第二章 直线和圆的方程 过关检测(B卷)（含解析）
文档属性
| 名称 | 第二章 直线和圆的方程 过关检测(B卷)（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 69.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-08 06:50:10 | ||
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文档简介
《第二章 直线和圆的方程》过关检测(B卷)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线-x+y+1=0的倾斜角与在y轴上的截距分别是( )
A.60°,1 B.60°,-1
C.45°,1 D.45°,-1
2.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行,则a的值是( )
A.1 B.-2
C.1或-2 D.-1或2
3.直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于( )
A. B.2
C.2 D.4
4.若a∈,则方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.0
5.已知圆C:x2+y2-4x=0,直线l过点P(3,0),则( )
A.l与C相交
B.l与C相切
C.l与C相离
D.以上三个选项均有可能
6.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=3
B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x-2)2+(y+1)2=9
D.(x+2)2+(y-1)2=9
7.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-2)2+y2=9交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为( )
A.x=1 B.y=1
C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0
8.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5-4 B.-1
C.6-2 D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知直线l的方程是Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则下列说法正确的是( )
A.若ABC≠0,则直线l不过原点
B.若直线l不过第四象限,则一定有AB<0
C.若AB<0,且AC>0,则直线l不过第四象限
D.若A2+B2=C2,则直线l与圆x2+y2=1相切
10.已知方程x2+y2+2x-m=0,下列叙述正确的是( )
A.方程表示的是圆
B.当m=0时,方程表示过原点的圆
C.方程表示的圆关于直线x+y+1=0对称
D.方程表示的圆的圆心在x轴上
11.下列说法正确的是( )
A.直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0的距离为
B.直线l过点P(2,4),且在x轴、y轴上截距相等,则直线l的方程为x+y-6=0
C.a∈R,b∈R,“直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件
D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线l的斜率为-
12.下列说法正确的是( )
A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,-3)
B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+=0的距离等于1
C.若曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线,则m=4
D.已知圆C:x2+y2=4,点P为直线=1上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点(1,2)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.以原点O为圆心且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是 .
14.已知点A(1,2)关于直线y=kx+b对称的点是B(-1,6),则直线y=kx+b在x轴上的截距是 .
15.过点P(-2,4)作圆C:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m间的距离为 .
16.在平面直角坐标系Oxy中,直线l:mx-y-2m-1=0(m∈R)过定点 ,以点C(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知圆C的圆心为(2,1),若圆C与圆O:x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点(5,-2),求圆C的方程.
18.(12分)已知直线l过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线l1过点且与直线l垂直,直线l2与直线l1关于x轴对称,求直线l2的方程.
19.(12分)如图,在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-3y+2=0,∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,3).
(1)求点A和点C的坐标;
(2)求△ABC的面积.
20.(12分)已知圆C1与圆C2:x2+y2-6y+8=0相切于点M(0,2),且经过点N(2,0).
(1)求圆C1的方程;
(2)若直线l:y=kx-(k+1)截圆C1所得两段弧长之比为3∶1,求实数k的值.
21.(12分)已知光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
22.(12分)已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.
(1)设过点P的直线l1与圆C交于M,N两点,当|MN|=4时,求以MN为直径的圆Q的方程.
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、单项选择题
1．答案:D
2．答案:B
解析:因为两条直线平行,所以1×2-a(a+1)=0,解得a=-2或a=1.当a=-2时,直线x-2y-7=0与直线-x+2y-14=0互相平行;当a=1时,直线x+y-7=0与直线2x+2y-14=0重合,不满足题意,故a=-2.
3．答案:B
解析:由题意,得圆心为(-1,0),半径r=,弦心距d=,
故所求的弦长为2=2.
4．答案:A
解析:方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0,即方程+(y+a)2=1-a-a2.当1-a-a2>0,即-2所以所给的方程表示圆的个数为1,故选A.
5．答案:A
解析:∵32+02-4×3<0,
∴点P在圆内.故选A.
6．答案:C
解析:∵点(2,-1)到直线3x-4y+5=0的距离为=3,
∴所求圆的半径为3.故圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.
7．答案:D
解析:由题意得,当CM⊥l时,弦长最短,∠ACB最小.设CM所在直线斜率为kCM,直线l的斜率为kl,则kl·kCM=-1,又kCM==-2,∴kl=,∴直线l的方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.
8．答案:A
解析:由题意知,圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心分别为C1(2,3),C2(3,4),半径r1=1,r2=3,且|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-r1-r2,点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2,-3),
所以|PC1|+|PC2|=|PC|+|PC2|≥|CC2|=5,
即|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4≥5-4.
二、多项选择题
9．答案:ACD
解析:当ABC≠0时,即A,B,C都不等于0,当x=y=0时,A·0+B·0+C≠0,所以直线l不过原点,故A正确;
若直线不过第四象限,当直线只过第一、第二象限时,A=0,->0,则AB=0,故B不正确;
若AB<0,AC>0,->0,-<0,即直线l的斜率大于0,在x轴上的截距小于0,则直线过第一、二、三象限,不过第四象限,故C正确;
当A2+B2=C2时,圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线l的距离d==1,即直线l与圆x2+y2=1相切,故D正确.
10．答案:BCD
解析:方程x2+y2+2x-m=0,配方得(x+1)2+y2=m+1,若方程表示一个圆,则m+1>0,即m>-1,A错误;B正确;
方程表示圆时,圆心为(-1,0),在直线x+y+1=0上,C,D正确.
故选BCD.
11．答案:ACD
解析:对于A,直线l1与l2的距离为,故A正确;
对于B,直线l过点P(2,4),当截距不为0时,设直线l的方程为=1(a≠0),将点P(2,4)的坐标代入,得=1,即a=6,此时直线l的方程为x+y-6=0;当截距为0时,设直线l的方程为y=kx,将点P(2,4)的坐标代入,得k=2,即直线l的方程为2x-y=0,故B错误;
对于C,由直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+1=0垂直,得a(a+1)-4a=0,解得a=0或a=3,故C正确;
对于D,设直线l的方程为ax+by+c=0,沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,得a(x+3)+b(y-2)+c=0,即ax+by+3a-2b+c=0,所以3a-2b+c=c,即3a-2b=0,所以斜率k=-=-,故D正确.
12．答案:BCD
解析:选项A,由(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R),得m(x+3)+3x+4y-3=0,
由所以直线恒过定点(-3,3),故A不正确;
选项B,圆心(0,0)到直线l的距离d==1,圆的半径r=2,故圆上有且仅有3个点到直线l的距离等于1,故B正确;
选项C,圆C1的圆心C1(-1,0),半径r1=1,圆C2的圆心C2(2,4),半径r2=,由题意可知两圆外切,所以|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=4,故C正确;
选项D,设点P(m,n),则=1,即m+2n=4.因为PA,PB分别为过点P所作的圆的两条切线,所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以点A,B在以CP为直径的圆上,以CP为直径的圆的方程为,即x2+y2-mx-ny=0,与圆C的方程x2+y2=4相减可得mx+ny=4,消去m得(4-2n)x+ny=4,即n(y-2x)+4x-4=0,由所以直线AB经过定点(1,2),故D正确.
三、填空题
13．答案:x2+y2=25
解析:由题意得原点O到直线3x+4y+15=0的距离d==3,设圆的半径为r(r>0),则r2=32+42=25.故圆的方程是x2+y2=25.
14．答案:-8
解析:由题意知解得故直线y=kx+b的方程为y=x+4,其在x轴上的截距为-8.
15．答案:4
解析:由题意知P为圆C上一点,则有CP⊥l,设CP所在直线斜率为kCP,直线l的斜率为kl,于是有kCP·kl=-1,而kCP==-,∴kl=,∴a=4,
∴直线m:4x-3y=0,直线l:4x-3y+20=0.
∴直线l与m间的距离为=4.
16．答案:(2,-1) (x-1)2+y2=2
解析:根据题意,直线l:mx-y-2m-1=0,即m(x-2)=y+1,
则由解得
即直线l经过定点(2,-1).
设M(2,-1),则|MC|=,
以点C(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中,半径最大的圆的半径r=|MC|=.
故半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
四、解答题
17．解:设圆C的半径为r(r>0),则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5=r2,圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0.因为该直线过点(5,-2),所以r2=4.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
18．解:(1)∵直线l过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2,
∴直线在x轴,y轴上的截距分别为-3,5,
∴直线l的方程为=1,即5x-3y+15=0.
(2)∵直线l1过点且与直线l垂直,
∴直线l1的方程为y+1=-,即3x+5y-3=0.
∵直线l2与直线l1关于x轴对称,
∴直线l2的斜率为,且过点(1,0),
∴直线l2的方程为y=(x-1),
即3x-5y-3=0.
19．解:(1)解方程组得顶点A(-2,0).
又直线AB的斜率kAB==1,直线y=0是∠BAC的平分线,
故直线AC的斜率为-1,所以边AC所在直线的方程为y=-x-2.①
又BC边上的高所在直线的方程为x-3y+2=0,
故直线BC的斜率为-3,即kBC=-3,
所以直线BC的方程为y-3=-3(x-1),即y=-3x+6.②
联立方程①②,得顶点C的坐标为(4,-6).
(2)由两点间的距离公式得
|BC|==3,
又直线BC的方程是3x+y-6=0,
所以点A到直线BC的距离d=,
所以△ABC的面积为|BC|·d=×3=18.
20．解:(1)由已知,得圆C2的圆心为(0,3),半径为1.
由题意,可知所求圆的圆心C1位于y轴上,
设C1(0,t).因为|C1M|=|C1N|,
所以,
解得t=0,所以C1(0,0),圆C1的半径为2,
故圆C1的方程为x2+y2=4.
(2)将直线y=kx-(k+1)整理得y=k(x-1)-1,即恒过定点(1,-1),
因为直线l:y=kx-(k+1)截圆C1所得两段弧长之比为3∶1,
所以劣弧所对的圆心角为90°,圆心C1到直线l的距离为×2=,所以,解得k=1.
21．解法一:根据题意,作出图形如图所示.
解方程组
∴点M的坐标为(-1,2).
取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),
设点P关于直线l的对称点为P'(x0,y0),
则点P'在反射光线所在的直线上.
由PP'⊥l,可知直线PP'的斜率kPP'=-.
而线段PP'的中点Q的坐标为,
由题意,可知点Q在直线l上,
∴3×-2×+7=0,
即(x0-5)-y0+7=0.
由
即P'.
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.
解法二:设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P'(x,y),则=-,
又线段PP'的中点Q在直线l上,
∴3×-2×+7=0.
由
可得x0=,y0=,代入方程x-2y+5=0中,化简得29x-2y+33=0,
∴所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.
22．解:(1)由于圆C:x2+y2-6x+4y+4=0的圆心为C(3,-2),半径r=3,|CP|=,而弦长|MN|=4,
因为|CP|2+=r2,
所以CP⊥MN,且P为MN的中点,
所以所求圆的圆心坐标为(2,0),半径为|MN|=2,
故以MN为直径的圆Q的方程为(x-2)2+y2=4.
(2)由ax-y+1=0,得y=ax+1代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.①
由于直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点,
故方程①的根的判别式Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,解得a<0,即实数a的取值范围是(-∞,0).
假设符合条件的实数a存在,由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在直线l2上.
所以直线l2的斜率kPC=-2,
所以直线AB的斜率kAB=a=-,
所以a=.
由于 (-∞,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线-x+y+1=0的倾斜角与在y轴上的截距分别是( )
A.60°,1 B.60°,-1
C.45°,1 D.45°,-1
2.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行,则a的值是( )
A.1 B.-2
C.1或-2 D.-1或2
3.直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于( )
A. B.2
C.2 D.4
4.若a∈,则方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.0
5.已知圆C:x2+y2-4x=0,直线l过点P(3,0),则( )
A.l与C相交
B.l与C相切
C.l与C相离
D.以上三个选项均有可能
6.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=3
B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x-2)2+(y+1)2=9
D.(x+2)2+(y-1)2=9
7.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-2)2+y2=9交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为( )
A.x=1 B.y=1
C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0
8.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5-4 B.-1
C.6-2 D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知直线l的方程是Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则下列说法正确的是( )
A.若ABC≠0,则直线l不过原点
B.若直线l不过第四象限,则一定有AB<0
C.若AB<0,且AC>0,则直线l不过第四象限
D.若A2+B2=C2,则直线l与圆x2+y2=1相切
10.已知方程x2+y2+2x-m=0,下列叙述正确的是( )
A.方程表示的是圆
B.当m=0时,方程表示过原点的圆
C.方程表示的圆关于直线x+y+1=0对称
D.方程表示的圆的圆心在x轴上
11.下列说法正确的是( )
A.直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0的距离为
B.直线l过点P(2,4),且在x轴、y轴上截距相等,则直线l的方程为x+y-6=0
C.a∈R,b∈R,“直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件
D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线l的斜率为-
12.下列说法正确的是( )
A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,-3)
B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+=0的距离等于1
C.若曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线,则m=4
D.已知圆C:x2+y2=4,点P为直线=1上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点(1,2)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.以原点O为圆心且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是 .
14.已知点A(1,2)关于直线y=kx+b对称的点是B(-1,6),则直线y=kx+b在x轴上的截距是 .
15.过点P(-2,4)作圆C:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m间的距离为 .
16.在平面直角坐标系Oxy中,直线l:mx-y-2m-1=0(m∈R)过定点 ,以点C(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知圆C的圆心为(2,1),若圆C与圆O:x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点(5,-2),求圆C的方程.
18.(12分)已知直线l过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线l1过点且与直线l垂直,直线l2与直线l1关于x轴对称,求直线l2的方程.
19.(12分)如图,在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-3y+2=0,∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,3).
(1)求点A和点C的坐标;
(2)求△ABC的面积.
20.(12分)已知圆C1与圆C2:x2+y2-6y+8=0相切于点M(0,2),且经过点N(2,0).
(1)求圆C1的方程;
(2)若直线l:y=kx-(k+1)截圆C1所得两段弧长之比为3∶1,求实数k的值.
21.(12分)已知光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
22.(12分)已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.
(1)设过点P的直线l1与圆C交于M,N两点,当|MN|=4时,求以MN为直径的圆Q的方程.
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、单项选择题
1．答案:D
2．答案:B
解析:因为两条直线平行,所以1×2-a(a+1)=0,解得a=-2或a=1.当a=-2时,直线x-2y-7=0与直线-x+2y-14=0互相平行;当a=1时,直线x+y-7=0与直线2x+2y-14=0重合,不满足题意,故a=-2.
3．答案:B
解析:由题意,得圆心为(-1,0),半径r=,弦心距d=,
故所求的弦长为2=2.
4．答案:A
解析:方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0,即方程+(y+a)2=1-a-a2.当1-a-a2>0,即-2
5．答案:A
解析:∵32+02-4×3<0,
∴点P在圆内.故选A.
6．答案:C
解析:∵点(2,-1)到直线3x-4y+5=0的距离为=3,
∴所求圆的半径为3.故圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.
7．答案:D
解析:由题意得,当CM⊥l时,弦长最短,∠ACB最小.设CM所在直线斜率为kCM,直线l的斜率为kl,则kl·kCM=-1,又kCM==-2,∴kl=,∴直线l的方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.
8．答案:A
解析:由题意知,圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心分别为C1(2,3),C2(3,4),半径r1=1,r2=3,且|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-r1-r2,点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2,-3),
所以|PC1|+|PC2|=|PC|+|PC2|≥|CC2|=5,
即|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4≥5-4.
二、多项选择题
9．答案:ACD
解析:当ABC≠0时,即A,B,C都不等于0,当x=y=0时,A·0+B·0+C≠0,所以直线l不过原点,故A正确;
若直线不过第四象限,当直线只过第一、第二象限时,A=0,->0,则AB=0,故B不正确;
若AB<0,AC>0,->0,-<0,即直线l的斜率大于0,在x轴上的截距小于0,则直线过第一、二、三象限,不过第四象限,故C正确;
当A2+B2=C2时,圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线l的距离d==1,即直线l与圆x2+y2=1相切,故D正确.
10．答案:BCD
解析:方程x2+y2+2x-m=0,配方得(x+1)2+y2=m+1,若方程表示一个圆,则m+1>0,即m>-1,A错误;B正确;
方程表示圆时,圆心为(-1,0),在直线x+y+1=0上,C,D正确.
故选BCD.
11．答案:ACD
解析:对于A,直线l1与l2的距离为,故A正确;
对于B,直线l过点P(2,4),当截距不为0时,设直线l的方程为=1(a≠0),将点P(2,4)的坐标代入,得=1,即a=6,此时直线l的方程为x+y-6=0;当截距为0时,设直线l的方程为y=kx,将点P(2,4)的坐标代入,得k=2,即直线l的方程为2x-y=0,故B错误;
对于C,由直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+1=0垂直,得a(a+1)-4a=0,解得a=0或a=3,故C正确;
对于D,设直线l的方程为ax+by+c=0,沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,得a(x+3)+b(y-2)+c=0,即ax+by+3a-2b+c=0,所以3a-2b+c=c,即3a-2b=0,所以斜率k=-=-,故D正确.
12．答案:BCD
解析:选项A,由(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R),得m(x+3)+3x+4y-3=0,
由所以直线恒过定点(-3,3),故A不正确;
选项B,圆心(0,0)到直线l的距离d==1,圆的半径r=2,故圆上有且仅有3个点到直线l的距离等于1,故B正确;
选项C,圆C1的圆心C1(-1,0),半径r1=1,圆C2的圆心C2(2,4),半径r2=,由题意可知两圆外切,所以|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=4,故C正确;
选项D,设点P(m,n),则=1,即m+2n=4.因为PA,PB分别为过点P所作的圆的两条切线,所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以点A,B在以CP为直径的圆上,以CP为直径的圆的方程为,即x2+y2-mx-ny=0,与圆C的方程x2+y2=4相减可得mx+ny=4,消去m得(4-2n)x+ny=4,即n(y-2x)+4x-4=0,由所以直线AB经过定点(1,2),故D正确.
三、填空题
13．答案:x2+y2=25
解析:由题意得原点O到直线3x+4y+15=0的距离d==3,设圆的半径为r(r>0),则r2=32+42=25.故圆的方程是x2+y2=25.
14．答案:-8
解析:由题意知解得故直线y=kx+b的方程为y=x+4,其在x轴上的截距为-8.
15．答案:4
解析:由题意知P为圆C上一点,则有CP⊥l,设CP所在直线斜率为kCP,直线l的斜率为kl,于是有kCP·kl=-1,而kCP==-,∴kl=,∴a=4,
∴直线m:4x-3y=0,直线l:4x-3y+20=0.
∴直线l与m间的距离为=4.
16．答案:(2,-1) (x-1)2+y2=2
解析:根据题意,直线l:mx-y-2m-1=0,即m(x-2)=y+1,
则由解得
即直线l经过定点(2,-1).
设M(2,-1),则|MC|=,
以点C(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中,半径最大的圆的半径r=|MC|=.
故半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
四、解答题
17．解:设圆C的半径为r(r>0),则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5=r2,圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0.因为该直线过点(5,-2),所以r2=4.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
18．解:(1)∵直线l过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2,
∴直线在x轴,y轴上的截距分别为-3,5,
∴直线l的方程为=1,即5x-3y+15=0.
(2)∵直线l1过点且与直线l垂直,
∴直线l1的方程为y+1=-,即3x+5y-3=0.
∵直线l2与直线l1关于x轴对称,
∴直线l2的斜率为,且过点(1,0),
∴直线l2的方程为y=(x-1),
即3x-5y-3=0.
19．解:(1)解方程组得顶点A(-2,0).
又直线AB的斜率kAB==1,直线y=0是∠BAC的平分线,
故直线AC的斜率为-1,所以边AC所在直线的方程为y=-x-2.①
又BC边上的高所在直线的方程为x-3y+2=0,
故直线BC的斜率为-3,即kBC=-3,
所以直线BC的方程为y-3=-3(x-1),即y=-3x+6.②
联立方程①②,得顶点C的坐标为(4,-6).
(2)由两点间的距离公式得
|BC|==3,
又直线BC的方程是3x+y-6=0,
所以点A到直线BC的距离d=,
所以△ABC的面积为|BC|·d=×3=18.
20．解:(1)由已知,得圆C2的圆心为(0,3),半径为1.
由题意,可知所求圆的圆心C1位于y轴上,
设C1(0,t).因为|C1M|=|C1N|,
所以,
解得t=0,所以C1(0,0),圆C1的半径为2,
故圆C1的方程为x2+y2=4.
(2)将直线y=kx-(k+1)整理得y=k(x-1)-1,即恒过定点(1,-1),
因为直线l:y=kx-(k+1)截圆C1所得两段弧长之比为3∶1,
所以劣弧所对的圆心角为90°,圆心C1到直线l的距离为×2=,所以,解得k=1.
21．解法一:根据题意,作出图形如图所示.
解方程组
∴点M的坐标为(-1,2).
取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),
设点P关于直线l的对称点为P'(x0,y0),
则点P'在反射光线所在的直线上.
由PP'⊥l,可知直线PP'的斜率kPP'=-.
而线段PP'的中点Q的坐标为,
由题意,可知点Q在直线l上,
∴3×-2×+7=0,
即(x0-5)-y0+7=0.
由
即P'.
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.
解法二:设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P'(x,y),则=-,
又线段PP'的中点Q在直线l上,
∴3×-2×+7=0.
由
可得x0=,y0=,代入方程x-2y+5=0中,化简得29x-2y+33=0,
∴所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.
22．解:(1)由于圆C:x2+y2-6x+4y+4=0的圆心为C(3,-2),半径r=3,|CP|=,而弦长|MN|=4,
因为|CP|2+=r2,
所以CP⊥MN,且P为MN的中点,
所以所求圆的圆心坐标为(2,0),半径为|MN|=2,
故以MN为直径的圆Q的方程为(x-2)2+y2=4.
(2)由ax-y+1=0,得y=ax+1代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.①
由于直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点,
故方程①的根的判别式Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,解得a<0,即实数a的取值范围是(-∞,0).
假设符合条件的实数a存在,由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在直线l2上.
所以直线l2的斜率kPC=-2,
所以直线AB的斜率kAB=a=-,
所以a=.
由于 (-∞,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.