高中数学必修第一册人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》章末复习学案（含答案）

《指数函数与对数函数》章末复习
专题1 指数函数、对数函数的定义域、值域及有关计算
从近几年高考试题分析来看,求函数的定义域是高考的热点问题,多与对数函数结合命题,题型以选择题、填空题为主,难度较小,属容易题.
函数的求值问题在近几年的高考中经常出现,是考查的重点之一,主要考查一次函数、二次函数、指数函数及对数函数的求值.
例1（1）（江西高考）函数的定义域为（ ）.
A.（0,1）
B.[0,1）
C.（0,1]
D.[0,1]
（2）（广东高考）函数的定义域是（ ）.
A.（-1,+∞）
B.[-1,+∞）
C.（-1,1）∪（1,+∞）
D.[-1,1）∪（1,+∞）
（3）（2018·全国I高考）已知函数,若,则a= .
（4）（浙江高考）已知函数,则 ,的最小值是 .
（5）（山东高考）已知函数的定义域和值域都是[-1,0],则
a+b= .
解（1）由,解得0≤x<1,故选B.
（2）由x+1>0且x-1.故选C.
（3）.
（4）1+2-3=0.当x≥1时,当x<1时,,.
综上,.
（5）当01时,解得,无解.综上,.
答（1）B（2）C（3）-7（4）0 （5）
专题2 指数函数、对数函数的单调性与奇偶性的研究
从近几年的高考试题来看,指数函数、对数函数的性质是高考的热点,题型一般为选择题、填空题,属中档题,主要考查函数的奇偶性、单调性.
例2（1）（2017·全国I高考）已知函数,则（ ）.
A.在（0,2）上单调递增
B.在（0,2）上单调递减
C.的图像关于直线x=1对称
D.的图像关于点（1,0）对称
（2）已知a>0,且a≠1,函数在上单调递减,则（ ）.
A.在（-∞,-1）上单调递减,在（-1,1）上单调递增
B.在（-∞,-1）上单调递增,在（-1,1）上单调递减
C.在（-∞,-1）上单调递增,在（-1,1）上单调递增
D.在（-∞,-1）上单调递减,在（-1,1）上单调递减
解（1）由题知（0（2）令当x>1时,,t在（1,+∞）上单调递增,而在（1,+∞）上单调递减,所以单调递减,即0答（1）C（2）A
专题3 指数函数、对数函数的图像及其应用
（1）图像的画法与变换
重点考查识图、用图、画图等方面的能力,多以选择题、填空题的形式出现.函数的图像是数形结合的典范,纵观近几年高考试题,函数图像的考查涉及的知识面广、形式灵活,经常会以新面孔出现,是每年的必考内容.
例3（1）（2018·哈尔滨三中高一期中考试）已知函数=,则的图像大致是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（2）（2019·广东清远高三八月调考）已知,,若,则在同一平面直角坐标系内的大致图像是( ).
A.
B.
C.
D.
解（1）先作出=的大致图像,如图,再把的图像向左平移1个单位长度,可得到的图像.故选B.
（2）由知,和在（0,+∞）上都是减函数,只有B选项符合.故选B.
答（1）B（2）B
（2）图像的应用
例4（1）已知函数满足,当x∈[-1,1]时,,那么函数的图像与函数的图像的交点共有（ ）.
A.10个
B.9个
C.8个
D.1个
（2）（2017·山东高考）已知当x∈[0,1]时,函数的图像与的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是（ ）.
A.（0,1]∪[,+∞）
B.（0,1]∪[3,+∞）
C.（0,]∪[,+∞）
D.（0,]∪[3,+∞）
解（1）画出这两个函数的图像,如图所示,可以看出交点有10个.故选A.
（2）当x∈[0,1]时,的值域为[m,m+1],且在[0,1]上单调递增..由m>0,①当≥1,即0②当<1,即m>1时,函数在上单调递减,在
上单调递增,值域为.如图,若两函数图像在[0,1]上有且只有一个交点,则,解得m≥3.综上所述,m的取值范围是（0,1] [3,+∞）.故选B.
答（1）A（2）B
专题4 比较大小与求参数的范围
（1）幂值的大小比较
比较两个数（式）或几个数（式）的大小问题是一个重要题型,它主要是考查幂函数、指数函数、对数函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用,常用的方法有单调性法、图像中间量搭桥法、作差法、作商法等
例5（1）（山东高考）设,则a,b,c的大小关系是（ ）.
A.aB.aC.bD.b（2）（2018·云南曲靖一中高一月考）若0A.
B.
C.
D.
解（1）因为函数是减函数,0<0.6<1.5,所以1>,即b1.综上,b
（2）因为0答（1）C（2）C
（2）求参数的范围
例6（1）（全国‖高考）设函数,则使得成立的x的取值范围是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（2）（湖南高考）已知函数与的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（3）（2019·广西玉林高三八月摸底考试）当0A.
B.
C.
D.
解（1）由可知是偶函数,且在[0,+∞）上是增函数,所以.故选A.
（2）由题可得存在∈（-∞,0）满足
,令.因为函数在定义域内都是单调递增的,所以函数在定义域内是单调递增的.又因为当x趋近于-∞时,函数h（x）<0,且h（x）=0在（-∞,0）上有解（即函数h（x）有零点）,所以h（0）=,故选B.
（3）易知0答（1）A（2）B（3）B
专题5 函数的零点（方程的根）的讨论
（1）求零点的个数
求函数零点有两种基本方法：一是求方程f（x）=0的实根；二是当方程的实根不易求解时,将它与函数y=f（x）的图像联系起来,综合函数零点的性质与函数图像的性质找出零点.
例5（1）（天津高考）函数在区间（0,1）内的零点个数是（ ）.
A.0
B.1
C.2
D.3
（2）（江苏高考）已知函数,g（x）=,则方程的实根的个数为 .
解（1）解法一：因为f（0）=1+0-2=-1,f（1）=2+1-2=1,即f（0）·f（1）<0且函数f（x）在（0,1）内单调递增且连续不断,故f（x）在（0,1）内的零点个数是1.
解法二：设,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示,可知B正确.
（2）由可得f（x）+g（x）=±1,即g（x）=f（x）±1,则原问题等价于函数y=g（x）与y=-f（x）+1或y=g（x）与y=-f（x）-1的图像的交点个数问题,在同一坐标系中作出y=g（x）,y=-f（x）+1及y=-f（x）-1的图像,如图.
由图可知,函数y=g（x）的图像与函数y=-f（x）+1的图像有2个交点,与函数y=-f（x）-1的图像有2个交点,则方程实根的个数为4.
答（1）B（2）4
（2）利用函数零点的个数求参数范围
例8（2019·天津高考）已知函数若关于x的方程
恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为（ ）.
A.
B.
C.
D.
解如图,当直线位于B点及其上方且位于A点及其下方,或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求,即,即或者,得,即,得a=1,所以a的取值范围是.故选D.
答D
专题6 函数模型的实际应用
通过对近几年高考试题的分析可以看出,对函数的实际应用问题的考查,更多地以社会实际生活为背景,设问新颖、灵活,题型以解答题为主,难度中等偏上,主要考查建模能力,同时考查分析问题解决问题的能力.
例9 某食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系为自然对数的底数,k,b为常数）,该食品在0℃的保鲜时间是192h,在16℃的保鲜时间是12h,若要使该食品的保鲜时间至少是96h,则储存温度x最大不能高于 ℃.
解为自然对数的底数,k,b为常数）.
当x=0时,,
当x=16时,
即.
若,则,
即,即.,则x=4,即储存温度x最大不能高于4℃,故答案为4.
答4
例10（2019河南许昌高中高一期中检测）载人飞船是通过火箭发射的.已知某型号火箭的起飞重量Mt是箭体（包括搭载的飞行器）的重量mt和燃料重量xt之和.在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度ykm/s关于x的函数关系为.当燃料重量为mt时,该火箭的最大速度为4km/s.
（1）求此型号火箭的最大速度ykm/s与燃料重量xt之间的函数关系式；
（2）若此型号火箭的起飞重量是479.8t,则应装载多少吨燃料（精确到0.1t,取e≈2.718）才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s,顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
解（1）由题意,得,解得k=8,
所以.
（2）由已知,得M=m+x=479.8,则m=479.8-x.
将y=8代入（1）中所得式中,得,解得x≈303.3
所以应装载大约303.3t燃料,才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s,顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道.
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