高中数学必修第一册人教A版（2019）5.1 《任意角和弧度制》课时2 教学设计

《任意角和弧度制》教学设计
课时2弧度制
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.任意角的相关概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象逻辑推理 直观想象 【考查内容】 弧度制、角的三角函数值. 【考查题型】 选择题、填空题
2.象限角与终边相同的角 直观想象数学运算 数学抽象
3.弧度制、弧长公式及扇形面积公式 数学抽象逻辑推理 数学运算
一、本节内容分析
本节内容是任意角、弧度制,主要包括象限角和终边相同角的概念、表示及弧度制与弧度数,为后续研究三角函数的其他内容打下基础.通过本节的学习,让学生体会角的概念不再局限于0°~360°,度量角的单位制除了角度制,还有弧度制.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.任意角的相关概念 2.象限角与终边相同的角 3.孤度制、孤长公式及扇形面积公式 数学抽象 数学运算 逻辑推理 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
由于刚刚将角的概念推广,学生还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质,在理解终边相同的角的表示方法上,学生会出现障碍,但是,学生已经掌握了一些基本单位的转换方法,并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.任意角的相关概念
2.终边相同角的表示
3.孤度制
4.角度与孤度的互化
5.孤长公式与扇形面积公式
【教学目标设计】
1.理解并掌握正角、负角、零角的概念,掌握用集合的形式表示终边相同的角,并会判断角的终边所在的象限.
2.熟练掌握弧度制的定义,区别角度制与弧度制.
3.找出弧度制与角度制的联系,记住常见特殊角对应的弧度数.
4.记忆扇形的弧长公式、面积公式,并应用.
【教学策略设计】
本节主要是初中所学的角的概念的扩展和延伸,教学时,要渗透运动的观点,引导学生利用数形结合的思想方法来认识问题、发现问题、解决问题.通过探究得到孤度数绝对值的公式,并得出角度和孤度的换算方法,培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养.
【教学方法建议】
探究教学法,问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.将0°~360°的角的概念推广到任意角.
2.了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算,弧度制的运用.
难点:
1.角的概念的推广,终边相同的角的表示.
2.理解弧度的定义,弧度制的运用.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、钟表________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
探究1 弧度制
师:初中所学的角度制是怎样规定角的度量的
生:规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制.
师:由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度——弧度制,它是如何定义呢
【设情境,巧激趣】
设置情境,类比角度制,引导学生探究孤度制的定义,激发学生的学习兴趣.
【情境设置】
探究弧度的定义
如图,在射线上任取一点(不同于点),,在旋转过程中,点所形成的圆弧的长为与的比值是多少 你能得出什么结论
【教师引导学生画两个圆心、半径均不同的圆,在两个圆中分别作一个的圆心角,求出对应的弧长,然后分别求比值(弧长:半径),探究这两个比值有何关系,学生画图,求比值,回答问题,师生共同探究,得出其比值相等结论,教师规范语言】
师:一定大小的圆心角所对的弧长与半径的比值是确定的,与半径大小无关.
【要点知识】
弧度的定义
我们规定,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角,弧度单位用符号表示,读作弧度.
师:我们把半径为1的圆叫做单位圆,如图,在单位圆中,的长等于就是1弧度的角.根据上述规定,在半径为的圆中,弧长为1的弧所对的圆心角为,那么(1);(2).
【概括理解能力】
通过实际操作,理解孤度,并概括其定义,培养学生的概括理解能力,提升学生的数学抽象素养.
探究2 角度与弧度的互化
师:一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
【情境设置】
探究角度制、孤度制的换算
角度制、弧度制都是角的度量制,它们之间应该可以换算.如何换算呢
【学生思考,交流,教师提示:你知道用角度制和弧度制度量角有什么区别吗 学生回答问题】
生:(1)用角度制和弧度制度量零角,单位不同,数量相同,都是0.
(2)用角度制和弧度制度量一个非零角,单位不同,数量也不同.
师:下面我们借助周角,研究角度制和弧度制的换算关系.
生:因为周角的弧度数是,而在角度制下是,所以,;反过来有.
【少教精教】
设置问题情境,引导学生讨论,教师少教.通过学生的合作探究、得出角度制、孤度制的换算关系,有助于学生理解记忆,达到精教的教学目的.
师:一般地,只需根据下面的关系换算.
【要点知识】
角度制、弧度制之间的换算关系
师:下面我们运用角度制、弧度制的换算关系解决问题.
【典型例题】
角度制、弧度制的换算
例1 按照下列要求,把化成弧度:
(1)精确值;(2)精确到的近似值.
例2 将换算成角度(用度数表示,精确到).
师:角度制与弧度制之间的换算依据是什么
生:.
师:在给定的精确度下如何换算成近似值
【学生思考,教师展示如何用计算器来计算,学生模拟独立完成,教师巡视】
生因为,所以.
(2)利用计算器有.
生2:利用计算器有.
【分析计算能力】
运用所学知识,解决问题,一方面巩固角度制、孤度制的换算关系,一方面培养学生的分析计算能力.
师:在解答角度制、弧度制的换算问题时,要注意以下几方面:(1)度数与弧度数的换算除计算器外,还可借助《中学数学用表》进行计算;(2)在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略;(3)应该熟练记忆一些特殊角的度数与弧度数的对应值.
【学生完成教材第174页的表格,并分析,教师总结】
生:
师:角的概念推广后,无论是角度制还是弧度制都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系.
【深度学习】
通过解决角度和孤度的换算问题,加深学生的理解和运用能力.
探究3 弧长公式与扇形面积公式
师:下面我们一起探究弧度制下的弧长公式与扇形面积公式.
【典型例题】
探究弧度制下的狐长公式、扇形面积公式
例3 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1).
(2).
(3).
其中是圆的半径,为圆心角,是扇形的弧长,是扇形的面积.
【教师引导学生完成例3,并思考哪种单位制的弧长公式和扇形面积公式形式简单】
生:(1)由公式可知.
(2)半径为,圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是,将转化为弧度,得.于是,.
(3)将代入,即得.
【说明论证能力】
运用孤度制证明关于扇形的公式,巩固孤度制的相关知识,有助于学生进一步理解并掌握公式.培养了学生的说明论证能力,提升学生的逻辑推理素养.
师:由此可得,弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式更简单.
【要点知识】
弧度制下的弧长公式、扇形面积公式
设扇形的半径为,弧长为,圆心角为,则有弧长;扇形面积.
师:下面我们用这个公式做这样一道例题.
【典型例题】
弧长公式、扇形面积公式的应用
例4 一个扇形的周长为20,当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大 并求出这个扇形的最大面积.
【学生思考,合作探究,教师提示:运用函数的思想求扇形的面积最大值问题,学生求解,教师点评】
生:设扇形的半径为,弧长为,则.由,得,从而可得.所以扇形面积.
故当时,取到最大值,此时最大值为,圆心角.
故当时,这个扇形的面积最大,最大面积是25.
【简单问题解决能力】
引导学生运用函数思想、解决有关扇形的孤长、面积的问题,培养学生的简单问题解决的能力.
师:这节课你学到了什么
【课堂小结】
弧度制
【设计意图】
引导学生总结本节重点内容,培养学生对学习内容的整体认识.
教学评价
本节是在学习任意角和弧度制知识的基础上,介绍了弧长与扇形面积公式.应用所学知识,完成下题:
如图,村里有一个近似于扇形的水塘,测得弧形池边长为长为,直形池边,现准备用来养鱼.若每亩水面可以放鱼苗1万尾,那么这个水塘中约可放多少尾鱼苗 (亩)
解析:求出水塘的面积是解决本题的关键,再由亩,得到可放鱼苗的尾数.设扇形的半径,水塘面积为,由弧度定义知,即,解得.所以
.
因为亩,所以(亩).
因为每亩水面可放鱼苗10000尾,所以(尾).
所以这个水塘中约可放5625尾鱼苗.
【设计意图】
引导学生整理任意角和孤度制的相关知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过求扇形面积解决问题的演练,培养学生的概括理解、分析计算、简单问题解决等学科能力,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
教学反思
本节内容是三角函数的基础,本节教学体现知识的基础性,知识的探究过程,无论是概念性知识还是过程性知识均让学生经历知识的探究过程,此过程主要通过情境创设和问题展开教学活动,使知识形成自然有序.
【以学定教】
根据学生的学习实际情况,利用板书强调任意角和孤度制的内容,且板书呈现结构化的特点,帮助学生形成本节的知识结构.
【以学论教】
学生对角的概念具有一定的认知基础,可以将生活情境与学生经验相结合,启发学生对角的进一步探究.
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