人教版数学八年级下册 18.2.2菱形课时2课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
特殊的平行四边形
八年级下册 RJ
初中数学
18.2.2 菱形 课时2
四条边都相等
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
轴对称图形，有两条对称轴.
菱形的特殊性质有哪些？
知识回顾
1.掌握菱形的判定及证明过程.
2.能熟练运用菱形的判定进行计算和证明.
学习目标
思考 已知一个平行四边形，怎么样可以判定它是一个菱形？你能够证明吗？
平行四边形
什么条件？
菱形
课堂导入
判定1（定义法）:
数学语言：
在平行四边形ABCD中， ∵ AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
A
B
D
C
菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的判定方法.
知识点：菱形的判定
新知探究
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直. 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
你能试着给出证明吗？
A
B
D
C
O
┐
例1 已知：在平行四边形ABCD中， AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB=OD.
∵ AC⊥BD ,
∴ BA=AD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
等腰三角形三线合一
A
B
D
C
O
┐
数学语言：
在平行四边形ABCD中，∵ AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
A
B
D
C
O
┐
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
通过以上证明，我们得到菱形的判定2：
例2 如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.
求证：平行四边形ABCD是菱形.
D
A
C
B
O
证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3,

∴△AOB是直角三角形,
∴AC⊥BD,
∴ 平行四边形ABCD是菱形.
勾股定理的逆定理
思考 动手画出一个四边形，满足有两条边相等的四边形是菱形吗？
不是
不是
？
你能进行证明吗？
三条边相等呢？
四条边相等呢？
已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=CD=BC=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
D
C
数学语言：
在四边形ABCD中，
∵ AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
D
C
四条边相等的四边形是菱形.
通过以上证明，我们得到菱形的判定3：
判定方法 数学语言 图形
边
对角线
有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）
四条边相等的四边形是菱形
∵平行四边形ABCD中，AB=BC , ∴四边形ABCD是菱形.
∵四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵平行四边形ABCD中， AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
O
┐
1.下列说法中正确的是（ ）.
C
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.两条邻边相等，一组对角相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D.两条邻边相等的四边形是菱形
跟踪训练
新知探究
解析：对于选项A，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对于选项B，两条邻边相等，两组对角相等的四边形是菱形.
对于选项C，两条邻边相等的平行四边形是菱形.
2.平行四边形ABCD的两对角线AC, BD相交于点O.
（1）若AB=AD，则平行四边形ABCD是 .
（2）若∠BAO=∠DAO，则平行四边形ABCD是 .
（3）若平行四边形ABCD是菱形，则AC BD.
菱形
菱形
⊥
A
B
D
C
O
要熟记菱形的判定方法哦!
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）.
A.两对角线互相垂直
B.两对角线相等
C.两对角线互相平分
D.两对角线互相垂直平分
D
随堂练习
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
2.如图，在菱形ABCD中，对角线 AC, BD 交于点O，点 E, F, G, H 分别是 OA, OB, OC, OD 的中点.
求证：四边形EFGH是菱形.
D
A
B
C
O
E
F
G
H
利用三角形的中位线定理，证明四边形EFGH的四条边相等
证明： ∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD.
∵点E，F，G，H分别是
OA，OB，OC，OD的中点,
∴EF，FG，GH，EH分别是△AOB, △BOC, △COD, △AOD的中位线,

∴EF=FG=GH=EH,
∴四边形EFGH是菱形.
D
A
B
C
O
E
F
G
H
3.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF. 求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC， AD//BC.
∵ DE=BF, ∴ AE=CF.
又AE//CF, ∴四边形AECF是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
∵ AC⊥EF ,
∴四边形AECF是菱形.
菱形的判定
判定1
判定3
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定2
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
课堂小结
1.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点的四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展提升
需添加辅助线构造三角形的中位线，进而证明四边形EFGH的四条边相等.
证明：连接矩形ABCD的对角线AC，BD，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD.
∵ E，F分别是BA，BC的中点，
∴ EF是△BAC的中位线，

A
B
C
D
E
F
G
H

∴ EF// HG ， EH// FG， EF=FG=GH=EH,
∴ 四边形EFGH是菱形.
A
B
C
D
E
F
G
H


2. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BA=BC，BD平分∠ABC.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点 D 作DE⊥BD，交 BC 的延长线于点 E，若 BC=5， BD=8，求四边形ABED的周长.
A
B
C
D
E
（1）证明：∵ AD//BC, ∴∠ADB=∠CBD.
∵ BD平分∠ABC,
∴∠ADB=∠ABD,
∵ BA=BC, ∴AD=CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ BA=BC, ∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
E
∴AD=AB.
∴∠ABD=∠CBD,
利用菱形的判定1（定义法）
（2）∵ DE⊥BD ，∴∠BDE=90
∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90 .
∴∠DBC=∠BDC，∴∠E=∠CDE，
∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，
∴CD=CE=BC，∴BE=2BC=10.

∴ AD=AB=BC=5.

A
B
C
D
E