1.1.2 空间向量的数量积运算 同步练习（含解析）

《1.1.2　空间向量的数量积运算》同步练习
一、基础巩固
1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
4.已知A,B,C,D是空间中不共面的四点,若(-2)·()=0,则△ABC一定是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,关于下列四个结论,正确的是(　　)
A.()2=3
B.·()=0
C.的夹角为60°
D.正方体的体积为||
6.已知空间向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb(λ∈R),=135°,若m⊥n,则λ的值为　　　　　.
7.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则||=　　　　　,所成的角为　　　　　.
8.已知空间向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且(a-2b)·(a+b)=5,则a+b在a上的投影向量为　　　　　.
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面ABB1A1的中心,F为A1D1的中点.试计算:
(1);(2);(3).
10.如图,在四面体OACB中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC.
二、能力提升
1.已知两条异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则这两条异面直线所成的角为(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为(　　)
A. B.2
C. D.
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=,则上的投影向量为(　　)
A.- B.-
C.- D.-
4.如图,直二面角α-AB-β的棱上有两点A,B,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为　　　　　.
5.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若CF上有一点N,使MN⊥AE,则=　　　　　.
6.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·()=　　　　　.
7.如图,在四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,求证:EF⊥AD,且EF⊥BC.
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,AB⊥AD,且PA=AB=BC=AD=1,求PB与CD所成的角.
参考答案
一、基础巩固
1．答案:A
解析:a·b=|a||b| cos=1 =0°,即a与b共线.反之不成立,当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|.
2．答案:B
解析:由已知得,a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所以a·b=2,
所以cos=,又0°≤≤180°,所以=45°.
3．答案:C
解析:)·)=a2.
4．答案:B
解析:∵(-2)·()=()·()
=()·()=||2-||2=0,∴||=||,即AB=AC.
故△ABC为等腰三角形.
5．答案:AB
解析:如图所示,()2=()2==3,故A中结论正确;·()==0,故B中结论正确;的夹角是夹角的补角,而的夹角为60°,故的夹角为120°,故C中结论错误;正方体的体积为||||·||,故D中结论错误.
6．答案:-
解析:由题意知a·b=|a||b|cos=3×5×=-15.
由m⊥n,得m·n=(a+b)·(a+λb)=0,
即|a|2+(λ+1)a·b+λ|b|2=18-15(λ+1)+25λ=0,解得λ=-.
7．答案:
解析:因为=2×2×cos=2,
所以||2==||2-|2=4-2+×4=3.
所以||=.
因为),
所以·()=)=0.
又<>∈[0,π],所以<>=.
8．答案:a
解析:∵(a-2b)·(a+b)=5,
∴|a|2-a·b-2|b|2=5,∴a·b=-4.
∴a·(a+b)=|a|2+a·b=5,|a+b|=.
∴cos=,
∴a+b在a上的投影向量为|a+b|cos·a=a.
9．解:设=a,=b,=c,
则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.
(1)∵c-a+b,
=b,
∴=b·=|b|2=16.
(2)∵=c-a+b,
=a+c,
∴(a+c)=|c|2-|a|2=0.
(3)∵c-a+b,
b+a,
∴|b|2-|a|2=2.
10．证明:因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,
所以△OAB≌△OAC,
所以∠AOB=∠AOC.
所以·()==||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=0,
所以,即OA⊥BC.
二、能力提升
1．答案:B
2．答案:A
解析:∵=-,
∴||2=(-)2
=||2+||2+||2-2-2+2
=9+1+1-2×3×1×cos 60°-2×3×1×cos 60°=5,
∴||=.
3．答案:D
解析:∵,
且=0,
∴=-=-1.
又||=,||=,
∴cos<>==-,
∴上的投影向量为||cos<>·=-=-.
4．答案:2
解析:由题意可知,,
||=6,||=4,||=8,
则||2=()2=||2+||2+||2+2+2+2=116,
故||=2,即CD的长为2.
5．答案:
解析:设=m.
∵+m,
∴=()·×1×1×+4m=0.
∴m=.
6．答案:
解析:由已知得=0.
如图,取BC的中点D,连接OD,AD,则AD经过点G,且AG=AD,
所以)=)
=.
所以·()=)2
=(||2+||2+||2)=×(1+4+9)=.
7．证明:∵F是BC的中点,∴).
又E是AD的中点,
∴.
∴)-).
∵||=||=||,
∴-2.
同理-2.
∴2-2-2=0,
即()·=0.
∴)·=0,
∴.同理.
∴EF⊥AD,且EF⊥BC.
8．解:由题意知||=,||=,
.
∵PA⊥平面ABCD,
∴=0.
∵AB⊥BC,AB⊥AD,
∴=0,=0.
∴=()·()=||2=1.
∴cos<>=,
又<>∈[0,π],∴<>=.
∴PB与CD所成的角为.