高中数学必修第一册人教A版（2019）5.1.2《弧度制》教学设计二

《弧度制》教学设计
教学设计
【提出问题】①在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？
提示：1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关.
②我们从度量长度和质量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢？
提示：能，用弧度制.
设计意图：引发学生学习兴趣，激发学生的好奇心和求知欲，让学生意识到可以用不同的单位制来度量同一个量，从而理解角度制和弧度制都是对角度量的方法.
【师生互动】教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度与弧度的关系奠定基础.讨论后教师提同学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示考虑问题的关键.
【探究新知】教师板书弧度制的定义：我们规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图，的长等于半径，所对的圆心角就是1弧度的角，即.
【提出问题】①作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连接圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？
提示：完全重合，因为都是1弧度的角.
②如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是，那么的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？
提示：.将角度化为弧度：，，将弧度化为角度：，.弧度制与角度制的换算公式：，.
设计意图：帮助学生进一步理解弧度制的定义，探究角度制与弧度制之间的换算依据.通过推导、换算，提升学生逻辑推理与数学运算素养.
【师生互动】教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示，对表现好的学生进行表扬，对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角（或这条弧）的大小，而1°的角是周角的；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制，本册教材在后续的内容中尽量采用弧度制.
【提出问题】①引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积公式与弧长公式用弧度怎么表示（教材第174页例6）？
提示：与角终边相同的角，连同角在内，可以写成的形式.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.弧度制下关于扇形的公式为，，.
②完成下面特殊角的度数与弧度数的对应表.
度
弧度
提示：
度
弧度
设计意图：从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算.推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.通过弧度制下的扇形相关公式的推导，提升学生逻辑推理及数学运算素养.
【师生互动】教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后，教师做个总结.
教师对学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.值得注意的是：今后在表示与角终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现或者一类的写法.在弧度制中，与角终边相同的角，连同角在内，可以写成的形式.下图为角的集合与实数集之间的一一对应关系.
【应用举例】
例1 按照下列要求，把化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
解：（1）因为，
所以.
（2）利用计算器有
因此，.
例2 将3.14 rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）.
解：利用计算器有
因此，.
设计意图：通过例题的设置与解答，帮助学生熟练掌握角度制与弧度制之间的相互转化，同时学会使用计算器等工具进行非常用角的计算，提高知识的应用性，提升学生的数学运算核心素养.
【师生互动】教师引导分析、讲解演示，学生思考并解决问题.
【课堂小结】说说本节课的收获与体会.
设计意图：让学生归纳、梳理知识，编织知识网络.
【师生互动】由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的.
板书设计
5.1.2 弧度制 1.复习回忆 2.探究新知 （1）弧度制的定义 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度 （2）角度制与弧度制之间的换算关系 （3）扇形的弧长公式、面积公式 ①；②；③ 其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积 3.应用举例 例1 例2 4.课堂小结
教学研讨
注意公式的灵活应用，在，，三个量中，可知二求一.
化归思想是本节频繁应用的数学思想，应认真总结和体会.
在解决扇形的有关问题时，要特别注意数形结合思想的应用.另外可以让学生在求扇形面积时分别用角度对应的公式和弧度对应的公式计算，体会弧度单位对应的扇形面积公式形式更加简洁，使用起来也更加便利.