第二章 直线和圆的方程 过关检测(A卷)（含解析）

《第二章 直线和圆的方程》过关检测(A卷)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.与直线l:3x-5y+4=0关于x轴对称的直线的方程为(　　)
A.3x+5y+4=0 B.3x-5y-4=0
C.5x-3y+4=0 D.5x+3y+4=0
2.已知圆C以点(2,-3)为圆心,以5为半径,则点M(5,-7)与圆C的位置关系是(　　)
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.无法判断
3.已知直线l1的倾斜角为60°,直线l2经过点A(1,),B(-2,-2),则直线l1,l2的位置关系是(　　)
A.平行或重合 B.平行
C.垂直 D.重合
4.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是(　　)
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
5.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称,则k=(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
6.已知直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△EOF(O是原点)的面积为(　　)
A. B.
C.2 D.
7.若x,y满足x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值是(　　)
A.-5 B.5-
C.30-10 D.无法确定
8.如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是(　　)
A.2 B.6
C.3 D.2
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知直线l:x-y+1=0,则下列说法正确的是(　　)
A.直线l的倾斜角是
B.过点(,1)与直线l平行的直线方程是x-y-2=0
C.点(,0)到直线l的距离是2
D.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m
10.已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,则(　　)
A.l1恒过点(2,-2)
B.若l1∥l2,则a2=
C.若l1⊥l2,则a2=1
D.当0≤a≤1时,l2不经过第三象限
11.已知点A(-1,0),B(1,0)均在圆C:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)外,则下列表述正确的是(　　)
A.实数r的取值范围是(0,)
B.|AB|=2
C.直线AB与圆C不可能相切
D.若圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP,则r的值是3-1
12.设m∈R,过定点M的直线l1:mx-y-3m+1=0与过定点N的直线l2:x+my-3m-1=0相交于点P,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦,且|AB|=2,则下列结论正确的是(　　)
A.l1一定垂直l2
B.|PM|+|PN|的最大值为4
C.点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=2
D.||的最小值为2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知点M(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点,则过点M的最长的弦所在直线的方程为　　　　　　　　　　.
14.已知直线l与直线y=1,x-y-7=0分别相交于点P,Q,线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为　　　　　.
15.对于任意实数k,直线(3k+2)x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是　　　　　　　　.
16.已知两圆C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,则经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程为　　　　　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知△ABC的三个顶点为A(4,0),B(8,10),C(0,6).
(1)求过点A且平行于直线BC的直线的方程;
(2)求过点B且与点A,C距离相等的直线的方程.
18.(12分)已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,求直线l的方程.
19.(12分)如图所示,射线OA,OB分别与x轴正半轴分别成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于点A,B,当线段AB的中点C在直线y=x上时,求直线AB的方程.
20.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值时点P的坐标.
21.(12分)已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-m=0.
(1)若点A(m,-2)在圆C的内部,求m的取值范围.
(2)若当m=4时:
①设P(x,y)为圆C上的一个动点,求(x-4)2+(y-2)2的最值.
②问是否存在斜率是1的直线l,使以直线l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点 若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.
22.(12分)如图,已知圆心坐标为(,1)的圆M与x轴及直线y=x分别相切于点A,B,另一圆N与圆M外切,且与x轴及直线y=x分别相切于点C,D.
(1)求圆M与圆N的方程;
(2)过点B作直线MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.
参考答案
一、单项选择题
1．答案:A
解析:因为点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),所以只需将已知直线方程中的变量y变为-y即可,即为3x+5y+4=0.
2．答案:B
解析:由已知得点M(5,-7)与圆心(2,-3)的距离d==5=r(r为圆C的半径),故点M在圆C上.
3．答案:A
解析:由题意可知直线l1的斜率k1=tan 60°=,直线l2的斜率k2=,则k1=k2,所以l1∥l2或l1,l2重合.
4．答案:D
解析:由已知得圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l:y-3=x-0,即x-y+3=0.
5．答案:A
解析:联立直线与圆的方程,得
消去y,得(1+k2)x2+2kx-9=0,Δ>0.
设直线与圆的两交点的横坐标分别为x1,x2,则由题意,可得x1+x2=-=0,
所以k=0.
6．答案:D
解析:由已知得该圆的圆心为A(2,-3),半径r=3,圆心到直线的距离d=,弦长为2=2=4.
因为原点到直线的距离为,
所以△EOF的面积S=×4×.
7．答案:C
解析:把圆的一般方程化为标准方程得(x-1)2+(y+2)2=25,圆心坐标为C(1,-2),半径r=5.设P(x,y)是圆C上一点.
∵,
∴表示圆C上一点P与原点O的距离.如图,当点P位于图中位置时,|PO|最小,且|PO|min=|PC|-|OC|=5-=5-.
故(x2+y2)min=30-10.
8．答案:A
解析:由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则由题意得光线所经过的路程等于|CD|=2.
二、多项选择题
9．答案:BC
解析:对于选项A,直线l的斜率为,故倾斜角为,A错误;
对于选项B,直线l的斜率为,则过点(,1)与直线l平行的直线方程为y-1=(x-),即x-y-2=0,B正确;
对于选项C,由点到直线的距离公式,得d==2,C正确;
对于选项D,直线l的斜率kl=,直线m的斜率km=,则kl·km=1≠-1,故直线l与m不垂直,D错误.
10．答案:BD
解析:l1:(a+1)x+ay+2=0即a(x+y)+x+2=0.由
即直线l1恒过点(-2,2),故A不正确;
当l1∥l2时,有(a+1)(1-a)-a2=0,且a×(-1)≠2×(1-a),则a2=,故B正确;
当l1⊥l2时,有a(a+1)+a(1-a)=0,解得a=0,故C不正确;
若直线l2不经过第三象限,则当1-a≠0时,有解得0≤a<1;
当1-a=0,即a=1时,直线l2:x=1,也不经过第三象限.
所以当0≤a≤1时,直线l2不经过第三象限,D正确.
11．答案:ABD
解析:因为|AC|=5,|BC|=,所以0|AB|=2,B正确;
因为点C到直线AB的距离即点C到x轴的距离,等于3,所以当r=3时,直线AB与圆C相切,故C错误;
因为AP⊥BP,所以点P在以AB为直径的圆上.
又因为A(-1,0),B(1,0),所以点P在圆x2+y2=1上,
又点P在圆C:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)上,且点A,B在圆C外,
所以圆x2+y2=1与圆C外切,且点P为切点,
所以1+r==3,即r=3-1.故D正确.
12．答案:AD
解析:对于A,当m=0时,直线l1:y=1与l2:x=1垂直;当m≠0时,直线l1的斜率k1=m,直线l2的斜率k2=-,则k1·k2=-1,所以l1与l2垂直,综上,l1一定垂直l2,故A正确;
对于B,l1过定点M(3,1),l2过定点N(1,3),在Rt△PMN中,|MN|=2,设∠PMN=θ,则|PM|+|PN|=2cos θ+2sin θ=4sin≤4,故B错误;
对于C,当点P与点M或点N重合时,P(3,1)或P(1,3);当点P与点M,N不重合时,由=0,得点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=2,点(3,1)和(1,3)的坐标也满足此式,又因为直线l1不能同时过点(3,1),(3,3),所以点P的轨迹不经过点(3,3),故C错误;
对于D,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则|CD|=,即点D的轨迹方程为(x+1)2+(y+1)2=2,因为||=2||,且||的最小值为,所以||的最小值为2.故D正确.
三、填空题
13．答案:x-y-3=0
解析:因为直径是圆的最长的弦,所以圆心在所求的直线上.由圆的一般方程得圆心坐标为(4,1),所以所求的直线方程为,即x-y-3=0.
14．答案:-
解析:设点P(x,1),Q(x0,y0),则将点Q的坐标代入x-y-7=0,得2-x+3-7=0.∴x=-2,
∴P(-2,1),Q(4,-3),∴直线l的斜率kl=-.
15．答案:相切或相交
解析:将直线方程(3k+2)x-ky-2=0整理得(3x-y)k+2x-2=0,
由解得x=1,y=3,即直线恒过定点(1,3).
又点(1,3)在圆上,
∴直线与圆相切或相交.
16．答案:x2+y2-x-2y=0
解析:设所求圆的方程为x2+y2-2x-4y+4+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),即x2+y2-x-y-=0,所以圆心坐标为,半径为,依题意得,解得λ=1(λ=-1舍去),故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0.
四、解答题
17．解:(1)由题意知,直线BC的斜率kBC=,故过点A且平行于直线BC的直线的方程为y-0=(x-4),即x-2y-4=0.
(2)显然,所求直线的斜率存在.设过点B的直线的方程为y-10=k(x-8),即kx-y-8k+10=0,
由题意得,解得k=或k=-.
故所求的直线方程为y-10=(x-8)或y-10=-(x-8),
即7x-6y+4=0或3x+2y-44=0.
18．解:由已知得圆(x+1)2+(y+2)2=25的圆心坐标为(-1,-2),半径r=5,
①当直线l的斜率不存在时,其方程为x=-4,由题意可知直线x=-4符合题意.
②当直线l的斜率存在时,设其方程为y+3=k(x+4),即kx-y+4k-3=0.
由题意可知=52,
解得k=-.即所求直线方程为4x+3y+25=0.
综上所述,满足题设的直线l的方程为x=-4或4x+3y+25=0.
19．解:由题意可得直线OA的斜率kOA=tan 45°=1,直线OB的斜率kOB=tan(180°-30°)=-,所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.设A(m,m),B(-n,n),所以线段AB的中点C的坐标为.
由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得
解得m=或m=0(不合题意,舍去),
所以A().
又P(1,0),所以kAB=kAP=,
所以直线lAB:y=(x-1),
即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
20．解:(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2.
①当切线在两坐标轴上的截距为0时,设切线方程为y=kx,则圆心到切线的距离,即k2-4k-2=0,解得k=2±.
∴切线方程为y=(2±)x.
②当切线在两坐标轴上的截距不为0时,设切线方程为x+y-a=0(a≠0),
则圆心到切线的距离,即|a-1|=2,解得a=3或a=-1.
∴所求切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
综上所述,所求切线方程为y=(2+)x或y=(2-)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)∵|PO|=|PM|,∴=(x1+1)2+(y1-2)2-2,
即2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.
当|PM|取最小值时,|OP|取得最小值,此时直线OP⊥l,
∴直线OP的方程为2x+y=0.
联立方程解得
∴点P的坐标为.
21．解:(1)由已知得圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5+m,因此m>-5.
再根据点A(m,-2)在圆C的内部,可得(m-1)2+(-2+2)2<5+m,
解得-1故m的取值范围为(-1,4).
(2)①当m=4时,圆C的方程即(x-1)2+(y+2)2=5+4=9,而(x-4)2+(y-2)2表示圆C上的点P(x,y)到点H(4,2)的距离的平方,
又|HC|==5,故(x-4)2+(y-2)2的最大值为(5+3)2=64,(x-4)2+(y-2)2的最小值为(5-3)2=4.
②假设存在直线l满足题设条件,设直线l的方程为y=x+a,圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心C(1,-2),则弦AB的中点N是直线x-y+a=0与y+2=-(x-1)的交点,即N.
∵以AB为直径的圆经过原点,
∴|AN|=|ON|.
又CN⊥AB,|CN|=,
∴|AN|=.
∴,
解得a=-4或a=1.
∴存在直线l,其方程为x-y-4=0或x-y+1=0,检验可知符合题意.
22．解:(1)因为点M的坐标为(,1),所以点M到x轴的距离为1,即圆M的半径为1,则圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1.
设圆N的半径为r(r>0),连接MA,NC,如图所示,则MA⊥x轴,NC⊥x轴.
由题意知点M,N都在∠COD的平分线上,
所以O,M,N三点共线.
所以Rt△OAM∽Rt△OCN,所以|OM|∶|ON|=|MA|∶|NC|,即,解得r=3.
则|OC|=3,N(3,3),则圆N的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.
(2)由对称性可知所求的弦长等于过点A与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度.
设过点A与MN平行的直线为l',则直线l'的方程是y=(x-)=(x-),
即x-y-=0.
圆心N到直线l'的距离d=,
则所求弦长为2=2.