高中数学必修第一册人教A版（2019）5.1《任意角和弧度制》课时1 教学设计

《任意角和弧度制》教学设计
课时1任意角
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.任意角的相关概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象逻辑推理 直观想象 【考查内容】 弧度制、角的三角函数值. 【考查题型】 选择题、填空题
2.象限角与终边相同的角 直观想象数学运算 数学抽象
3.弧度制、弧长公式及扇形面积公式 数学抽象逻辑推理 数学运算
一、本节内容分析
本节内容是任意角、弧度制,主要包括象限角和终边相同角的概念、表示及弧度制与弧度数,为后续研究三角函数的其他内容打下基础.通过本节的学习,让学生体会角的概念不再局限于0°~360°,度量角的单位制除了角度制,还有弧度制.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.任意角的相关概念 2.象限角与终边相同的角 3.孤度制、孤长公式及扇形面积公式 数学抽象 数学运算 逻辑推理 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
由于刚刚将角的概念推广,学生还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质,在理解终边相同的角的表示方法上,学生会出现障碍,但是,学生已经掌握了一些基本单位的转换方法,并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.任意角的相关概念
2.终边相同角的表示
3.孤度制
4.角度与孤度的互化
5.孤长公式与扇形面积公式
【教学目标设计】
1.理解并掌握正角、负角、零角的概念,掌握用集合的形式表示终边相同的角,并会判断角的终边所在的象限.
2.熟练掌握弧度制的定义,区别角度制与弧度制.
3.找出弧度制与角度制的联系,记住常见特殊角对应的弧度数.
4.记忆扇形的弧长公式、面积公式,并应用.
【教学策略设计】
本节主要是初中所学的角的概念的扩展和延伸,教学时,要渗透运动的观点,引导学生利用数形结合的思想方法来认识问题、发现问题、解决问题.通过探究得到孤度数绝对值的公式,并得出角度和孤度的换算方法,培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养.
【教学方法建议】
探究教学法,问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.将0°~360°的角的概念推广到任意角.
2.了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算,弧度制的运用.
难点:
1.角的概念的推广,终边相同的角的表示.
2.理解弧度的定义,弧度制的运用.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、钟表________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:假如你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的 假如你的手表快了1.25小时,你应当如何将它校准 当时间校准以后,分针转了多少度
【教师取出一个钟表,学生实际操作,交流,教师总结】
师:我们发现,校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0°~360°之间,这正是我们这节课要研究的主要内容.
【设计意图】
学生感知角可以通过终边不停地旋转得到,以前的角的范围不能满足现实要求,所以要进一步推广,激发学习兴趣.
教学精讲
探究1 任意角的相关概念
师:角可以看成什么图形
【教师演示角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置的图形,学生举例说明】
师:你认为刻画这些角的关键是什么
【学生思考、讨论、交流,教师引导学生从旋转量、旋转方向这两个方面进行思考】
师:要准确刻画一个角,必须知道旋转量和旋转方向.
【情境设置】
探究角的概念
1.要准确刻画一个角,必须知道( )和( ).
2.任意角包括( )角、( )角和( )角,它们的定义是什么
生:1.旋转度数和旋转方向.
生:2.任意角包括正角、负角和零角.
【设情境,深探究】
以填空的形式设置问题,一方面给学生降低难度,一方面强调学习的重点.
师:如何描述角的概念
【要点知识】
角的概念
1.一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角.如图(1),这个角是正角,.
2.一条射线绕着它的端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如图(2),角是负角,;角是负角,.
(3)如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角.零角的始边与终边重合.
【教师强调:画角时,常用带箭头的弧表示角旋转的方向.为了简单起见,在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记成“”】
师:零角的始边与终边重合,如果是零角,那么.那么,始边与终边重合的角都是零角吗
【学生思考、讨论、回答问题,教师补充】
生:不一定,始边与终边重合也可能是转动几周后重合,所以只有始边没做任何旋转,始边与终边重合的角才是零角.
师:通过阅读,你还得到了什么 设角由射线绕着点旋转而成,角是由射线绕着点旋转而成.
生:(1)如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称.
(2)如果把角的终边旋转角,那么所对应的角是.
(3)如果把角的始边绕着点按相反的方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,记为.
师:类似于实数的性质“减去一个数等于加上这个数的相反数”,得.
【概括理解能力】
运用图形表示角,有助于学生对正角、负角、零角的理解,提升概括理解能力.
【意义学习】
类比零角的定义,得出相等角、相反角的定义,类比实数的性质,得出角的加、减法.体现了类比思想,培养学生的总结能力.
师:我们通常在直角坐标系内讨论角,请思考在直角坐标系内讨论角的好处.
【学生思考,教师多媒体展示情境设置】
【情境设置】
探究象限角的概念
在直角坐标系内,以同一条射线为始边作出下列角:、.
【学生独立画角、合作探究,教师总结象限角概念并展示】
【要点知识】
象限角的概念
在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
师:象限角只与角的终边位置有关.如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.所以,通常我们都在直角坐标系内画角.
师:请同学们思考:锐角、第一象限角、小于的角三个概念的区别是什么
生:第一象限角不一定是锐角,比如角是第一象限角,却不是锐角;锐角一定是第一象限角;锐角是大于且小于的角,而小于的角不仅包括锐角,还包括零角和负角.
师:通过上面的学习,现在,你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗
探究2 终边相同角的表示
【情境设置】
探究终边相同的角的关系
将角按照上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系内任意一条射线OB(如图),以它为终边的角是否唯一 如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系
师:如图,-32°角的终边是还是哪些角的终边呢
生:角的终边都是.
师:你能用集合表示吗
【学生思考,教师总结】
生:.
师:以任意一条射线为终边的角不唯一,终边相同的角相差的整数倍.
【深度学习】
以直角坐标系为载体,帮助学生理解象限角的概念,一方面锻炼学生的动手能力,一方面提高学生的直观想象素养.
【概括理解能力】
通过情境问题,使学生进一步理解象限角的概念,同时培养学生概括理解的能力.
【要点知识】
终边相同的角的概念
一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.
【猜想探究能力】
通过研究终边相同的角的关系,得出在直角坐标系中,角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律,从而总结终边相同的角的概念,培养学生的猜想探究能力.
师:相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差的整数倍.由此可见,在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律,下面请看例题.
【典型例题】
根据终边相同的角,判断角所在象限
例1 在范围内,找出与角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
【学生思考,教师提示:利用与终边相同的角为,求出的取值,使角落在范围内,并判定它是第几象限角】
生:,所以在范围内,与角终边相同的角是,它是第二象限角.
【分析计算能力】
运用终边相同的角的概念,解决例1,进一步理解象限角、终边相同的角的特征,同时培养学生的分析计算能力.
师:下面我们在看例2题.
【典型例题】
求解终边在坐标轴上的角的集合
例2 写出终边在轴上的角的集合.
师:找出范围内轴上的角,看看它们有什么关系,再用集合表示出来.
生:在范围内,终边在轴上的角有两个,即和角(如下图所示),因此,所有与角终边相同的角,构成集合,而所有与角终边相同的角构成集合,于是,终边在轴上的角的集合
师:下面我们学习求终边在某条直线上的角的例题.
【典型例题】
求终边在某条直线上的角
例3 写出终边在直线上的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来.
师:求符合此条件的元素,关键是确定集合中的值,一般有两种方法:一是先观察-和与的关系,从而确定的最小值和最大值;二是先通过解不等式求出的取值范围,然后根据确定的值.
生:如图,在直角坐标系中画出直线,可以发现它与轴的夹角是,在范围内,终边在直线上的角有两个:和,因此,终边在直线上的角的集合.
中适合不等式的元素有:.
【自主学习】
借助图形找出终边相同的角,体现了数形结合思想,培养学生的观察、分析计算能力,提升直观想象素养.
师:这节课你学到了什么
【课堂小结】
任意角
【设计意图】
引导学生回顾、总结所学知识,将任意角进行分类概括,有助于学生形成知识体系,同时培养学生的概括理解、总结能力.
教学评价
本节是在学习任意角和弧度制知识的基础上,介绍了弧长与扇形面积公式.应用所学知识,完成下题:
如图,村里有一个近似于扇形的水塘,测得弧形池边长为长为,直形池边,现准备用来养鱼.若每亩水面可以放鱼苗1万尾,那么这个水塘中约可放多少尾鱼苗 (亩)
解析:求出水塘的面积是解决本题的关键,再由亩,得到可放鱼苗的尾数.设扇形的半径,水塘面积为,由弧度定义知,即,解得.所以
.
因为亩,所以(亩).
因为每亩水面可放鱼苗10000尾,所以(尾).
所以这个水塘中约可放5625尾鱼苗.
【设计意图】
引导学生整理任意角和孤度制的相关知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过求扇形面积解决问题的演练,培养学生的概括理解、分析计算、简单问题解决等学科能力,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
教学反思
本节内容是三角函数的基础,本节教学体现知识的基础性,知识的探究过程,无论是概念性知识还是过程性知识均让学生经历知识的探究过程,此过程主要通过情境创设和问题展开教学活动,使知识形成自然有序.
【以学定教】
根据学生的学习实际情况,利用板书强调任意角和孤度制的内容,且板书呈现结构化的特点,帮助学生形成本节的知识结构.
【以学论教】
学生对角的概念具有一定的认知基础,可以将生活情境与学生经验相结合,启发学生对角的进一步探究.
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