高中数学必修第一册人教A版（2019）5.1.1《任意角》名师课件（共48张PPT）

(共48张PPT)
回顾：1、在初中角是如何定义的？
定义：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角。
顶点
边
边
复习引入
2.角是如何度量的
角的单位是度.规定:周角的1/360为1度的角.
3.我们学过哪些角 它们的大小是多少
锐角:大于0度小于90度
钝角:大于90度小于180度
直角等于90度
平角等于180度
周角等于360度
我们以前所学过的角都是大于0度小于或等于360度的角.
复习引入
生活中的角是不是都在范围[00 ,3600 ]内？
复习引入
人教A版同步教材名师课件
任意角
学习目标
学 习 目 标 核心素养
结合具体实例理解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角 数学抽象
掌握用集合表示终边相同的角 逻辑推理
会判断角的终边所在的象限 逻辑推理
理解象限角，轴线角的含义及其表示 数学抽象
课程目标
1.了解任意角的概念.
2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．
3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．
数学学科素养
1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；
2.逻辑推理：求区域角；
3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.
学习目标
体操运动员：后手翻转体180度接前直空翻540度”
探究新知
跳水运动员向内、向外转体1080
探究新知
体操运动员转体1260度
探究新知
这些例子所提到的角不仅不在范围[00 ,3600 ] 中，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？
运动
探究新知
o
A
B
始边　
终边
顶点
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.
探究新知
逆时针
顺时针
一、任意角定义
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角　
零角：射线不作旋转时形成的角
任意角

探究新知
如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，
探究新知
说明：
1：角的正负由旋转方向决定
2：角可以任意大小，大小由旋转次数及终边位置决定
探究新知
思考：下面的角度如何表示？
（１）你的手表慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？
（２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？
-30°
900°
探究新知
o
始边　
终边
　
终边
终边
终边
1)置角的顶点于原点
终边落在第几象限就是第几象限角
2)始边重合于轴的正半轴
终边　
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
二、象限角的定义
探究新知
坐标轴上的角：
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
例如：角的终边落在轴或轴上。
轴线角:终边落在坐标轴上的角
探究新知
1、锐角是第几象限的角？
2、第一象限的角是否都是锐角？
3、小于90°的角都是锐角吗？
答：锐角是第一象限的角。
答：第一象限的角并不都是锐角。
答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。
4、在坐标平面内作出下列各角：30°，390°，-330°;它们是第 象限的角.
一
探究新知
3900
x
y
o
300
-3300
猜想:与300终边相同的角可表示成什么
探究新知
3900
3900=300+3600
-3300=300-3600
=300+1x3600
=300 -1x3600
300 =300+0x3600
300+2x3600 ,
300－2x3600
300+3x3600 ,
300－3x3600
…… …,
与300终边相同的角的一般形式为300＋K·3600，K ∈ Z
x
y
o
300
-3300
探究新知
注意:
（1） K∈Z
（2）α是任意角
S={ β|β=α+k 360°,k∈ Z}
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
三.终边相同的角
探究新知
（５）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍
（3）K·360°与α 之间是“+”号，
如K·360°-30 °应看成K·360 °+（-30）°
探究新知
终边落在坐标轴上的情形
x
y
o
00
900
1800
2700
+K · 3600
+K ·3600
+K· 3600
+K· 3600

探究新知
思考：第一象限角如何用集合表示？
思考：终边落在其他三个象限的角如何用集合表示？



第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
探究新知
典例讲解
例1、写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360 °~ 1080 °内与75°角终边相同的角.
解析
与75°角终边相同的角的集合为
，
所以=1或=2，当=1时， ；当=2时， 。
综上所述，与75°角终边相同且在360°~1080°内的角为435°角和795°角。
方法归纳
求在某个范围内与已知角终边相同的角时，首先将这样的角表示成的形式，然后由）在限制范围内，建立不等式，通过求解不等式，确定的值，求出满足条件的角.或者采用赋值法求解，看角是否在限制范围内，从而求出满足条件的角.
变式训练
1、若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是_____.
解析
因为角的终边与288°角的终边相同，所以所以
所以在的终边相同的角是
典例讲解
例2、在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角
（1）-120°；（2）660°；（3） -950°8′
解析
（1）因为，所以在0°~360°范围内，与-120°角终边相同的角是240°角，是第三角限的角.
（2）因为，所以在0 °~360°范围内，与角终边相同的角是300°角，是第四象限的角.
（3）因为，所以在0°~360°范围内，与角终边相同的角是129°52 角，是第二象限的角.
把各角表示成“α + 360°，∈Z，0°≤α<360°”的形式
判断角α终边
所在的象限
判断所给角是
第几象限的角
思路
分析
方法归纳
判定象限角的方法
判断已知角终边所在的象限的常用方法为将写成的形式，看角终边所在的象限.
变式训练
2、在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限的角.
（1）1005°；（2）2583°34′； （3）-1342°15′；（4）-470°.
解析
就是所求的角，它是第四象限的角，
是第四象限的角.
就是所求的角，它是第一象限的角，
是第一象限的角.
就是所求的角，它是第二象限的角，
是第二象限的角.
， 250°就是所求的角，它是第三象限的角，
-470°是第三象限的角.
终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β|β=900+k 3600,k∈Z}
={β|β=900+2k·1800 ,k∈Z}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β|β=2700+k 3600,k∈Z}
={β|β=900+(2k+1) ·1800 ,k∈Z}
S=S1∪S2
所以　终边落在ｙ轴上的角的集合为
={β|β=900+k 1800 ，k∈Z}
例3、写出终边落在Y轴上的角的集合.
典例讲解
解析
典例讲解
例4、写出终边在直线上的角的集合.
解析
解法一：终边在上的角的集合终边在上的角的集合
于是，终边在直线上的角的集合 ∈Z}.
解法二：在0°~180°范围内，当角的终边在直线上时，对应角为60°；旋转180 °后，终边落在直线上；再旋转180°，终边又落在上，故终边在直线上的角的集合
方法归纳
求解终边在某条直线或射线上的角的集合的思路
1、若所求角β的终边在某条射线上，则其集合的形式为
2、若所求角β的终边在某条直线上，则其集合的形式为.
此时的一般可以通过画图观察得到.
变式训练
3、（1）求终边在直线上的角的集合；
（2）求终边在直线上的角的集合.
解析
（1）终边落在直线上的角的集合为.
（2）终边在直线上的角的集合是.
典例讲解
例5、若角α是第二象限角，试判断下列各角是第几象限角.
解析
（1）由题意得，
。
故角2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角.
典例讲解
例5、若角α是第二象限角，试判断下列各角是第几象限角。
解析
（2）解法一（分类讨论法）：由（1）得 · ，
当k为偶数时， ，故角是第一象限角.
当k为奇数时，， ，故角为第三象限角.
综上角为第一或第三象限角.
解法二（几何图形法）：在平面直角坐标系内，先将各个象限2等分，再从轴正半轴起，
逆时针将各区域依次循环标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，由于角为第二象限角，则标Ⅱ的区域即为
角的终边所在的区域，故角为第一或第三象限角.
方法归纳
1.角所在象限的判断方法
已知角终边所在的象限，确定角所在的象限，可依据角的范围求出角的范围，再利用终边相同的角所在的象限相同判断即可.注意不要漏掉角的终边在坐标轴上的情况.
2.角所在象限的判断方法
方法一：分类讨论法.由角的范围，得到角的范围，从而对进行讨论得出角所在的象限.
方法二：几何图形法.先作出将各个象限等分且从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成4个区域，从轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4个区域依次循环标上号码I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，则标号是几的区域，就是为第几象限角时角的终边落在的区域，从而得出角所在的象限.
变式训练
4、若角是第二象限角，则角是第几象限角？
解析
解法一：
①
是第一象限角；
②，
是第二象限角；
③，
是第四象限角；
综上，角是第一或第二或第四象限角.
变式训练
4、若角是第二象限角，则角是第几象限角？
解析
解法二：在平面直角坐标系内，先将各象限3等分，再从轴正半轴起，逆时针将各区域依次循环标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，如图
角的终边在第二象限，标号为Ⅱ的区域所在的象限有第一、二、四象限，
角是第一或第二或第四象限角.
典例讲解
例6、写出终边落在如图所示的阴影区域内的角α的范围。
解析
如题图①，因为终边落在射线OA上的角可表示为终边落在射线OB上的角可表示为，所以终边落在题图①中阴影区域内的角α可表示为
同理，终边落在题图②中阴影区域内的角α可表示为
方法归纳
区域角的求解步骤
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角求区域角的步骤为：
（1）确定边界线对应的角：确定起始边和终止边界线分别对应的一个角.
（2）写出终边相同的角：边界线为射线时，终边相同的角为；边界线为直线时，终边相同的角为.
（3）写出角的集合：按逆时针旋转规则，从小到大写出角的集合.
（4）回顾反思：在书写集合时，边界线是实线写成闭区间，边界线是虚线写成开区间；当右端点对应的0°~360°内的角小于左端点对应的0°~360°内的角时，左端点用相应的负角.
变式训练
5、集合所表示的区域是（ ）
解析
在平面直角坐标系内作出两个区域，可知选C.
1．终边在坐标轴上的角的集合表示
素养提炼
2.象限角的集合表示
素养提炼
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
3.对终边相同的角的说明
素养提炼
当堂练习
1.角的终边所在象限是（ ）
A .第一象限 B .第二象限
C .第三象限 D.第四象限
2.集合中各角的终边都在（ ）
A .x轴非负半轴上 B. y轴非负半轴上
C . x轴或y轴上 D. x轴非负半轴或y轴非负半轴上
3.一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为_________.
4.如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是_____度，分针所转成的角度是_______度.
D
C
-5
归纳小结
任意角
分类
终边相同的角：
按旋转方向：负角、零角、正角
按终边位置：象限角、非象限角
作 业
P171:3、4、5