课件20张PPT。3.1.1空间向量及其加减运算一、平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：相等的向量： 长度相等且方向相同的向量． ⒉平面向量的加减法运算⑴向量的加法：aba+b平行四边形法则aa+b三角形法则(首尾相连)⑵向量的减法aba-b三角形法则 减向量终点指向被减向量终点⒊平面向量的加法运算律加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：二、空间向量及其加减运算⒈空间向量：空间中具有大小和方向的量叫做向量．⑴定义：⑵表示方法：①空间向量的表示方法和平面向量一样；③空间任意两个向量都可以用同一平面
内的两条有向线段表示．②同向且等长的有向线段表示同一向量或
相等的向量；2.空间向量的加法、减法向量⒊空间向量加法运算律⑴加法交换律：a + b = b + a；⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；abca + b + c abca + b + c a + b b + c 对空间向量的加法、减法的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加．推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：C平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。例2解：始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量例3、在如图所示的平行六面体中，
求证：例4、如图所示，在正方体 中，下列各式中运算的结果为向量 的共有（ ）A.1 B.2 C.3 D.4变式：平面向量概念加法
减法
数乘
运算运
算
律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律小结类比、数形结合课件18张PPT。3.1.2空间向量的
数乘运算加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律 注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.1 我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?1?例如:一、1 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律1思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量.(如图)GM1ABCDA1B1C1D1MN例2、平行六面体 ，M分 成的
比为 ，N分 成的比为2，设
试用
表示 。11二、共线向量及其定理1二、共线向量及其定理11分析:
证三点共线可尝试用向量来分析.1学习共面1例4、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且
求证：四边形EFGH是梯形。1三.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。1111课件21张PPT。空间向量的数量积运算教学过程一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义2）两个向量的数量积注意：
①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零。
3）射影4)空间向量的数量积性质 注意：
①性质2）是证明两向量垂直的依据；
②性质3）是求向量的长度（模）的依据；5)空间向量的数量积满足的运算律 注意：二、 课堂练习三、典型例题 例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥?分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。l要证l与g垂直，只需证l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0而l·m＝0 ，l·n＝0故 l·g＝0三、典型例题 例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥?证明：在?内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向
量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理
可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使
g=xm+yn,
l·g=xl·m+yl·n
∵ l·m=0,l·n=0
∴ l·g=0
∴ l⊥g
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面?内的任一条直线，所以l⊥?
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理解：∵证明：∵作业讲评1．正确分清楚空间向量的夹角。
作业：P106 4，2．两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。
再见！再见！再见！课件13张PPT。3.1.4空间向量的正交分
解及其坐标表示共线向量定理:复习：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示问题：任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确：（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。一、空间直角坐标系 给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)二、空间向量的直角坐标系xyzO
e1e2e3 在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3 在单位正交基底e1, e2, e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e3练习：
1、在空间坐标系o-xyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ，点B的坐标为 。
2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于轴的对称点为 ，例题已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．
求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习练习2课件21张PPT。3.1.5空间向量运算的
坐标表示1．空间向量的基本定理： 2．平面向量的坐标表示及运算律：一．复习回顾 1．空间直角坐标系： 一．复习回顾 2．空间直角坐标系中的坐标： 一、向量的直角坐标运算新课1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。二、距离与夹角（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式例1．已知 解:三、应用举例三、应用举例证明: 练习4：如图，已知线段AB?α，AC⊥α，BD⊥AB，DE ⊥α ，∠DBE=30o，如果AB=6，AC=BD=8，求CD的长及异面直线CD与AB所成角的大小。练习：平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60o，E、 H、F分别是D1C1 、AB、CC1的中点。（1）求AC1的长；（2）求BE的长；（3）求HF的长；（4）求BE与HF所成角的大小。证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系课件15张PPT。空间向量在立体几何中的应用利用向量判断位置关系 利用向量可证明四点共面、线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问题，其方法是通过向量的运算来判断，这是数形结合的典型问题 例1、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D1EF评述：此题用综合推理的方法不易入手。用向量代数的方法则先证明线线垂直，再由线线垂直来证明线面垂直，从而证得面面垂直.证明面面垂直的原理是一致的，只不过是证明的手段不同
利用向量解几何题的一般方法是：把线段或角转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，通过向量运算去计算或证明利用向量求空间角 利用向量可以进行求线线角、线面角、面面角，关键是进行向量的计算 例2、空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求AD与BC所成的角注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系：相等或互补
求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示，本题正遵循了这一规律
本题多次运用了封闭回路评述：利用向量求空间距离 空间距离是一种重要的几何量，利用常规方法求距离，需要较强的转化能力，而用向量法则相对简单 例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离A1B1C1D1ABCD评述：此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解决立体几何问题的优越性
平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离(1)、求CD的长(2)、CD与AB所成的角练习：练习：ABCDA1B1C1D1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心 （1）求证：B1O3⊥PAO3PO2O1练习：ABCDA1B1C1D1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心 O3P （2） 求异面直线PO3与O1O2成的角O2O1小 结本堂课的学习重点是用向量代数的方法解决立体几何问题，但在学习中应把几何综合推理与向量代数运算推理有机结合起来
向量代数推理是更加精练，严密的推理，每一步都要根据运算法则进行
学习过程中应善于“前思后想”，提炼方法，开拓思路谢谢，再见课件30张PPT。3.2.1立体几何中的向量方法（一）研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.共线向量定理:复习：共面向量定理:思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？
2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？OP一、点的位置向量二、直线的向量参数方程 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.三、平面的法向量 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？思考2：四、平行关系：五、垂直关系：巩固性训练11.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.平行垂直平行巩固性训练21.设 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交巩固性训练31、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。
2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= .
3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .例3、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。六、夹角：lmllmllmlmll课件23张PPT。ZPZ3.2.3立体几何中的向量方法（三）空间“角度”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）向量的有关知识：两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 二面角的平面角 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。因此所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，
其他条件不变，可以计算出AB的长吗？分析：∴ 可算出 AB 的长。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线
长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。 （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作
A1E⊥AB 于点 E，EF在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm例2所以：练习：在长方体 中，2、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角2、二面角②法向量法解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz巩固练习2. 线面角2. 线面角l课件16张PPT。ZPZ3.2.2立体几何中的向量方法（二）空间“距离”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）空间“距离”问题1. 空间两点之间的距离 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?分析:分析:∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）H 分析：面面距离点面距离解：∴ 所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？2、向量法求点到平面的距离：DABCGFEDABCGFE2.(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”abCDABCD为a,b的公垂线A，B分别在直线a,b上3. 异面直线间的距离 ABCC1EA1B1 小结 1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, 为平面α的法向量,则点E到平面的
距离为: 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b
上的点, 是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为课件23张PPT。3.2.5立体几何中的向量方法（五）空间“综合”问题复习引入如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(3)二面角B－AS－O的余弦值【课后作业】 例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEF解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEFG(2)求证：PB⊥平面EFDABCDPEF(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”abCDABCD为a,b的公垂线A，B分别在直线a,b上异面直线间的距离 ABCC1EA1B1ABCDE2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
角为 ，且 ，求四面体DABC的体积。3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=
（1）求MN的长；
（2）a 为何值时？MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，
求面MNA与面MNB所成
二面角的余弦值。ABCDEFMN5、如图，平行六面体 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 的长为b ,且
求（1） 的长；
（2）直线 与AC夹角的余弦值。ABCD课件15张PPT。ZPZ3.2.4立体几何中的向量方法（四）空间“角度”问题1.异面直线所成角lmlm复习引入2、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角2、二面角②法向量法3. 线面角3. 线面角l2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______ .3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______ .基础训练:6001350N解：如图建立坐标系A-xyz,则N例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= .
(1)求证
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCD【典例剖析】 例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。 【典例剖析】 DBACEP解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，例4、(2004，天津)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。
(1)证明：PA//平面EDB；
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。【典例剖析】 ABCDPE【巩固练习】 1 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_________ .
2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
角的余弦值为_________ .
3正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__________如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(3)二面角B－AS－O的余弦值【课后作业】
