第三章 函数的概念与性质 测试题（含解析）

第三章 函数的概念与性质测试题
一、选择题
1、已知偶函数，当时，，则当时，( )
A. B. C. D.
2、下列函数中，定义域是其值域真子集的是( )
A. B. C. D.
3、设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论：
①；
②；
③函数的图象关于原点对称；
④函数的图象关于点对称.
其中，正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4、已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
5、已知定义域为R的函数是奇函数，且，若在区间上单调递减，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
6、定义在R上的偶函数满足，且当时，，则的值为
A.-1 B.0 C.1 D.2
7、若函数对任意的都有成立，且在上单调递减，则，的大小关系为( )
A. B. C. D.无法确定
8、已知是定义域为的奇函数，且满足.若2，则( )
A.2 B.0 C.-2 D.4
二、多项选择题
9、设函数，当为增函数时，实数a的值可能是( )
A.2 B.-1 C. D.1
10、已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是( )
A.是偶函数 B.在上单调递增
C.函数不具有奇偶性 D.在上单调递减
11、下列判断正确的是( )
A.是偶函数 B.是奇函数
C.是偶函数 D.是非奇非偶函数
12、已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，.给出以下结论，正确的是( )
A.
B.
C.为R上的减函数
D.为偶函数
三、填空题
13、设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是_________.
14、已知函数，且，则函数的解析式为_______.
15、已知函数为奇函数，设，则_________.
16、设函数，若函数在R上的最大值为M，最小值为m，则______.
四、解答题
17、某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验.已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y（微克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为.当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果.
（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
18、设函数与的定义域都是且，是偶函数，是奇函数，且.
（1）求与的解析式；
（2）求的值.
19、已知定义在R上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④对任意的，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
20、已知函数为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）当时，若函数的值域为，求m，n的值.
21、已知函数（p，q为常数）是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式.
（2）判断在上的单调性，并用定义证明.
（3）解关于x的不等式.
22、设函数，其中a为实常数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）设，函数在区间上单调递减，求实数a的最大值.
参考答案
1、答案：D
2、答案：C
3、答案：C
4、答案：A
5、答案：B
6、答案：D
7、答案：A
8、答案：B
9、答案：CD
10、答案：AD
11、答案：BC
12、答案：AB
13、答案：
解析：由，
得.
又是偶函数.
所以.
14、答案：
解析：因为，所以函数图象的对称轴为直线.
又函数图象的对称轴为直线，所以有，即.
15、答案：4042
解析：因为函数为奇函数，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称.因为，所以的图象关于点对称，所以，，所以.
16、答案：2
解析：由题意，得.
令，定义域为R，则，故为R上的奇函数.
又，函数在R上的最大值为M，最小值为m，则，.
由于为R上的奇函数，故，即，则.
17、答案：（1）小时
（2）小时
解析：（1）设服用1粒药，经过x小时能有效抗病毒，
即血液含药量须不低于4微克，可得，
解得，
所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果.
（2）设经过x小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；
若，药物浓度，
解得，
若，药物浓度，
化简得，所以；
若，药物浓度，
解得，所以；
综上，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时.
18、答案：（1），
（2）3
解析：（1）因为，①
所以.
因为是偶函数，是奇函数，
所以，②
所以①+②得，进而.
（2）因为，所以，
所以，
所以.
19、答案：（1）偶函数，证明见解析
（2）单调递增，证明见解析
解析：（1）为偶函数.证明：因为是定义在R上的奇函数，所以.
所以.又因为的定义域为R，所以函数为偶函数.
（2）在上单调递增.证明：由题意知，.
任取，且，
.
因为，
所以，
所以，
即，
所以在上单调递增.
20、答案：（1）-1
（2），
解析：（1）根据题意，函数为偶函数，则有对恒成立，即对恒成立，解得.
（2），当时，单调递增，则有即m，n是方程的两个根，
又由，得，则，.
21、答案：（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
解析：（1）依题意，得函数（p，q为常数）是定义在上的奇函数，则有，则.
又由，得，解得，所以.
（2）函数在上单调递增.证明如下：
任取，则，，
从而，
所以，所以函数在上单调递增.
（3）原不等式可化为，即.由（2）可得，函数在上单调递增，
所以有解得，即原不等式的解集为.
22、答案：（1）非奇非偶函数，理由见解析
（2）1
解析：（1）的定义域为R，关于原点对称.因为，所以.当时，，则为偶函数.当时，，故不是偶函数.又，故不是奇函数.故当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数.
（2）当时，，任取，
则.
因为，所以且.
因为在区间上单调递减，所以，
即恒成立，所以解得，
所以a的最大值为1.