1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 (第2课时) 同步练习（含解析）

《1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系》同步练习
（第2课时　用空间向量研究直线、平面的垂直关系）
一、基础巩固
1.已知直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于(　　)
A.-2 B.2
C.6 D.10
2.已知平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),若α⊥β,则x的值为(　　)
A.10 B.-10
C. D.-
3.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为(　　)
A.(1,0,-2) B.(1,0,2)
C.(-1,0,2) D.(2,0,-1)
4.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论正确的是(　　)
A.直线A1D与AB1垂直
B.直线A1D与BC1垂直
C.直线A1D与BD1平行
D.三棱锥A-A1CD的体积为a3
5.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.位置关系不确定
6.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和Q(cos x,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与OQ垂直,则x的值为　　　　　.
7.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为　　　　　　　　　　.
8.在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若OP与平面ABC垂直,且OP=,则点P的坐标为　　　　　　　　　　.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC =90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,F是PB的中点,点E在棱BC上移动.求证:PE⊥AF.
二、能力提升
1.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).下列结论正确的是(　　)
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.平面PAC⊥平面ABCD
D.PB⊥PD
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(　　)
A.EF至多与A1D,AC中的一个垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
3.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,的值为(　　)
A. B.1 C.3 D.2
4.如图,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值为　　　　　.
5.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PD⊥底面ABCD,且PD=DA=CD=2AB=2,点M为PC的中点.若平面PAD内的一点N满足MN⊥平面PBD,则MN的长为　　　　　.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB.
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点,
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,请确定点E的位置并说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1．答案:D
解析:因为l1⊥l2,所以a⊥b,所以a·b=0,即-6-4+m=0,解得m=10.
2．答案:B
解析:因为α⊥β,所以a⊥b,所以a·b=-x-2-8=0,解得x=-10.
3．答案:C
解析:由题意知,=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(x,-1,z).
因为PA⊥平面ABC,
所以解得
故点P的坐标为(-1,0,2).
4．答案:BD
解析:以D为原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),
则A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a),B(a,a,0),D1(0,0,a).
对于A,∵=(-a,0,-a),=(0,a,a),
∴=-a2≠0,
∴直线A1D与AB1不垂直,故A中结论不正确;
对于B,∵=(-a,0,a),
∴=(-a,0,-a)·(-a,0,a)=a2-a2=0,∴直线A1D与BC1垂直,故B中结论正确;
对于C,∵=(-a,-a,a),∴=(-a,0,-a)·(-a,-a,a)=a2-a2=0,
∴直线A1D与BD1垂直,故C中结论不正确;
对于D,三棱锥A-A1CD的体积为a2·a=a3,故D中结论正确.
综上可知,BD中结论正确.故选BD.
5．答案:B
解析:如图,以D为原点,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设AD=1,则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),
所以=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).
因为=0,=0,
所以,即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.
又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ 平面PQC,
所以平面PQC⊥平面DCQ.
6．答案:
解析:由题意得,∴=0.
∴cos x·(2cos x+1)-(2cos 2x+2)=0.
∴2cos2x-cos x=0,
解得cos x=0或cos x=.
又x∈[0,π],∴x=或x=.
7．答案:
解析:由已知得,=(-1,1,0).
设M(x,y,z),则=(x,y,z-1),=(x-1,y-2,z+3).
∵点M在直线AB上,∴共线.
∴存在实数λ,使得=λ.
∴x=-λ,y=λ,z-1=0.①
又CM⊥AB,∴,∴=0,
即-(x-1)+(y-2)=0.②
由①②得,x=-,y=,z=1.
故点M的坐标为.
8．答案:(-2,4,1)或(2,-4,-1)
解析:依题意,=(-1,-1,2),=(1,0,2).
设点P的坐标为(x,y,z),则=(x,y,z).
∵OP与平面ABC垂直,
∴
∴
∵OP=,
∴||=|z|=,
解得z=1或z=-1.
故点P的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).
9．证明:如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设PA=h,则A(0,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h),
所以=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).
因为=-8+8+0=0,=0,
所以,即CD⊥AE,CD⊥AP.
又AE∩AP=A,所以CD⊥平面PAE.
10．证明:如图,以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),P(0,0,1),F,所以=.
依题意,设E(x,1,0),0≤x≤,则=(x,1,-1).
因为=0+=0,所以PE⊥AF.
二、能力提升
1．答案:ABC
解析:因为=-2-2+4=0,=-4+4+0=0,所以,即AP⊥AB,AP⊥AD.
又AB∩AD=A,所以AP⊥平面ABCD.
又AP 平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD.
故ABC中结论正确.
因为=(3,-3,-3),=(5,0,1),所以=12≠0.
故D中结论错误.
2．答案:B
解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,
则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),
所以=(-1,0,-1),=(-1,1,0),
=,=(-1,-1,1).
所以=-=0,=0.
又EF与BD1不重合,所以EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.
3．答案:B
解析:如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设正方形的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,P(0,0,a).
设点F的坐标为(0,y,0),0≤y≤1,则=(-1,y,0),=.
因为BF⊥PE,所以=0,即-+y=0,解得y=.
所以点F的坐标为,所以F为AD的中点,所以=1.
4．答案:2
解析:如图,建立空间直角坐标系,则D(0,a,0).
设Q(1,x,0)(0≤x≤a),P(0,0,z),则=(1,x,-z),=(-1,a-x,0).
因为PQ⊥QD,所以=0,即-1+x(a-x)=0,整理得x2-ax+1=0.
由题意知,关于x的方程x2-ax+1=0只有一解,
所以Δ=a2-4=0.
因为a>0,所以a=2,此时x=1∈[0,2].
故a的值为2.
5．答案:
解析:由题意知DP,DC,DA两两垂直.
以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz(如图所示).
∵PD=CD=DA=2AB=2,
∴D(0,0,0),B(2,1,0),P(0,0,2),M(0,1,1).
设N(x,0,z),则=(x,-1,z-1),=(0,0,2),=(2,1,0).
若MN⊥平面PBD,则
即解得∴N,
∴=,∴||=.
6．(1)证明:如图,以D为原点,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设AD=2,则D(0,0,0),C(0,2,0),E(2,1,0),F(1,1,1),
所以=(0,2,0),=(-1,0,1).
所以=0.
所以,即EF⊥CD.
(2)解:因为P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),所以=(0,2,-2),=(-2,0,0).
设平面PCB的法向量为n=(x,y,z),
则
取y=1,则z=1,于是n=(0,1,1)是平面PBC的一个法向量.
因为点G在平面PAD内,所以可设G(a,0,b),所以=(1-a,1,1-b).
要使GF⊥平面PCB,只需∥n,即需1-a=0,1-b=1,解得a=1,b=0.
所以点G的坐标为(1,0,0),即G为AD的中点.
7．(1)证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
不妨设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0).
所以=(1,1,0).
设E(0,1,a),0≤a≤1,则=(-1,1,a-1).
因为=-1+1+0=0,所以,即A1E⊥BD.
(2)解:E为CC1的中点.理由如下:
由(1)可知,=(1,0,1),=(1,1,0).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,则y=-1,z=-1,于是n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
同理,平面EBD的一个法向量为m=(a,-a,1).
因为平面A1BD⊥平面EBD,所以n⊥m,
即n·m=a+a-1=0,解得a=.所以点E的坐标为,此时E为CC1的中点.