直线与平面垂直的判定课件
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课件71张PPT。2.3.1直线与平面垂直的判定问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、
大桥桥柱与水面是什么位置关系？垂直前提测评问题2：如图，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？旗杆AB不仅与地面上任意一条过旗杆底部B的
直线垂直，且与地面上任意直线a也是垂直的 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 ．平面 的垂线垂足定义直线与平面垂直直线与平面的一条边垂直线面垂直的定义常这样使用简记：线面垂直，则线线垂直 1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l 和平面 α互相垂直（ ） 思考：
? Bl 直线 l 垂直于平面α ，则直线 l 垂直于平面α中的任意一条直线?思考：
如何证明直线与平面垂直?当折痕AD是三角形的高时，AD才会与平面垂直
即，当AD与两条相交直线垂直，AD⊥ a是否一定要证明直线与平面中的所有直线垂直?直线与平面垂直 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 过 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触） 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直． 如果一条直线和一个平面内的
两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这
个平面.判定定理：简称：线线垂直，则线面垂直平面内的两条相交直线线不在多,
重在相交. 例1 如图，已知 ，求证所以例题讲解练习3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这
两条直线平行．练习2.过一点只有一个平面和一条直线垂直．练习1.过一点只有一条直线和一个平面垂直．结论1.结论2.结论3. 常用结论发散例2:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC ，PB =PD .
求证：PO⊥平面ABCD 如图，直四棱柱 A’B’C’D’- ABCD（侧棱与底面垂直
的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么
条件时， A’C⊥B’D’？探究.结论：
当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时， A’C⊥B’D’达标测评(1)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面.( )
(2)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
(3)若一条直线与一个梯形的两腰垂直,则这条直线垂直于梯形所在的平面.( )
判断下列命题是否正确？ ××（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内没有与这条直线垂直的直线。( )复习：下列六个命题，其中正确命题的个数是几个（ ）
过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
过已知平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
过已知直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行
A 6 B 5 C 4 D 3D P67 1. 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，
求证：VB⊥ACP且VP∩BP=P AC^平面VPB AC^VB∵VA=VC,且P为AC的中点AC^VP同理AC^BP解：取AC的中点P，连接VP、VB又VP 面VPB,PB 面VPB 2. 过△ABC所在平面a外一点P，作 PO⊥ a，垂足为
O ，连接PA，PB，PC
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的 点
（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的 心
（3）若PA⊥PB， PB⊥PC， PC⊥PA，则点O是△ABC的
心。中外
垂平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC.PD⊥AB，PE⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，AB⊥PO，BC⊥PO【解】 如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.
因为PA＝PB＝PC，
所以PD⊥AB，PE⊥BC，
因为O是△ABC的外心，
所以OD⊥AB，OE⊥BC，
又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E，
所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，
于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，
从而推得PO⊥平面ABC. 例2：一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？又因为所以 又因为:所以:因此，旗杆OP与地面垂直． 练习2: 已知 ， 于 ， 于 ， 于点 ，求证： ． 2、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证：AC⊥面BDD1B1AA1B1DCBD1C1AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B练习PA⊥ABPA⊥ADBC⊥AEBF⊥AEAE⊥平面BCF思考：在Rt△ABC中,∠B=90°,P为△ABC所在平
面外一点,PA⊥平面ABC. 四面体P-ABC中有几个直角三角形。ACBP△PAB△ABC△PAC△PBCDE⊥EB，DE⊥EC，DE⊥BC，3、如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，
且AA1⊥底面ABC，D为CC1的中点，AB1与A1B相
交于点O，连接OD.
证明：⑴OD//面ABC；
⑵AB1⊥面A1BD.AA1B1CBC1DOEAB1⊥A1B，AB1⊥OD，AB1⊥CE，CE⊥面ABO，面ABB1⊥CE，AB1⊥CE，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，点O是底
ABCD对角线的交点
求证：（1）C1O//面AB1D1
（2）A1C⊥面AB1D1． A1C⊥D1B1，A1C⊥DB，面A1AC⊥DB，A1B⊥AB1，A1B⊥BC面A1BC⊥ AB1 ，A1C⊥ AB1 BC⊥ADSC⊥AD 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,垂足和斜足的连线叫做斜线在平面内的摄影OAP直线和平面所成角
PA:
A:
OA：和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点叫做斜足平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做直线和平面所成的角直线和平面所成角的取值范围是[0°,90°]
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影ADCB巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影ADCB巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角ADCB0o巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角ADCB90o巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角ADCB45o巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角ADCB30o巩固练习5.如图所示，若斜线段AB是它在平面
α上的射影BO的2倍，则AB与平面α
所成的角是 ( )
A．60° B．45° C．30° D．120°答案：A思考：在Rt△ABC中,∠B=90°,P为△ABC所在平
面外一点,PA⊥平面ABC.(2)指出PB、PC与平面ABC所成的角，
AC、PC与平面PAB所成的角.ACBP例1.正方体AC’中，求直线AB’与平面AC所成的角.ABCDA’B’C’D’例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，求直线A1B与平面A1B1CD所成的角。AC1DCBOB1A1D1如图：＿＿＿＿是斜线AC
在 内的射影，线段BC是
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影． 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．射影直线BC斜线段AC在 内的射影ACBFE说明：斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？ 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。2.直线和平面所成角的定义ABO①一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；②一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角。说明：③直线和平面所成角的范围是[0， ]例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求A1B与平面BB1D1D所成的角 判断题：
（1）等长的斜线段在同一平面内射影等长（ ）
（2）一个平面内有无数条直线和这个平面的
一条斜线垂直（ ）
（3）一条直线如果和一个平面的斜线垂直，则这条直线
就垂直于这条斜线在这个平面内的射影（ ）
（4）一条直线平行于一个平面且垂直这个平面的一条
斜线在平面上的射影，则这条直线垂直于这条斜线（ ）
DD6．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
侧棱长为 底面三角形的边长为1，
则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 ．
A知识小结1.直线与平面垂直的定义线线垂直线面垂直 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 ．2.直线与平面垂直的判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．3．数学思想方法：转化的思想 课堂练习1．选择题
如果一条直线L与平面?的一条垂线垂直，那么直线L与平面?的位置关系是（ ）
（A）L?? （B）L⊥? （C）L∥? （D）L??或L∥?2．填空题
（1）过直线外一点作直线的垂线有_____条；垂面有___个；平行线有__条；平行平面有_____个.
（2）过平面外一点作该平面的垂线有___条；垂面有____个；平行线有 条；平行平面有___个.D无数一一无数无数无数一一例2，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点
（1）证明：PA//面EDB
（2）求EB与底面ABCD所成角的正切值PDCABEO四.知识小结：间接法直接法（1）（2）数学思想方法：转化的思想 (1)定义：平面的一条斜线和它在平
面上的 所成的 ，叫做这条直线
和这个平面所成的角．
如图， 就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是 .
(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 .
(4)线面角θ的范围： .射影锐角∠PAO90°0°0°≤θ≤90° [例1] 有下列四个命题，正确的命题的序号是____．
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α； ④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α. [精解详析] ①正确；
对于②，若直线n?α，也可满足m⊥n，m⊥α，
此时n∥α不正确；
对于③，注意a，b需相交；
④显然错误，因为不平行即相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．
[答案] ①1．下列说法中，正确的是 ( )
A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能
相交，可能异面，也可能平行
C．若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α解析：当l与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥α，故A错；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．
答案：C2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面
α的位置关系是 ( )
A．平行 B．垂直
C．在平面α内 D．无法确定解析：当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当面α内的两直线平行时，l?α或l∥α或l与α斜交．
答案：D3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB,
求证：（1）PA BC
（2）BC 平面PAC [例2] 如图所示，已知PA垂直于
⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，
C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥
PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.
[思路点拨] 只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转证BC垂直于平面PAC即可．[精解详析] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.3．如图，旗杆PO，若测量PO＝4，PA＝PB＝5，
OA＝OB＝3，则旗杆和地面α的关系是______．解析：△POA中，PO2＋OA2＝PA2.
∴AO⊥OP.△POB中，PO2＋OB2＝PB2，
∴OB⊥OP，∴OP⊥面α内两相交直线OA，OB，
∴OP⊥α.
答案：垂直 [例3] (12分)(2010·湖南高考改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值． [例3] (12分)(2010·湖南高考改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值． [精解详析] 取AA1的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，
所以EM∥AD. (3分)
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥平面ABB1A1， (5分)
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角． (7分) 6.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与 平面ABCD所成的角．6．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC 所成角的正弦值为 .作AH垂直于DC，因为各棱相等，所以DB1垂直于AH，AH垂直于平面DCB1，所以角ADH为AD与平面DCB1的夹角，设棱长为单位1，AD=DC=[5^(1/2)]/2，根据三角形DAC的面积得AH=AC*A1A/DC=2/[5^(1/2)]，正弦值AH/AD=4/5。H l是平面? 的斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是平面? 的垂线，B是垂足，直线OB是l在?内的射影， ∠AOB (记作θ）是l与平面? 所成的角.θ与∠AOD的大小关系如何？COD是? 内不同于OB的任一直线，过点A引AC垂直于OD，垂足为C.θ与∠AOD的大小关系如何？在Rt△AOB中，在Rt △AOC中，∵AB＜AC，
∴sinθ＜sin∠AOD∴θ＜∠AOD 拓展：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。C定理： 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。例1.如图，AO是平面π的斜线，AB ⊥平面π于B，OD是π内不与OB重合的直线，∠AOB=? ，∠BOD= ? ，∠AOD=? ，求证：cos ? =cos ? cos ?ABOC
大桥桥柱与水面是什么位置关系？垂直前提测评问题2：如图，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？旗杆AB不仅与地面上任意一条过旗杆底部B的
直线垂直，且与地面上任意直线a也是垂直的 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 ．平面 的垂线垂足定义直线与平面垂直直线与平面的一条边垂直线面垂直的定义常这样使用简记：线面垂直，则线线垂直 1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l 和平面 α互相垂直（ ） 思考：
? Bl 直线 l 垂直于平面α ，则直线 l 垂直于平面α中的任意一条直线?思考：
如何证明直线与平面垂直?当折痕AD是三角形的高时，AD才会与平面垂直
即，当AD与两条相交直线垂直，AD⊥ a是否一定要证明直线与平面中的所有直线垂直?直线与平面垂直 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 过 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触） 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直． 如果一条直线和一个平面内的
两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这
个平面.判定定理：简称：线线垂直，则线面垂直平面内的两条相交直线线不在多,
重在相交. 例1 如图，已知 ，求证所以例题讲解练习3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这
两条直线平行．练习2.过一点只有一个平面和一条直线垂直．练习1.过一点只有一条直线和一个平面垂直．结论1.结论2.结论3. 常用结论发散例2:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC ，PB =PD .
求证：PO⊥平面ABCD 如图，直四棱柱 A’B’C’D’- ABCD（侧棱与底面垂直
的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么
条件时， A’C⊥B’D’？探究.结论：
当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时， A’C⊥B’D’达标测评(1)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面.( )
(2)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
(3)若一条直线与一个梯形的两腰垂直,则这条直线垂直于梯形所在的平面.( )
判断下列命题是否正确？ ××（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内没有与这条直线垂直的直线。( )复习：下列六个命题，其中正确命题的个数是几个（ ）
过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
过已知平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
过已知直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行
A 6 B 5 C 4 D 3D P67 1. 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，
求证：VB⊥ACP且VP∩BP=P AC^平面VPB AC^VB∵VA=VC,且P为AC的中点AC^VP同理AC^BP解：取AC的中点P，连接VP、VB又VP 面VPB,PB 面VPB 2. 过△ABC所在平面a外一点P，作 PO⊥ a，垂足为
O ，连接PA，PB，PC
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的 点
（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的 心
（3）若PA⊥PB， PB⊥PC， PC⊥PA，则点O是△ABC的
心。中外
垂平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC.PD⊥AB，PE⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，AB⊥PO，BC⊥PO【解】 如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.
因为PA＝PB＝PC，
所以PD⊥AB，PE⊥BC，
因为O是△ABC的外心，
所以OD⊥AB，OE⊥BC，
又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E，
所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，
于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，
从而推得PO⊥平面ABC. 例2：一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？又因为所以 又因为:所以:因此，旗杆OP与地面垂直． 练习2: 已知 ， 于 ， 于 ， 于点 ，求证： ． 2、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证：AC⊥面BDD1B1AA1B1DCBD1C1AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B练习PA⊥ABPA⊥ADBC⊥AEBF⊥AEAE⊥平面BCF思考：在Rt△ABC中,∠B=90°,P为△ABC所在平
面外一点,PA⊥平面ABC. 四面体P-ABC中有几个直角三角形。ACBP△PAB△ABC△PAC△PBCDE⊥EB，DE⊥EC，DE⊥BC，3、如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，
且AA1⊥底面ABC，D为CC1的中点，AB1与A1B相
交于点O，连接OD.
证明：⑴OD//面ABC；
⑵AB1⊥面A1BD.AA1B1CBC1DOEAB1⊥A1B，AB1⊥OD，AB1⊥CE，CE⊥面ABO，面ABB1⊥CE，AB1⊥CE，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，点O是底
ABCD对角线的交点
求证：（1）C1O//面AB1D1
（2）A1C⊥面AB1D1． A1C⊥D1B1，A1C⊥DB，面A1AC⊥DB，A1B⊥AB1，A1B⊥BC面A1BC⊥ AB1 ，A1C⊥ AB1 BC⊥ADSC⊥AD 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,垂足和斜足的连线叫做斜线在平面内的摄影OAP直线和平面所成角
PA:
A:
OA：和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点叫做斜足平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做直线和平面所成的角直线和平面所成角的取值范围是[0°,90°]
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影ADCB巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影ADCB巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角ADCB0o巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角ADCB90o巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角ADCB45o巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角ADCB30o巩固练习5.如图所示，若斜线段AB是它在平面
α上的射影BO的2倍，则AB与平面α
所成的角是 ( )
A．60° B．45° C．30° D．120°答案：A思考：在Rt△ABC中,∠B=90°,P为△ABC所在平
面外一点,PA⊥平面ABC.(2)指出PB、PC与平面ABC所成的角，
AC、PC与平面PAB所成的角.ACBP例1.正方体AC’中，求直线AB’与平面AC所成的角.ABCDA’B’C’D’例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，求直线A1B与平面A1B1CD所成的角。AC1DCBOB1A1D1如图：＿＿＿＿是斜线AC
在 内的射影，线段BC是
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影． 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．射影直线BC斜线段AC在 内的射影ACBFE说明：斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？ 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。2.直线和平面所成角的定义ABO①一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；②一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角。说明：③直线和平面所成角的范围是[0， ]例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求A1B与平面BB1D1D所成的角 判断题：
（1）等长的斜线段在同一平面内射影等长（ ）
（2）一个平面内有无数条直线和这个平面的
一条斜线垂直（ ）
（3）一条直线如果和一个平面的斜线垂直，则这条直线
就垂直于这条斜线在这个平面内的射影（ ）
（4）一条直线平行于一个平面且垂直这个平面的一条
斜线在平面上的射影，则这条直线垂直于这条斜线（ ）
DD6．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
侧棱长为 底面三角形的边长为1，
则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 ．
A知识小结1.直线与平面垂直的定义线线垂直线面垂直 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 ．2.直线与平面垂直的判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．3．数学思想方法：转化的思想 课堂练习1．选择题
如果一条直线L与平面?的一条垂线垂直，那么直线L与平面?的位置关系是（ ）
（A）L?? （B）L⊥? （C）L∥? （D）L??或L∥?2．填空题
（1）过直线外一点作直线的垂线有_____条；垂面有___个；平行线有__条；平行平面有_____个.
（2）过平面外一点作该平面的垂线有___条；垂面有____个；平行线有 条；平行平面有___个.D无数一一无数无数无数一一例2，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点
（1）证明：PA//面EDB
（2）求EB与底面ABCD所成角的正切值PDCABEO四.知识小结：间接法直接法（1）（2）数学思想方法：转化的思想 (1)定义：平面的一条斜线和它在平
面上的 所成的 ，叫做这条直线
和这个平面所成的角．
如图， 就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是 .
(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 .
(4)线面角θ的范围： .射影锐角∠PAO90°0°0°≤θ≤90° [例1] 有下列四个命题，正确的命题的序号是____．
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α； ④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α. [精解详析] ①正确；
对于②，若直线n?α，也可满足m⊥n，m⊥α，
此时n∥α不正确；
对于③，注意a，b需相交；
④显然错误，因为不平行即相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．
[答案] ①1．下列说法中，正确的是 ( )
A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能
相交，可能异面，也可能平行
C．若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α解析：当l与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥α，故A错；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．
答案：C2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面
α的位置关系是 ( )
A．平行 B．垂直
C．在平面α内 D．无法确定解析：当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当面α内的两直线平行时，l?α或l∥α或l与α斜交．
答案：D3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB,
求证：（1）PA BC
（2）BC 平面PAC [例2] 如图所示，已知PA垂直于
⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，
C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥
PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.
[思路点拨] 只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转证BC垂直于平面PAC即可．[精解详析] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.3．如图，旗杆PO，若测量PO＝4，PA＝PB＝5，
OA＝OB＝3，则旗杆和地面α的关系是______．解析：△POA中，PO2＋OA2＝PA2.
∴AO⊥OP.△POB中，PO2＋OB2＝PB2，
∴OB⊥OP，∴OP⊥面α内两相交直线OA，OB，
∴OP⊥α.
答案：垂直 [例3] (12分)(2010·湖南高考改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值． [例3] (12分)(2010·湖南高考改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值． [精解详析] 取AA1的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，
所以EM∥AD. (3分)
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥平面ABB1A1， (5分)
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角． (7分) 6.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与 平面ABCD所成的角．6．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC 所成角的正弦值为 .作AH垂直于DC，因为各棱相等，所以DB1垂直于AH，AH垂直于平面DCB1，所以角ADH为AD与平面DCB1的夹角，设棱长为单位1，AD=DC=[5^(1/2)]/2，根据三角形DAC的面积得AH=AC*A1A/DC=2/[5^(1/2)]，正弦值AH/AD=4/5。H l是平面? 的斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是平面? 的垂线，B是垂足，直线OB是l在?内的射影， ∠AOB (记作θ）是l与平面? 所成的角.θ与∠AOD的大小关系如何？COD是? 内不同于OB的任一直线，过点A引AC垂直于OD，垂足为C.θ与∠AOD的大小关系如何？在Rt△AOB中，在Rt △AOC中，∵AB＜AC，
∴sinθ＜sin∠AOD∴θ＜∠AOD 拓展：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。C定理： 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。例1.如图，AO是平面π的斜线，AB ⊥平面π于B，OD是π内不与OB重合的直线，∠AOB=? ，∠BOD= ? ，∠AOD=? ，求证：cos ? =cos ? cos ?ABOC