4.2 指数函数 同步测试练习（含解析）

指数函数测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数一定是指数函数的是（）
A. B. C. D.
2．函数，x∈N＋，则f(2)等于(　　)
A.2 B.8
C.16 D.
3．若f（x）=（2a–1）x是增函数，那么a的取值范围为(　 ) ．
A．a< B．C．a>1 D．a≥1
4．函数与的图象有可能是(　 ) ．
A． B．
C． D．
5.二次函数与指数函数的交点个数有(　　)
个 个 个 个
6.若函数的图象和轴有交点，则实数的取值范围是(　　)
7．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
8．若，则有(　　)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．若函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m的值不可能是( )
A．2 B．3 C．－1 D．1
10． 下列说法正确的是（ ）
A．函数在定义域上是减函数
B．函数有且只有两个零点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称
11．函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．函数的定义域为______________．
14．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________
15．函数y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域为______________．
16．已知函数，则该函数的单调递增区间是_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
比较下列各题中的两个值的大小．
（1），；
（2），1；
（3），.
18．(本小题满分12分)
求不等式a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)中x的取值范围．
19．(本小题满分12分)
已知函数，.
（1）当时，，求函数的值域；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
20．(本小题满分12分)
已知f(x)＝x(＋)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求证：f(x)>0.
21.(本小题满分12分)
已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的范围．
22．(本小题满分12分)
若函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）求函数的定义域；
（3）求函数的值域．
参考答案
1【解析】
A：中指数是，所以不是指数函数，故错误；
B：是幂函数，故错误；
C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误；
D：属于指数函数，故正确.
故选：D.
2【解析】
由题意可得：.本题选择D选项.
3【解析】
由题意，应选答案C 。
4【解析】
因为为增函数，排除A、C，由B,D可得
对于B中函数的图象可以看出，则的图象与轴的交点应在原点下方，排除B.选D.
5【解析】
因为二次函数，
且时，，，
则在坐标系中画出与的图象：
由图可得，两个函数图象的交点个数是个，
故选．
6
时，，
；
由函数的图象和轴有交点，
，，
综上，实数的取值范围是．
故选：．
7.C 【解析】
　由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
8【解析】
构造函数，易得函数单调递增，
由，可得
，
故选：．
9【解析】
选BD.由指数函数的定义，得m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.
10【解析】
对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误；
对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；
对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.故选CD
11【解析】
选CD.函数y＝x＋a单调递增．
由题意知a>0且a≠1.
当0在y轴上的截距大于0且小于1，故C符合；
当a>1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1，故D符合．
12【解析】
根据题意知，．
，，
，，函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，是奇函数，B正确；
由复合函数的单调性知在上是增函数，C正确；
，，，
，D错误．
故选BC．
13【解析】
换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.
因此，函数的定义域为，故答案为.
14【解析】
当时，做出图象，如下图所示，
直线与函数的图象有两个公共点时，.
故答案为:
15【解析】.
[14，＋∞)]令3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t∈[3，＋∞)．
∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14.故所求函数的值域为[14，＋∞)．
16【解析】
由题得函数的定义域为.
设，
函数在单调递减，在单调递增，
函数在其定义域内单调递减，
所以在单调递增，在单调递减.故答案为：.
17【解析】
（1）因为， ，
又指数函数为增函数，且，所以，即.
（2），
（3），，所以.
18【解析】
解：对于a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)，
当a>1时，有4x＋5>2x－1，解得x>－3；
当0故当a>1时，x的取值范围为{x|x>－3}；当019【解析】
（1）当时，令，由，得，
，
当时，；当时，．
∴函数的值域为；
（2）设，则，在对任意的实数x恒成立，
等价于在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴，
设，，函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴．
20【解析】.
(1)　由于2x－1≠0和2x≠20，故x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)　函数f(x)是偶函数．理由如下：
由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，因为f(x)＝x(＋)＝·，
所以f(－x)＝－·＝－·＝－·＝·＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)证明　由(2)知f(x)＝·.对于任意x∈R，都有2x＋1>0，
若x>0，则2x>20，所以2x－1>0，于是·>0，即f(x)>0，
若x<0，则2x<20，所以2x－1<0，于是·>0，即f(x)>0，
综上知：f(x)>0.
21【解析】.
(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝＝
∵x1＜x2，∴＞0，又(＋1)(＋1)＞0，f(x1)－f(x2)＞0
∴f(x)为R上的减函数．
(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)，∵f(x)为减函数，∴t2－2t＞k－2t2.即k＜3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3(t－)2－≥－.∴k＜－.
，∴；
22【解析】
（1）记，∵是奇函数，
∴
（2），，∴定义域为；
（3）由（1），
∵，∴或，
∴或，∴或．
∴值域为．