4.2 指数函数 同步训练（含解析）

4.2指数函数同步练习
一、选择题（共7题）
下列各函数中，是指数函数的是
A． B． C． D．
已知 ，，，则
A． B． C． D．
已知 ，，，则 ，， 的大小关系是
A． B． C． D．
在同一坐标系中，函数 与 （，且 ）的图象大致是
A． B． C． D．
已知 ，且其在区间 上的值域为 ，记满足该条件的实数 ， 所形成的实数对为点 ，则由点 构成的点集组成的图形为
A．线段 B．线段
C．线段 与线段 D．线段 与线段
如果 ，，那么函数 的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
设函数 ，则满足 的 的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多选题（共3题）
下列结论中错误的是
A．函数 是指数函数
B．函数 既是偶函数又是奇函数
C．函数 的单调递减区间是
D．所有的单调函数都有最值
已知函数 ，，则 ， 满足
A．
B． 且
C．
D．
如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积（）与时间 （月）的关系为 ，以下叙述中正确的是
A．这个指数函数的底数是
B．第 个月时，浮萍的面积就会超过
C．浮萍从 蔓延到 需要经过 个月
D．浮萍每个月增加的面积都相等
三、填空题（共5题）
已知函数 （，且 ）的图象恒过定点 ，则 ．
函数 在 上的值域为 ．
若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
已知 ，，，当 时，均有 ，则实数 的取值范围是 ．
已知函数 ，且 ，其中 为奇函数， 为偶函数．若不等式 对 任 意 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题（共5题）
设 ，若 ，试求：
(1) 的值；(2) 的值．
已知函数 ， 为常数，且函数的图象过点 ．
(1) 求 的值；
(2) 若 ，且 ，求满足条件的 的值．
函数 和 的图象如图所示．设两函数的图象交于点 ，，且 ．
(1) 请指出图中曲线 ， 分别对应的函数；
(2) 结合函数图象，判断 ，，， 的大小．
已知函数 的图象经过点 ．
(1) 求 的值；(2) 求函数 的定义域和值域；
(3) 证明：函数 是奇函数．
已知函数 ，且 在区间 上的最大值比最小值大 ．
(1) 求 的值；
(2) 若函数 在区间 的最小值是 ，求实数 的值．
答案
一、选择题（共7题）
1. 【答案】D
【解析】根据指数函数的概念知，D正确．
2. 【答案】D
【解析】因为 在 上单调递减，且 ，
所以 ．
又因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，
所以 ．
3. 【答案】C
【解析】因为函数 在 上递减，所以 ，即 ，
又函数 在 上递增，所以 ，即 ，所以 ．故选C．
4. 【答案】B
【解析】函数 的图象经过 和 两点，选项D错误；在选项A中，由指数函数 的图象得 ，由 的图象得 ，选项A错误；在B选项中，由指数函数 的图象得 ，由 的图象得 ，选项B正确；在选项C中，由指数函数 的图象得 ，由 的图象得 ，选项C错误．故选B．
5. 【答案】C
【解析】函数 的图象如图所示，
当 时，函数取得最小值 ，令 ，得 或 ．
因为函数 在区间 上的值域为 ，
所以 或 则有序实数对 在坐标平面内所对应点组成的图形为题图中的线段 与线段 ，故选C．
6. 【答案】B
【解析】由 知 的图象是上升的，由 知，，故 的大致图象如图所示．过第一、三、四象限，故选B．
7. 【答案】D
二、多选题（共3题）
8. 【答案】A；C；D
9. 【答案】A；B
【解析】对于A， 成立，A正确；
对于B，因为 中 为增函数， 为减函数，故 为增函数，故 成立．因为 ，，故 成立，故B正确；
对于C，，，故C正确；
对于D，，故D错误．
10. 【答案】A；B
【解析】对于A，由图象知， 时，，所以 ，故 ，故A正确；
对于B，当 时，，故B正确；
对于C，当 时，由 ，知 ，当 时，由 ，知 ，则 ，故C错误；
对于D，浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，故D错误．
三、填空题（共5题）
11. 【答案】
【解析】令 ，得 ，
所以 ．
此时有 ，
所以 ，
所以 ．
12. 【答案】
【解析】因为 在 上单调递减，
所以 时 ，即 ，
所以函数 在 上的值域为 ．
13. 【答案】
【解析】 可变形为 ，，
令 ，则 ，易得 ，
在 时的最小值为 ，
因为 在 时恒成立，
所以 ，解得 ．
14. 【答案】
【解析】若当 时，均有 ，即 在 上恒成立，令 ，，两函数草图如图所示，
由图象知：若 时，，即 ，此时 ；当 时，，即 ，此时 ，此时 ．
综上， 或 ．
15. 【答案】
【解析】由题意，得
由函数的奇偶性，得
解得
由题意，得 对任意的 恒成立．
令 ，则 当 时单调递增，从而 ．
．
因为 在 上单调递增，
所以当 时， 有最大值 ．
于是 ．
四、解答题（共5题）
16. 【答案】
(1)
(2)
17. 【答案】
(1) 由已知得 ，
解得 ．
(2) 由（）知 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
令 ，
则 ，
所以 或 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
解得 ．
18. 【答案】
(1) 曲线 对应的函数为 ，曲线 对应的函数为 ．
(2) 因为 ，
，
，
，
所以 ，，
所以 ，．
由题图可以看出，当 时，
，
所以 ．
当 时，，
所以 ．
又 ，
所以 ．
19. 【答案】
(1) 由题意知，函数 的图象经过点 ，
可得 ，
解得 ．
(2) 由（）知，函数 ，
因为 ，，即 的定义域为 ．
因为 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 的值域为 ．
(3) 因为 的定义域为 ，且 ，
所以 是奇函数．
20. 【答案】
(1) 当 时，函数 在区间 上单调递增，
则该函数的最大值为 ，最小值为 ，
由题意，得 ，解得 ，或 （舍去）；
当 时，函数 在区间 上单调递减，
则该函数的最大值为 ，最小值为 ，
由题意，得 ，即 ，该方程无实数解．
综上，．
(2) 函数 ，
令 ，，任取 ，
因为 ，
又 ，
所以 ，有 ，，
所以 ．
则函数 在 上单调递增，故 ．
令 ，因此，，
故问题转化为：
函数 在 上有最小值 ，求实数 的值．
因 ，对称轴方程为 ，
当 时，即当 时，函数 在 上单调递增，
故 ，
由 ，解得 与 矛盾；
当 时，即当 时，，
由 ，解得 或 （舍去）．
综上，．