 1.解：由题设可知，，于是，所以，函数在区间内有一个零点.下面用二分法求函数在区间内的零点. 取区间的中点，用计算器可算得.因为，所以. 再取区间的中点，用计算器可算得. 因为，所以. 同理可得，. 由0.1，所以原方程的近似解可取为0.625. 第2题由于出现了对数计算，所以需要借助计算器来帮助简化运算，提高解题效率. 2.解：原方程即，令，用计算器可算得，，于是，所以，这个方程在区间内有一个解.下面用二分法求方程在区间内的近似解. 取区间的中点，用计算器可算得. 因为，所以. 再取区间的中点，用计算器可算得. 因为，所以. 同理可得，. 由于，所以原方程的近似解可取为2.562 5. 进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与技巧及注意事项.
归纳总结 1.二分法的定义. 2.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤.
课后作业 教材第155页习题4.5第4，5题.
板书设计
4.5.2 用二分法求方程的近似解 1.对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的中点. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤（2）～（4） 例 巩固练习 小结 1.二分法的定义 2.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
教学研讨
本案例首先由教师通过提出问题引入课题，然后师生合作解决问题，从而使学生理解和掌握用二分法求方程近似解的基本步骤和注意事项，最后通过例题讲解和练习的跟踪检查，基本可以达到预想的效果，让学生多动手多动脑，教师把课堂还给了学生，把舞台让给了学生，教师充当“导演”的角色，还原了“一节真实的课堂”.