第三章 圆锥曲线的方程 过关检测(B卷)（含解析）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 过关检测(B卷)（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 130.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-08 05:42:00 | ||
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文档简介
《第三章 圆锥曲线的方程》过关检测(B卷)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.椭圆2x2+y2=8的长轴长为( )
A.2 B.4
C.2 D.4
2.若抛物线的准线与坐标轴的交点是,则抛物线的标准方程为( )
A.x2=-2y B.x2=2y
C.y2=2x D.y2=-2x
3.已知椭圆=1与双曲线y2-=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为( )
A.48 B.24
C.24 D.12
4.已知A(3,4)是双曲线C:=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若以F1F2为直径的圆经过点A,则双曲线C的离心率为( )
A. B.2
C. D.5
5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|·|BF|=8,则p的值为( )
A.4 B.
C.1 D.2
6.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
7.若抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线的准线与x轴相交于点K,P为抛物线上一点,且∠KFP=,则△KFP的面积为( )
A.8 B.4
C.2 D.或2
8.设F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方,且满足|AF1|=3|F1B|,cos ∠AF2B=,则点A位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.y轴上
D.都有可能
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若方程=1所表示的曲线为C,则下面说法正确的是( )
A.若C为椭圆,则1B.若C为双曲线,则t>3或t<1
C.曲线C可能是圆
D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则110.已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AP,BP相交于点P,且两直线的斜率之积为m,则下列结论正确的是( )
A.若m=-1时,点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)
B.当-1C.当0D.当m>1时,点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)
11.已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小内角为30°,则( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为y=±x
C.∠PAF2=45°
D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点
12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,若直线l与抛物线C交于点A,B(点A在第一象限)、与抛物线的准线交于点D,|AF|=4,则以下结论正确的是( )
A.p=2 B.F为AD中点
C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.椭圆9x2+y2=1的短轴的一个端点到其焦点的距离等于 .
14.已知双曲线=1(a>0,b>0)与方向向量为k=(6,6)的直线交于A,B两点,线段AB的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是 .
15.已知M为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F(2,0)为该抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠MFO=120°,N(-2,0),则p= ,△MNF的面积为 .
16.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p的值等于 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)过点P(),且离心率为2,过右焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为M,N.
(1)求双曲线C的方程;
(2)求四边形OMFN的面积(O为坐标原点).
18.(12分)如图所示,有一位运动员练习定点投篮,球运行的线路是一段抛物线,已知篮圈距离地面3.05 m,球出手时球与篮圈的水平距离为4 m,当球运行的水平距离为2.5 m时,球达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈内,假设球与篮圈大小忽略不计.
(1)试求球运行线路所在抛物线的标准方程.
(2)球出手时,球离开地面的高度是多少
19.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线12x2-4y2=3的一个焦点,O是坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)经过焦点F作直线l,与抛物线相交于A,B两点,||=5,若=m,且D在抛物线上,求实数m的值.
20.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且经过点P(,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若A1,A2分别是椭圆的左、右顶点,动点M满足MA2⊥A1A2,且MA1交椭圆C于不同于A1的点R,求证:为定值.
21.(12分)已知椭圆M的中心在坐标原点,焦点在x轴上,焦距为4,且两准线间的距离为.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)过椭圆M的上顶点A作两条直线分别交椭圆于点B,C(异于点A),且它们的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-,求证:直线BC恒过一个定点,并求出该定点坐标.
22.(12分)已知点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l:x=4距离的比是常数.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)记点P的轨迹为C,过点F的直线l与曲线C交于点M,N,与抛物线y2=4x交于点A,B,设D(-1,0),记△DMN与△DAB的面积分别是S1,S2,求的取值范围.
参考答案
一、单项选择题
1．答案:D
解析:椭圆方程可化为=1,因此a2=8,a=2,故长轴长2a=4.
2．答案:B
解析:依题意抛物线的准线方程为y=-,则抛物线开口向上,,2p=2,故抛物线的标准方程为x2=2y.
3．答案:B
解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得解得
又|F1F2|=10,所以△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×6×8=24.
4．答案:C
解析:由已知得AF1⊥AF2,则|F1F2|=2|AO|=10,
于是c=5,又|AF1|-|AF2|==2a,
所以a=,
所以双曲线C的离心率e=.
5．答案:D
解析:设直线AB的方程为y=x-,
由得x2-3px+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,x1x2=,
由于|AF|·|BF|==x1x2+(x1+x2)+=2p2=8,
因此p2=4,故p=2或p=-2(舍去).
6．答案:C
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
消去x,得a2y2-2b2py+a2b2=0,则y1+y2=.
因为|AF|+|BF|=4|OF|,所以y1++y2+=4×,即y1+y2=p,于是=p,
因而,故双曲线的渐近线方程为y=±x.
7．答案:C
解析:如图,不妨设P为第一象限内的点,|PF|=2m(m>0),则P(1+m,m),
所以(m)2=4(1+m),解得m=2.
在△PKF中,|KF|=2,|PF|=4,∠PFK=,
故S△PKF=·|PF|·|KF|·sin×4×2×=2.
8．答案:C
解析:设|BF1|=k(k>0),则|AF1|=3k.
由椭圆的定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,|AB|=4k,在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B,
即16k2=(2a-3k)2+(2a-k)2-2(2a-3k)(2a-k)·,整理可得a=3k,所以|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,于是有|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,即AF2⊥AB,即F1A⊥F2A,故△AF1F2为等腰直角三角形,所以点A在y轴上.
二、多项选择题
9．答案:BC
解析:当3-t=t-1>0,即t=2时,方程表示圆,因此A错误,C正确;当(3-t)(t-1)<0,即t>3或t<1时方程表示双曲线,因此B正确;方程表示长轴在y轴上的椭圆时,有t-1>3-t>0,即210．答案:ABD
解析:设点P的坐标为(x,y),直线AP的斜率kAP=(x≠-1),kBP=(x≠1),由已知得,=m(x≠±1),化简得点P的轨迹方程为x2+=1(x≠±1).
当m=-1时,点P的轨迹方程为x2+y2=1(x≠±1),故A正确;
当-1当01时,点P的轨迹方程为x2-=1(x≠±1),点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点),故C错误;D正确.
11．答案:ABD
解析:依题意得,|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|=2|PF2|,
∴|PF2|=2a,从而|PF1|=4a.
∵|F1F2|=2c,a∴4a2=4c2+16a2-2×2c×4a×,
即c2-2ac+(a)2=0 (c-a)2=0,
∴c=a,从而b=a.因此e=,A正确;渐近线方程为y=±x=±x,B正确;
∵|PF2|2+|F1F2|2=(2a)2+(2a)2=16a2=|PF1|2,∴∠PF2F1=90°.
而|PF2|=2a,|AF2|=a+c=a+a≠|PF2|,
∴∠PAF2≠45°,C错误;直线y=-x+1的斜率-∈[-],因此直线与双曲线有两个公共点,D正确.
故选ABD.
12．答案:ABC
解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),如图,F,直线l的斜率为,则直线l的方程为y=,
联立得12x2-20px+3p2=0,
解得xA=p,xB=p.
由|AF|=p+=2p=4,得p=2,故A正确;
抛物线方程为y2=4x.
xB=p=,则|BF|=+1=,故D错误;
|BD|=,
∴|BD|=2|BF|,故C正确;
|BD|+|BF|==4=|AF|,则F为AD的中点,故B正确.
三、填空题
13．答案:1
解析:椭圆方程化为=1,则a=1,于是短轴的一个端点到其焦点的距离等于1.
14．答案:y=±x
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则=1,且=1,于是,
因为直线AB的方向向量为k=(6,6),所以直线AB的斜率kAB=1,所以=1,即,
故双曲线的渐近线方程为y=±x.
15．答案:4 8
解析:由抛物线的焦点为F(2,0),得=2,解得p=4,则抛物线方程为y2=8x.
设抛物线的准线为l,则l与x轴的交点即为N(-2,0),过点M作MQ⊥l,垂足为Q,过点F作FH⊥MQ,垂足为H.
∵∠MFO=120°,∴∠MFH=30°,
∴|MF|-p=|MF| |MF|=8,从而|HF|=4.
∴S△MNF=|NF|×|HF|=8.
16．答案:
解析:由题意,抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,
则过焦点F且倾斜角为的直线方程为y=x-,
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x,得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,x1+x2=3p,于是弦AB的中点坐标为,
则弦AB的垂直平分线方程为y-2=-x,
因为弦AB的中点在该直线上,
所以p-2=-,解得p=.
四、解答题
17．解:(1)因为e=2,所以3a2=b2.
设双曲线C的方程为=1,
因为双曲线C过点P(),
所以=1,解得a2=1,
故双曲线C的方程为x2-=1.
(2)由(1)可得,右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x,则右焦点F到渐近线y=±x的距离均为d=,在Rt△OMF中,∠OMF=90°,|OF|=2,|MF|=,则|OM|=1,
所以S四边形OMFN=2S△OMF=2=1×.
18．解:如图,以O为原点,建立平面直角坐标系.
(1)由题意得A(1.5,-0.45),设抛物线的方程为x2=my(m<0),
则1.52=m·(-0.45),得m=-5,
所以抛物线的方程为x2=-5y.
(2)由题意设球出手时的坐标为(-2.5,n),
代入抛物线的方程可得(-2.5)2=-5n,解得n=-1.25,
所以球出手时,球离地面的高度为3.5-1.25=2.25(m).
19．解:(1)双曲线方程12x2-4y2=3可化为=1,则c2==1,c=1,
因此双曲线的一个焦点是(1,0),于是抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0).
则=1,2p=4,
故抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)依题意,直线l的斜率一定存在且不等于0,设其为k,
则直线l的方程为y=k(x-1).
由可得y2-y-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=,x1+x2=+2.
因为||=|FA|+|FB|=x1+x2+2=+4=5,所以k2=4,即k=±2.
由题意知m≠0,设D(x0,y0),则由=m,得x0=(x1+x2)=,y0=(y1+y2)=±,由于点D在抛物线上,因此,可得m=(m=0舍去).
20．(1)解:由题意得=1,
又e=,所以a2=4,b2=2.
故椭圆C的方程为=1.
(2)证明:由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),由题意设M(2,y0),R(x1,y1),易知直线MA1的方程为y=x+,联立消去y,得x2+x+-4=0.
所以(-2)×x1=,解得x1=,从而y1=,
所以·(2,y0)==4,
即为定值.
21．(1)解:由题意得
解得a=4,c=2.
又因为a2=b2+c2,所以b=2.
因为焦点在x轴上,所以椭圆M的方程为=1.
(2)证明:由题意得,椭圆M的上顶点为A(0,2),不妨令直线AB的斜率为k1,则直线AB的方程为y=k1x+2,与椭圆M的方程联立,得方程组
消去y,得(1+4)x2+16k1x=0,
又xB≠0,所以xB=,
所以yB=.
同理可得xC=,yC=,
又k1k2=-,所以k2=-,分别代入xC,yC,
得xC=,yC=,
所以xB+xC=0,yB+yC=0,
所以点B,C关于原点对称.
即无论直线AB的斜率k1取何值,直线BC恒过原点.
所以直线BC恒过一个定点,定点坐标为(0,0).
22．解:(1)依题意有,
化简得3x2+4y2=12,故点P的轨迹方程为=1.
(2)依题意,
①当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,|AB|=x1+x2+2=;
联立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设M(x3,y3),N(x4,y4),
则x3+x4=,x3x4=,
|MN|=,
则.
②当直线l垂直于x轴时,易知|AB|=4,|MN|=3,此时.
综上,的取值范围是.
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.椭圆2x2+y2=8的长轴长为( )
A.2 B.4
C.2 D.4
2.若抛物线的准线与坐标轴的交点是,则抛物线的标准方程为( )
A.x2=-2y B.x2=2y
C.y2=2x D.y2=-2x
3.已知椭圆=1与双曲线y2-=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为( )
A.48 B.24
C.24 D.12
4.已知A(3,4)是双曲线C:=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若以F1F2为直径的圆经过点A,则双曲线C的离心率为( )
A. B.2
C. D.5
5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|·|BF|=8,则p的值为( )
A.4 B.
C.1 D.2
6.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
7.若抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线的准线与x轴相交于点K,P为抛物线上一点,且∠KFP=,则△KFP的面积为( )
A.8 B.4
C.2 D.或2
8.设F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方,且满足|AF1|=3|F1B|,cos ∠AF2B=,则点A位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.y轴上
D.都有可能
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若方程=1所表示的曲线为C,则下面说法正确的是( )
A.若C为椭圆,则1
C.曲线C可能是圆
D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则1
A.若m=-1时,点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)
B.当-1
11.已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小内角为30°,则( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为y=±x
C.∠PAF2=45°
D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点
12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,若直线l与抛物线C交于点A,B(点A在第一象限)、与抛物线的准线交于点D,|AF|=4,则以下结论正确的是( )
A.p=2 B.F为AD中点
C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.椭圆9x2+y2=1的短轴的一个端点到其焦点的距离等于 .
14.已知双曲线=1(a>0,b>0)与方向向量为k=(6,6)的直线交于A,B两点,线段AB的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是 .
15.已知M为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F(2,0)为该抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠MFO=120°,N(-2,0),则p= ,△MNF的面积为 .
16.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p的值等于 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)过点P(),且离心率为2,过右焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为M,N.
(1)求双曲线C的方程;
(2)求四边形OMFN的面积(O为坐标原点).
18.(12分)如图所示,有一位运动员练习定点投篮,球运行的线路是一段抛物线,已知篮圈距离地面3.05 m,球出手时球与篮圈的水平距离为4 m,当球运行的水平距离为2.5 m时,球达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈内,假设球与篮圈大小忽略不计.
(1)试求球运行线路所在抛物线的标准方程.
(2)球出手时,球离开地面的高度是多少
19.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线12x2-4y2=3的一个焦点,O是坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)经过焦点F作直线l,与抛物线相交于A,B两点,||=5,若=m,且D在抛物线上,求实数m的值.
20.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且经过点P(,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若A1,A2分别是椭圆的左、右顶点,动点M满足MA2⊥A1A2,且MA1交椭圆C于不同于A1的点R,求证:为定值.
21.(12分)已知椭圆M的中心在坐标原点,焦点在x轴上,焦距为4,且两准线间的距离为.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)过椭圆M的上顶点A作两条直线分别交椭圆于点B,C(异于点A),且它们的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-,求证:直线BC恒过一个定点,并求出该定点坐标.
22.(12分)已知点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l:x=4距离的比是常数.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)记点P的轨迹为C,过点F的直线l与曲线C交于点M,N,与抛物线y2=4x交于点A,B,设D(-1,0),记△DMN与△DAB的面积分别是S1,S2,求的取值范围.
参考答案
一、单项选择题
1．答案:D
解析:椭圆方程可化为=1,因此a2=8,a=2,故长轴长2a=4.
2．答案:B
解析:依题意抛物线的准线方程为y=-,则抛物线开口向上,,2p=2,故抛物线的标准方程为x2=2y.
3．答案:B
解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得解得
又|F1F2|=10,所以△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×6×8=24.
4．答案:C
解析:由已知得AF1⊥AF2,则|F1F2|=2|AO|=10,
于是c=5,又|AF1|-|AF2|==2a,
所以a=,
所以双曲线C的离心率e=.
5．答案:D
解析:设直线AB的方程为y=x-,
由得x2-3px+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,x1x2=,
由于|AF|·|BF|==x1x2+(x1+x2)+=2p2=8,
因此p2=4,故p=2或p=-2(舍去).
6．答案:C
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
消去x,得a2y2-2b2py+a2b2=0,则y1+y2=.
因为|AF|+|BF|=4|OF|,所以y1++y2+=4×,即y1+y2=p,于是=p,
因而,故双曲线的渐近线方程为y=±x.
7．答案:C
解析:如图,不妨设P为第一象限内的点,|PF|=2m(m>0),则P(1+m,m),
所以(m)2=4(1+m),解得m=2.
在△PKF中,|KF|=2,|PF|=4,∠PFK=,
故S△PKF=·|PF|·|KF|·sin×4×2×=2.
8．答案:C
解析:设|BF1|=k(k>0),则|AF1|=3k.
由椭圆的定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,|AB|=4k,在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B,
即16k2=(2a-3k)2+(2a-k)2-2(2a-3k)(2a-k)·,整理可得a=3k,所以|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,于是有|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,即AF2⊥AB,即F1A⊥F2A,故△AF1F2为等腰直角三角形,所以点A在y轴上.
二、多项选择题
9．答案:BC
解析:当3-t=t-1>0,即t=2时,方程表示圆,因此A错误,C正确;当(3-t)(t-1)<0,即t>3或t<1时方程表示双曲线,因此B正确;方程表示长轴在y轴上的椭圆时,有t-1>3-t>0,即2
解析:设点P的坐标为(x,y),直线AP的斜率kAP=(x≠-1),kBP=(x≠1),由已知得,=m(x≠±1),化简得点P的轨迹方程为x2+=1(x≠±1).
当m=-1时,点P的轨迹方程为x2+y2=1(x≠±1),故A正确;
当-1
11．答案:ABD
解析:依题意得,|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|=2|PF2|,
∴|PF2|=2a,从而|PF1|=4a.
∵|F1F2|=2c,a
即c2-2ac+(a)2=0 (c-a)2=0,
∴c=a,从而b=a.因此e=,A正确;渐近线方程为y=±x=±x,B正确;
∵|PF2|2+|F1F2|2=(2a)2+(2a)2=16a2=|PF1|2,∴∠PF2F1=90°.
而|PF2|=2a,|AF2|=a+c=a+a≠|PF2|,
∴∠PAF2≠45°,C错误;直线y=-x+1的斜率-∈[-],因此直线与双曲线有两个公共点,D正确.
故选ABD.
12．答案:ABC
解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),如图,F,直线l的斜率为,则直线l的方程为y=,
联立得12x2-20px+3p2=0,
解得xA=p,xB=p.
由|AF|=p+=2p=4,得p=2,故A正确;
抛物线方程为y2=4x.
xB=p=,则|BF|=+1=,故D错误;
|BD|=,
∴|BD|=2|BF|,故C正确;
|BD|+|BF|==4=|AF|,则F为AD的中点,故B正确.
三、填空题
13．答案:1
解析:椭圆方程化为=1,则a=1,于是短轴的一个端点到其焦点的距离等于1.
14．答案:y=±x
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则=1,且=1,于是,
因为直线AB的方向向量为k=(6,6),所以直线AB的斜率kAB=1,所以=1,即,
故双曲线的渐近线方程为y=±x.
15．答案:4 8
解析:由抛物线的焦点为F(2,0),得=2,解得p=4,则抛物线方程为y2=8x.
设抛物线的准线为l,则l与x轴的交点即为N(-2,0),过点M作MQ⊥l,垂足为Q,过点F作FH⊥MQ,垂足为H.
∵∠MFO=120°,∴∠MFH=30°,
∴|MF|-p=|MF| |MF|=8,从而|HF|=4.
∴S△MNF=|NF|×|HF|=8.
16．答案:
解析:由题意,抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,
则过焦点F且倾斜角为的直线方程为y=x-,
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x,得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,x1+x2=3p,于是弦AB的中点坐标为,
则弦AB的垂直平分线方程为y-2=-x,
因为弦AB的中点在该直线上,
所以p-2=-,解得p=.
四、解答题
17．解:(1)因为e=2,所以3a2=b2.
设双曲线C的方程为=1,
因为双曲线C过点P(),
所以=1,解得a2=1,
故双曲线C的方程为x2-=1.
(2)由(1)可得,右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x,则右焦点F到渐近线y=±x的距离均为d=,在Rt△OMF中,∠OMF=90°,|OF|=2,|MF|=,则|OM|=1,
所以S四边形OMFN=2S△OMF=2=1×.
18．解:如图,以O为原点,建立平面直角坐标系.
(1)由题意得A(1.5,-0.45),设抛物线的方程为x2=my(m<0),
则1.52=m·(-0.45),得m=-5,
所以抛物线的方程为x2=-5y.
(2)由题意设球出手时的坐标为(-2.5,n),
代入抛物线的方程可得(-2.5)2=-5n,解得n=-1.25,
所以球出手时,球离地面的高度为3.5-1.25=2.25(m).
19．解:(1)双曲线方程12x2-4y2=3可化为=1,则c2==1,c=1,
因此双曲线的一个焦点是(1,0),于是抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0).
则=1,2p=4,
故抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)依题意,直线l的斜率一定存在且不等于0,设其为k,
则直线l的方程为y=k(x-1).
由可得y2-y-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=,x1+x2=+2.
因为||=|FA|+|FB|=x1+x2+2=+4=5,所以k2=4,即k=±2.
由题意知m≠0,设D(x0,y0),则由=m,得x0=(x1+x2)=,y0=(y1+y2)=±,由于点D在抛物线上,因此,可得m=(m=0舍去).
20．(1)解:由题意得=1,
又e=,所以a2=4,b2=2.
故椭圆C的方程为=1.
(2)证明:由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),由题意设M(2,y0),R(x1,y1),易知直线MA1的方程为y=x+,联立消去y,得x2+x+-4=0.
所以(-2)×x1=,解得x1=,从而y1=,
所以·(2,y0)==4,
即为定值.
21．(1)解:由题意得
解得a=4,c=2.
又因为a2=b2+c2,所以b=2.
因为焦点在x轴上,所以椭圆M的方程为=1.
(2)证明:由题意得,椭圆M的上顶点为A(0,2),不妨令直线AB的斜率为k1,则直线AB的方程为y=k1x+2,与椭圆M的方程联立,得方程组
消去y,得(1+4)x2+16k1x=0,
又xB≠0,所以xB=,
所以yB=.
同理可得xC=,yC=,
又k1k2=-,所以k2=-,分别代入xC,yC,
得xC=,yC=,
所以xB+xC=0,yB+yC=0,
所以点B,C关于原点对称.
即无论直线AB的斜率k1取何值,直线BC恒过原点.
所以直线BC恒过一个定点,定点坐标为(0,0).
22．解:(1)依题意有,
化简得3x2+4y2=12,故点P的轨迹方程为=1.
(2)依题意,
①当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,|AB|=x1+x2+2=;
联立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设M(x3,y3),N(x4,y4),
则x3+x4=,x3x4=,
|MN|=,
则.
②当直线l垂直于x轴时,易知|AB|=4,|MN|=3,此时.
综上,的取值范围是.