人教版七年级数学上册4.3.2 角的比较与运算 同步课堂教案
文档属性
| 名称 | 人教版七年级数学上册4.3.2 角的比较与运算 同步课堂教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-08 09:57:52 | ||
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文档简介
第四章 几何图形初步
4.3 角
4.3.2 角的比较与运算
一、教学目标
1. 掌握角的大小的比较方法.
2. 理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.
3. 会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
二、教学重难点
重点：掌握角的大小的比较方法、角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
难点：角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
三、教学过程
【新课导入】
[情境导入]有一天学生张亮和王帅各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:
张:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.
王:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
[提出问题]同学们，你们有办法帮他们进行判断吗
怎样比较∠ABC和∠DEF的大小
【新知探究】
（一）角的比较与计算
[温故知新]线段长短的比较
线段的和、差
线段中点
若点 C 是线段 AB 的中点，则AC = BC，AC = BC =AB，AB = 2 AC = 2 BC.
[类比探究]类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
1. 度量法
2. 叠合法
想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？( 两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )
[观察思考]图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
它们的关系：
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB=∠BOC.
[针对练习]如图所示：
(1) ∠AOC是哪两个角的和？∠AOC =∠AOB +∠BOC.
(2) ∠AOB是哪两个角的差？∠AOB =∠AOC －∠BOC =∠AOD－∠BOD.
(3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？
∠AOC =∠BOD.
[典型例题]例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.
解：∵∠AOB 是平角，∠AOB＝ ∠AOC+∠BOC.
∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－53°17′
＝179°60′－53°17′
＝126°43′.
[变式训练]（1）如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则 ∠AOB＝ 75 °．
(2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝ 20 °．
(3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC＝ 90°或30° ．
提示：无图条件下要分情况讨论
[合作探究] 如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？
一副三角尺有两种规格，角度的度数有90°、60°、30°、45°。
①用一副三角尺可以画出15°，可以用三角尺45°-30°=15°
②用一副三角尺可以画出75°，可以用三角尺45°+30°=75°
③用一副三角尺可以画出105°，可以用三角尺45°+60°=105°
④用一副三角尺可以画出120°，可以用三角尺90°+30°=120°
⑤用一副三角尺可以画出135°，可以用三角尺45°+90°=135°
⑥用一副三角尺可以画出150°，可以用三角尺90°+60°=150°
⑦用一副三角尺可以画出180°，可以用三角尺90°+90°=180°
综上，可以画出的都是15的倍数.
[典型例题]例2 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51°+3°÷7= 51°+180′÷7≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
[变式训练]计算：（1） 120°－38°41′；
解：原式 = 119°60′－38°41′= 81°19′ .
（2）67°31′+48°49′.
解：原式 = (67+48)°+(31+49)′= 115°97′= 116°37′ .
[方法总结]涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.
[针对练习]1.20°30′×8；
解：原式 = 20°×8+30′×8 = 160°240′= 164°
2. 106°6′÷5.
解：原式 = (106÷5)°+(6÷5)′= 21°+1°÷5+(6÷5)′= 21°+(66÷5)′
=21°+13′+1′÷5=21°+13′+60″÷5 =21°13′12″
（二）角的平分线
[课件展示]动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：
∠AOC_＝__∠COB;∠AOB=___2__∠AOC.
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
应用格式：∵ OC 是∠AOB 的角平分线，
∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB，∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
[典型例题]例3 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，∠AOC=80°，
所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为 OD 平分∠COE，所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？
解：因为 ∠COD=30°， OD 平分∠COE，所以 ∠COE=2∠COD=60°，
所以 ∠AOC=∠AOE－∠COE =140°－60°= 80°.又因为 OB 平分∠AOC，所以
∠AOB=∠AOC=×80°= 40°.
例4 如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．
解：分以下两种情况：
①如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，
∴∠AOC=2x=2×8°=16°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．
②如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，
∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，
∴3x-2x=40°，得x=40°，
∴∠AOC=2x=2×40°=80°，
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
[方法总结]涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
[针对练习]1. 如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是 ( A )
2. 如图，OC是平角∠AOB的角平分线，∠COD=32°，求∠AOD的度数.
答案：∠AOD=122°.
【课堂小结】
【课堂训练】
1. 如图，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，则∠BOC=____.34°
2. 已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC的度数是 .13°或63°
3. 如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
答案：∠COD=10°.
4. 计算：
(1) 12°36′56″+45°24′35″； (2) 79°45′+61°48′49″；
(3) 62°24′17″×4； (4) 102°43′÷3.
答案：(1)58°；(2)141°33′49″；(3)249°37′8″； (4)34°14′20″.
5.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
解：设∠COD=x，
∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°-x，
∴∠AOB=90°+60°-x=150°-x，
∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°-x=3x，解得x=37.5°，
∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．
6.如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1) 求∠EOD的度数；
解：∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC ＝(∠BOC＋∠AOC )＝∠AOB＝×120°＝60°.
(2) 若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
解：∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°， ∴∠AOC＝120°－90°＝30°.
∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.
4.3 角
4.3.2 角的比较与运算
一、教学目标
1. 掌握角的大小的比较方法.
2. 理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.
3. 会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
二、教学重难点
重点：掌握角的大小的比较方法、角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
难点：角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
三、教学过程
【新课导入】
[情境导入]有一天学生张亮和王帅各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:
张:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.
王:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
[提出问题]同学们，你们有办法帮他们进行判断吗
怎样比较∠ABC和∠DEF的大小
【新知探究】
（一）角的比较与计算
[温故知新]线段长短的比较
线段的和、差
线段中点
若点 C 是线段 AB 的中点，则AC = BC，AC = BC =AB，AB = 2 AC = 2 BC.
[类比探究]类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
1. 度量法
2. 叠合法
想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？( 两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )
[观察思考]图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
它们的关系：
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB=∠BOC.
[针对练习]如图所示：
(1) ∠AOC是哪两个角的和？∠AOC =∠AOB +∠BOC.
(2) ∠AOB是哪两个角的差？∠AOB =∠AOC －∠BOC =∠AOD－∠BOD.
(3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？
∠AOC =∠BOD.
[典型例题]例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.
解：∵∠AOB 是平角，∠AOB＝ ∠AOC+∠BOC.
∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－53°17′
＝179°60′－53°17′
＝126°43′.
[变式训练]（1）如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则 ∠AOB＝ 75 °．
(2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝ 20 °．
(3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC＝ 90°或30° ．
提示：无图条件下要分情况讨论
[合作探究] 如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？
一副三角尺有两种规格，角度的度数有90°、60°、30°、45°。
①用一副三角尺可以画出15°，可以用三角尺45°-30°=15°
②用一副三角尺可以画出75°，可以用三角尺45°+30°=75°
③用一副三角尺可以画出105°，可以用三角尺45°+60°=105°
④用一副三角尺可以画出120°，可以用三角尺90°+30°=120°
⑤用一副三角尺可以画出135°，可以用三角尺45°+90°=135°
⑥用一副三角尺可以画出150°，可以用三角尺90°+60°=150°
⑦用一副三角尺可以画出180°，可以用三角尺90°+90°=180°
综上，可以画出的都是15的倍数.
[典型例题]例2 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51°+3°÷7= 51°+180′÷7≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
[变式训练]计算：（1） 120°－38°41′；
解：原式 = 119°60′－38°41′= 81°19′ .
（2）67°31′+48°49′.
解：原式 = (67+48)°+(31+49)′= 115°97′= 116°37′ .
[方法总结]涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.
[针对练习]1.20°30′×8；
解：原式 = 20°×8+30′×8 = 160°240′= 164°
2. 106°6′÷5.
解：原式 = (106÷5)°+(6÷5)′= 21°+1°÷5+(6÷5)′= 21°+(66÷5)′
=21°+13′+1′÷5=21°+13′+60″÷5 =21°13′12″
（二）角的平分线
[课件展示]动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：
∠AOC_＝__∠COB;∠AOB=___2__∠AOC.
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
应用格式：∵ OC 是∠AOB 的角平分线，
∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB，∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
[典型例题]例3 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，∠AOC=80°，
所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为 OD 平分∠COE，所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？
解：因为 ∠COD=30°， OD 平分∠COE，所以 ∠COE=2∠COD=60°，
所以 ∠AOC=∠AOE－∠COE =140°－60°= 80°.又因为 OB 平分∠AOC，所以
∠AOB=∠AOC=×80°= 40°.
例4 如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．
解：分以下两种情况：
①如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，
∴∠AOC=2x=2×8°=16°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．
②如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，
∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，
∴3x-2x=40°，得x=40°，
∴∠AOC=2x=2×40°=80°，
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
[方法总结]涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
[针对练习]1. 如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是 ( A )
2. 如图，OC是平角∠AOB的角平分线，∠COD=32°，求∠AOD的度数.
答案：∠AOD=122°.
【课堂小结】
【课堂训练】
1. 如图，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，则∠BOC=____.34°
2. 已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC的度数是 .13°或63°
3. 如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
答案：∠COD=10°.
4. 计算：
(1) 12°36′56″+45°24′35″； (2) 79°45′+61°48′49″；
(3) 62°24′17″×4； (4) 102°43′÷3.
答案：(1)58°；(2)141°33′49″；(3)249°37′8″； (4)34°14′20″.
5.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
解：设∠COD=x，
∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°-x，
∴∠AOB=90°+60°-x=150°-x，
∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°-x=3x，解得x=37.5°，
∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．
6.如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1) 求∠EOD的度数；
解：∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC ＝(∠BOC＋∠AOC )＝∠AOB＝×120°＝60°.
(2) 若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
解：∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°， ∴∠AOC＝120°－90°＝30°.
∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.