第24章《圆》单元测试卷（含答案）
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2022年九年级上《圆》单元复习卷
一、选择题：（本大题有12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
2．（3分）如果两圆的半径分别为3和4，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3．（3分）圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比是（ ）
A．2：1 B．2π：1 C．：1 D．：1
4．（3分）两圆的半径分别是R、r（R＞r），圆心距为d，且有等式R2+r2﹣d2＝2Rr成立，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外切或内切
5．（3分）如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB长为（ ）
A．2.5cm B．5cm C．5cm D．10cm
6．（3分）⊙O和⊙P相交于A、B两点，且两圆半径分别为5和4，公共弦AB＝6，则OP＝（ ）
A．4+ B．9 C．4﹣ D．4±
7．（3分）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则阴影部分的面积为（ ）
A．a2﹣a2 B．a2﹣a2 C．a2﹣a2 D．πa2﹣a2
8．（3分）小华想用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则做成的圆锥底面半径为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
9．（3分）如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．70° B．35° C．20° D．10°
10．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等于（ ）
A．40° B．50° C．65° D．130°
11．（3分）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．长度相等的弧所对的圆心角相等
B．垂直于圆的半径的直线是该圆的切线
C．过弦的中点的直线必过圆心
D．三角形的外心到三个顶点的距离相等
12．（3分）已知P为边长是2的正六边形ABCDEF内一点，P点到各边的距离分别为h1、h2、h3 h4、h5、h6，则h1+h2+h3+h4+h5+h6＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）两圆的半径比是5：3，外切时圆心距是32cm，当两圆内切时，圆心距为 cm．
14．（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽为20cm，则贴纸部分的面积为 cm2．
15．（4分）半径分别为4和5的相交两圆所成的公共弦长为6，则两圆的圆心距为 ．
16．（4分）在半径为5cm的⊙O中，如果弦CD＝8cm，直径AB⊥CD，垂足为E，则AE的长为 cm．
17．（4分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB＝10cm，PB＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径等于 cm．
18．（4分）如图，A，B，C是⊙O上三点，当BC平分∠ABO时，能得出结论： （任写一个）．
三、解答题
19．（5分）附加题：如图是某工件的二视图，按图中尺寸求工件的表面积．
20．（6分）已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线，交⊙O1于A，交⊙O2于C，BC切⊙O2于C，过点O1作直线AB交BC于B．求证：AB⊥BC．
21．（6分）如图，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且∠PCA＝∠BAP．
求证：PA是⊙O的切线．
22．（7分）如图，∠PAQ是直角，⊙O与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点．
（1）BT是否平分∠OBA，说明你的理由；
（2）若已知AT＝4，弦BC＝6，试求⊙O的半径R．
23．（7分）如图，一块直角三角板形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大
（1）请你试着用直尺和圆规画出此圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积．
24．（6分）如图，已知⊙O的半径为R，直径AB⊥CD以B为圆心，以BC为半径作弧CED．求弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积S．
25．（7分）如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB＝30°，BC＝1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．
（1）请直接写出AB、AC的长；
（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．
26．（6分）如图，AB为⊙O直径，自圆上一点P作AB的垂线PH，垂足为H，自点A向过P点的切线作垂线，垂足为K．求证：AH＝AK．
27．（10分）已知：如图，AB是⊙O的一条弦，点C为的中点，CD是⊙O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F．
（1）判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论；
（2）将直线l绕C点旋转（与CD不重合），在旋转过程中，E点，F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明．
2022年九年级上《圆》单元复习卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题有12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
【解答】解：∵是以点（2，1）为圆心，1为半径的圆，
∴圆心到x轴的距离是1，圆心到y轴的距离是2，则1＝1，1＜2，
∴该圆必与y轴相离，与x轴相切．故选C．
2．（3分）如果两圆的半径分别为3和4，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【解答】解：∵两圆的半径分别为3和4，圆心距为3，
又∵3+4＝7，4﹣3＝1，1＜3＜7，
∴这两个圆的位置关系是相交．
故选：C．
3．（3分）圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比是（ ）
A．2：1 B．2π：1 C．：1 D．：1
【解答】解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长＝2πr＝×2πR，∴R：r＝2：1．
故选：A．
4．（3分）两圆的半径分别是R、r（R＞r），圆心距为d，且有等式R2+r2﹣d2＝2Rr成立，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外切或内切
【解答】解：∵R2+r2﹣d2＝2Rr，
∴R2+r2﹣2Rr＝d2，
∴（R﹣r）2＝d2，
∴d＝|R﹣r|，
∵两圆的半径分别是R、r（R＞r），圆心距为d，
∴这两圆的位置关系是：内切．
故选：C．
5．（3分）如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB长为（ ）
A．2.5cm B．5cm C．5cm D．10cm
【解答】解：设AB与OC交于点M，
在直角△OAM中，OA＝5cm，OM＝2.5cm，
根据勾股定理得到：AM＝2.5cm．因而AB＝2AM＝5cm．
故选：C．
6．（3分）⊙O和⊙P相交于A、B两点，且两圆半径分别为5和4，公共弦AB＝6，则OP＝（ ）
A．4+ B．9 C．4﹣ D．4±
【解答】解：分为两种情况：
①
连接OA、PA、OP，OP交AB于C，
∵AB是⊙O和⊙P的公共弦，
∴OP⊥AB，
∴∠ACO＝∠ACP＝90°，
由垂径定理得：AC＝BC＝×6＝3，
由勾股定理得：OC＝＝＝4，
CP＝＝，
∴OP＝OC+CP＝4+；
②如图2，
由①知：CP＝，OC＝4，
∴OP＝4﹣，
故选：D．
7．（3分）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则阴影部分的面积为（ ）
A．a2﹣a2 B．a2﹣a2 C．a2﹣a2 D．πa2﹣a2
【解答】解：由图象可以看出，
4个相同阴影部分的面积＝四个半圆的面积﹣正方形的面积＝﹣a2，
∴题中阴影部分面积为，
故选：A．
8．（3分）小华想用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则做成的圆锥底面半径为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【解答】解：设底面半径为Rcm，则底面周长＝2Rπcm，侧面面积＝×2Rπ×6＝，∴R＝2cm．
故选：C．
9．（3分）如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．70° B．35° C．20° D．10°
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝70°，
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
则∠BAC＝20°．
故选：C．
10．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等于（ ）
A．40° B．50° C．65° D．130°
【解答】解：连接OA，OB．
根据切线的性质，得∠OBP＝∠OAP＝90°，
根据四边形的内角和定理得∠AOB＝130°，
再根据圆周角定理得∠C＝∠AOB＝65°．
故选：C．
11．（3分）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．长度相等的弧所对的圆心角相等
B．垂直于圆的半径的直线是该圆的切线
C．过弦的中点的直线必过圆心
D．三角形的外心到三个顶点的距离相等
【解答】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，错误；
B、应经过半径的外端．错误；
C、垂径定理及其推论是知二推三，少一个条件，错误；
D、正确．
故选：D．
12．（3分）已知P为边长是2的正六边形ABCDEF内一点，P点到各边的距离分别为h1、h2、h3 h4、h5、h6，则h1+h2+h3+h4+h5+h6＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：如图所示，
∵P为边长是2的正六边形ABCDEF内一点，P点到各边的距离分别为h1、h2、h3 h4、h5、h6，
∴S正六边形ABCDEF＝×2（h1+h2+h3+h4+h5+h6），
过正六边形的中心O作OG⊥BC于点G，则S正六边形ABCDEF＝6××2OG＝6OG，
∴h1+h2+h3+h4+h5+h6＝6OG，
∵∠OBC＝60°，OG⊥BC，
∴BG＝BC＝2，OG＝BG tan60°＝1×＝，
∴h1+h2+h3+h4+h5+h6＝6OG＝6×＝6．
故选：C．
二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）两圆的半径比是5：3，外切时圆心距是32cm，当两圆内切时，圆心距为 8 cm．
【解答】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有
R：r＝5：3；
又因为R+r＝32，
解得R＝20，r＝12，
故当它们内切时，圆心距＝20﹣12＝8（cm）．
故答案为：8．
14．（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽为20cm，则贴纸部分的面积为 cm2．
【解答】解：S＝﹣＝cm2．
15．（4分）半径分别为4和5的相交两圆所成的公共弦长为6，则两圆的圆心距为 4+或4﹣ ．
【解答】解：根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，得弦的一半是3，
分别运用勾股定理计算，
连心线和弦的交点到两个圆心的距离是和4，
如果公共弦在两个圆心之间，则圆心距是4+，
如果公共弦在两圆圆心的外部，则圆心距是4﹣．
16．（4分）在半径为5cm的⊙O中，如果弦CD＝8cm，直径AB⊥CD，垂足为E，则AE的长为 2或8 cm．
【解答】解：（1）因为直径AB⊥CD，所以CE＝ED＝8×＝4cm，
因为半径为5cm，所以在直角三角形中，
OE＝＝＝3cm，
AE＝5+3＝8cm；
（2）将A、B改变位置，即可得到AE＝5﹣3＝2cm．
因此，AE的长为2cm或8cm．
17．（4分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB＝10cm，PB＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径等于 7 cm．
【解答】解：将OP向两方延长，
设OC＝xcm，则CP＝（x+5）cm，PD＝（x﹣5）cm，
根据相交弦定理，AP BP＝CP DP，即（10﹣4）×4＝（x+5）（x﹣5），
解得x2＝49，x＝7或x＝﹣7（负值舍去），
则⊙O的半径等于7cm．
18．（4分）如图，A，B，C是⊙O上三点，当BC平分∠ABO时，能得出结论： AB∥OC （任写一个）．
【解答】解：∵A，B，C是⊙O上三点，当BC平分∠ABO时，
∴∠CBO＝∠CBA．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC．
∴∠CBA＝∠OCB．
∴AB∥OC．
三、解答题
19．（5分）附加题：如图是某工件的二视图，按图中尺寸求工件的表面积．
【解答】解：由二视图得：圆柱的底面半径为r＝1cm，圆柱的高为h1＝1cm，
圆锥的底面半径r＝1cm，圆锥高，则圆柱的侧面积S圆柱侧＝2πrh1＝2π（cm2），
圆柱的底面积S＝πr2＝π（cm2），
又圆锥的母线，∴圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝2π（cm2）．
∴此工件的表面积为S表＝S圆柱侧+S圆锥侧+S＝5π（cm2）．
20．（6分）已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线，交⊙O1于A，交⊙O2于C，BC切⊙O2于C，过点O1作直线AB交BC于B．求证：AB⊥BC．
【解答】解：连接O1O2，O2C，
∵BC切⊙O2于C，
∴O2C⊥BC，
∵O1O2连接线经过P，
∴AO1＝O1P，O2P＝O2C，
又∵∠O1PA＝∠O2PC，
∴∠PAO1＝∠O1PA＝∠O2PC＝∠O2CP，
∴AB∥O2C，
∴AB⊥BC．
21．（6分）如图，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且∠PCA＝∠BAP．
求证：PA是⊙O的切线．
【解答】证明：作⊙O的直径AD，连接BD．
则∠C＝∠D（同弧所对的圆周角相等），∠ABD＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠D+∠BAD＝90°，
∴∠C+∠BAD＝90°（等量代换）；
又∵∠PCA＝∠BAP，
∴∠BAD+∠PAB＝90°，即AP⊥AD，
∴PA是⊙O的切线．
22．（7分）如图，∠PAQ是直角，⊙O与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点．
（1）BT是否平分∠OBA，说明你的理由；
（2）若已知AT＝4，弦BC＝6，试求⊙O的半径R．
【解答】（1）BT平分∠OBA，理由为：
证明：连接OT，如图所示，
∵AP与圆O相切，
∴OT⊥AP，
∴∠OTP＝90°，
又∠QAP＝90°，
∴∠OTP＝∠QAP，
∴OT∥QA，
∴∠OTB＝∠ABT，
又∵OB＝OT，
∴∠OBT＝∠OTB，
∴∠OBT＝∠ABT，
则BT平分∠OBA；
（2）解：过O作OD⊥BC，又BC＝6，
可得D为BC的中点，即BD＝CD＝3，
∵四边形ODAT为矩形，
∴OD＝AT＝4，
在Rt△OBD中，BD＝3，OD＝4，
根据勾股定理得：OB＝＝5，
则圆的半径为5．
23．（7分）如图，一块直角三角板形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大
（1）请你试着用直尺和圆规画出此圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）设三角形内切圆半径为r，则
r （50+40+30）＝×30×40，
解得：r＝10（cm）．
故此圆凳面的面积为：π×102＝100π（cm 2）．
24．（6分）如图，已知⊙O的半径为R，直径AB⊥CD以B为圆心，以BC为半径作弧CED．求弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积S．
【解答】解：∵CD⊥BA，OC＝OD＝OB，
∴△BCD是等腰直角三角形，CB⊥BD，BC＝R．
∴S阴影＝S半圆CDA﹣S扇形BCD+S△BCD＝πR2﹣π （R）2+×（R）2＝R2．
25．（7分）如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB＝30°，BC＝1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．
（1）请直接写出AB、AC的长；
（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝30°，BC＝1米
∴AB＝2米，AC＝米（4分）．
（2）画出A点经过的路径：（5分）
∵∠ABA1＝180°﹣60°＝120°，A1A2＝AC＝米
∴A点所经过的路径长＝+（7分）
＝π+≈5.9（米）（8分）．
26．（6分）如图，AB为⊙O直径，自圆上一点P作AB的垂线PH，垂足为H，自点A向过P点的切线作垂线，垂足为K．求证：AH＝AK．
【解答】证明：连接OP，过点O作OC⊥AK于点C，
∴∠OCK＝90°，
∵PK是⊙O的切线，AK⊥PK，
∴∠OPK＝∠PKC＝90°，
∴四边形OCKP是矩形，
∴OP＝CK，AK∥OP，
∴∠A＝∠POH，
在△AOC和△OPH中，
，
∴△AOC≌△OPH（AAS），
∴AC＝OH，
∵AK＝AC+CK，AH＝OA+OH＝OP+OH，
∴AH＝AK．
27．（10分）已知：如图，AB是⊙O的一条弦，点C为的中点，CD是⊙O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F．
（1）判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论；
（2）将直线l绕C点旋转（与CD不重合），在旋转过程中，E点，F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明．
【解答】（1）解：∠CEB＝∠FDC；
理由：∵CD是⊙O的直径，点C为的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CEB+∠ECD＝90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°．
∴∠FDC+∠ECD＝90°．
∴∠CEB＝∠FDC．
（2）证明：如图②
∵CD是⊙O的直径，点C为的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CEB+∠ECD＝90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°．
∴∠FDC+∠ECD＝90°．
∴∠CEB＝∠FDC．
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2022年九年级上《圆》单元复习卷
一、选择题：（本大题有12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
2．（3分）如果两圆的半径分别为3和4，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3．（3分）圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比是（ ）
A．2：1 B．2π：1 C．：1 D．：1
4．（3分）两圆的半径分别是R、r（R＞r），圆心距为d，且有等式R2+r2﹣d2＝2Rr成立，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外切或内切
5．（3分）如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB长为（ ）
A．2.5cm B．5cm C．5cm D．10cm
6．（3分）⊙O和⊙P相交于A、B两点，且两圆半径分别为5和4，公共弦AB＝6，则OP＝（ ）
A．4+ B．9 C．4﹣ D．4±
7．（3分）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则阴影部分的面积为（ ）
A．a2﹣a2 B．a2﹣a2 C．a2﹣a2 D．πa2﹣a2
8．（3分）小华想用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则做成的圆锥底面半径为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
9．（3分）如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．70° B．35° C．20° D．10°
10．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等于（ ）
A．40° B．50° C．65° D．130°
11．（3分）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．长度相等的弧所对的圆心角相等
B．垂直于圆的半径的直线是该圆的切线
C．过弦的中点的直线必过圆心
D．三角形的外心到三个顶点的距离相等
12．（3分）已知P为边长是2的正六边形ABCDEF内一点，P点到各边的距离分别为h1、h2、h3 h4、h5、h6，则h1+h2+h3+h4+h5+h6＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）两圆的半径比是5：3，外切时圆心距是32cm，当两圆内切时，圆心距为 cm．
14．（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽为20cm，则贴纸部分的面积为 cm2．
15．（4分）半径分别为4和5的相交两圆所成的公共弦长为6，则两圆的圆心距为 ．
16．（4分）在半径为5cm的⊙O中，如果弦CD＝8cm，直径AB⊥CD，垂足为E，则AE的长为 cm．
17．（4分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB＝10cm，PB＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径等于 cm．
18．（4分）如图，A，B，C是⊙O上三点，当BC平分∠ABO时，能得出结论： （任写一个）．
三、解答题
19．（5分）附加题：如图是某工件的二视图，按图中尺寸求工件的表面积．
20．（6分）已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线，交⊙O1于A，交⊙O2于C，BC切⊙O2于C，过点O1作直线AB交BC于B．求证：AB⊥BC．
21．（6分）如图，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且∠PCA＝∠BAP．
求证：PA是⊙O的切线．
22．（7分）如图，∠PAQ是直角，⊙O与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点．
（1）BT是否平分∠OBA，说明你的理由；
（2）若已知AT＝4，弦BC＝6，试求⊙O的半径R．
23．（7分）如图，一块直角三角板形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大
（1）请你试着用直尺和圆规画出此圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积．
24．（6分）如图，已知⊙O的半径为R，直径AB⊥CD以B为圆心，以BC为半径作弧CED．求弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积S．
25．（7分）如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB＝30°，BC＝1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．
（1）请直接写出AB、AC的长；
（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．
26．（6分）如图，AB为⊙O直径，自圆上一点P作AB的垂线PH，垂足为H，自点A向过P点的切线作垂线，垂足为K．求证：AH＝AK．
27．（10分）已知：如图，AB是⊙O的一条弦，点C为的中点，CD是⊙O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F．
（1）判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论；
（2）将直线l绕C点旋转（与CD不重合），在旋转过程中，E点，F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明．
2022年九年级上《圆》单元复习卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题有12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
【解答】解：∵是以点（2，1）为圆心，1为半径的圆，
∴圆心到x轴的距离是1，圆心到y轴的距离是2，则1＝1，1＜2，
∴该圆必与y轴相离，与x轴相切．故选C．
2．（3分）如果两圆的半径分别为3和4，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【解答】解：∵两圆的半径分别为3和4，圆心距为3，
又∵3+4＝7，4﹣3＝1，1＜3＜7，
∴这两个圆的位置关系是相交．
故选：C．
3．（3分）圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比是（ ）
A．2：1 B．2π：1 C．：1 D．：1
【解答】解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长＝2πr＝×2πR，∴R：r＝2：1．
故选：A．
4．（3分）两圆的半径分别是R、r（R＞r），圆心距为d，且有等式R2+r2﹣d2＝2Rr成立，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外切或内切
【解答】解：∵R2+r2﹣d2＝2Rr，
∴R2+r2﹣2Rr＝d2，
∴（R﹣r）2＝d2，
∴d＝|R﹣r|，
∵两圆的半径分别是R、r（R＞r），圆心距为d，
∴这两圆的位置关系是：内切．
故选：C．
5．（3分）如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB长为（ ）
A．2.5cm B．5cm C．5cm D．10cm
【解答】解：设AB与OC交于点M，
在直角△OAM中，OA＝5cm，OM＝2.5cm，
根据勾股定理得到：AM＝2.5cm．因而AB＝2AM＝5cm．
故选：C．
6．（3分）⊙O和⊙P相交于A、B两点，且两圆半径分别为5和4，公共弦AB＝6，则OP＝（ ）
A．4+ B．9 C．4﹣ D．4±
【解答】解：分为两种情况：
①
连接OA、PA、OP，OP交AB于C，
∵AB是⊙O和⊙P的公共弦，
∴OP⊥AB，
∴∠ACO＝∠ACP＝90°，
由垂径定理得：AC＝BC＝×6＝3，
由勾股定理得：OC＝＝＝4，
CP＝＝，
∴OP＝OC+CP＝4+；
②如图2，
由①知：CP＝，OC＝4，
∴OP＝4﹣，
故选：D．
7．（3分）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则阴影部分的面积为（ ）
A．a2﹣a2 B．a2﹣a2 C．a2﹣a2 D．πa2﹣a2
【解答】解：由图象可以看出，
4个相同阴影部分的面积＝四个半圆的面积﹣正方形的面积＝﹣a2，
∴题中阴影部分面积为，
故选：A．
8．（3分）小华想用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则做成的圆锥底面半径为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【解答】解：设底面半径为Rcm，则底面周长＝2Rπcm，侧面面积＝×2Rπ×6＝，∴R＝2cm．
故选：C．
9．（3分）如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．70° B．35° C．20° D．10°
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝70°，
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
则∠BAC＝20°．
故选：C．
10．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等于（ ）
A．40° B．50° C．65° D．130°
【解答】解：连接OA，OB．
根据切线的性质，得∠OBP＝∠OAP＝90°，
根据四边形的内角和定理得∠AOB＝130°，
再根据圆周角定理得∠C＝∠AOB＝65°．
故选：C．
11．（3分）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．长度相等的弧所对的圆心角相等
B．垂直于圆的半径的直线是该圆的切线
C．过弦的中点的直线必过圆心
D．三角形的外心到三个顶点的距离相等
【解答】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，错误；
B、应经过半径的外端．错误；
C、垂径定理及其推论是知二推三，少一个条件，错误；
D、正确．
故选：D．
12．（3分）已知P为边长是2的正六边形ABCDEF内一点，P点到各边的距离分别为h1、h2、h3 h4、h5、h6，则h1+h2+h3+h4+h5+h6＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：如图所示，
∵P为边长是2的正六边形ABCDEF内一点，P点到各边的距离分别为h1、h2、h3 h4、h5、h6，
∴S正六边形ABCDEF＝×2（h1+h2+h3+h4+h5+h6），
过正六边形的中心O作OG⊥BC于点G，则S正六边形ABCDEF＝6××2OG＝6OG，
∴h1+h2+h3+h4+h5+h6＝6OG，
∵∠OBC＝60°，OG⊥BC，
∴BG＝BC＝2，OG＝BG tan60°＝1×＝，
∴h1+h2+h3+h4+h5+h6＝6OG＝6×＝6．
故选：C．
二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）两圆的半径比是5：3，外切时圆心距是32cm，当两圆内切时，圆心距为 8 cm．
【解答】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有
R：r＝5：3；
又因为R+r＝32，
解得R＝20，r＝12，
故当它们内切时，圆心距＝20﹣12＝8（cm）．
故答案为：8．
14．（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽为20cm，则贴纸部分的面积为 cm2．
【解答】解：S＝﹣＝cm2．
15．（4分）半径分别为4和5的相交两圆所成的公共弦长为6，则两圆的圆心距为 4+或4﹣ ．
【解答】解：根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，得弦的一半是3，
分别运用勾股定理计算，
连心线和弦的交点到两个圆心的距离是和4，
如果公共弦在两个圆心之间，则圆心距是4+，
如果公共弦在两圆圆心的外部，则圆心距是4﹣．
16．（4分）在半径为5cm的⊙O中，如果弦CD＝8cm，直径AB⊥CD，垂足为E，则AE的长为 2或8 cm．
【解答】解：（1）因为直径AB⊥CD，所以CE＝ED＝8×＝4cm，
因为半径为5cm，所以在直角三角形中，
OE＝＝＝3cm，
AE＝5+3＝8cm；
（2）将A、B改变位置，即可得到AE＝5﹣3＝2cm．
因此，AE的长为2cm或8cm．
17．（4分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB＝10cm，PB＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径等于 7 cm．
【解答】解：将OP向两方延长，
设OC＝xcm，则CP＝（x+5）cm，PD＝（x﹣5）cm，
根据相交弦定理，AP BP＝CP DP，即（10﹣4）×4＝（x+5）（x﹣5），
解得x2＝49，x＝7或x＝﹣7（负值舍去），
则⊙O的半径等于7cm．
18．（4分）如图，A，B，C是⊙O上三点，当BC平分∠ABO时，能得出结论： AB∥OC （任写一个）．
【解答】解：∵A，B，C是⊙O上三点，当BC平分∠ABO时，
∴∠CBO＝∠CBA．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC．
∴∠CBA＝∠OCB．
∴AB∥OC．
三、解答题
19．（5分）附加题：如图是某工件的二视图，按图中尺寸求工件的表面积．
【解答】解：由二视图得：圆柱的底面半径为r＝1cm，圆柱的高为h1＝1cm，
圆锥的底面半径r＝1cm，圆锥高，则圆柱的侧面积S圆柱侧＝2πrh1＝2π（cm2），
圆柱的底面积S＝πr2＝π（cm2），
又圆锥的母线，∴圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝2π（cm2）．
∴此工件的表面积为S表＝S圆柱侧+S圆锥侧+S＝5π（cm2）．
20．（6分）已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线，交⊙O1于A，交⊙O2于C，BC切⊙O2于C，过点O1作直线AB交BC于B．求证：AB⊥BC．
【解答】解：连接O1O2，O2C，
∵BC切⊙O2于C，
∴O2C⊥BC，
∵O1O2连接线经过P，
∴AO1＝O1P，O2P＝O2C，
又∵∠O1PA＝∠O2PC，
∴∠PAO1＝∠O1PA＝∠O2PC＝∠O2CP，
∴AB∥O2C，
∴AB⊥BC．
21．（6分）如图，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且∠PCA＝∠BAP．
求证：PA是⊙O的切线．
【解答】证明：作⊙O的直径AD，连接BD．
则∠C＝∠D（同弧所对的圆周角相等），∠ABD＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠D+∠BAD＝90°，
∴∠C+∠BAD＝90°（等量代换）；
又∵∠PCA＝∠BAP，
∴∠BAD+∠PAB＝90°，即AP⊥AD，
∴PA是⊙O的切线．
22．（7分）如图，∠PAQ是直角，⊙O与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点．
（1）BT是否平分∠OBA，说明你的理由；
（2）若已知AT＝4，弦BC＝6，试求⊙O的半径R．
【解答】（1）BT平分∠OBA，理由为：
证明：连接OT，如图所示，
∵AP与圆O相切，
∴OT⊥AP，
∴∠OTP＝90°，
又∠QAP＝90°，
∴∠OTP＝∠QAP，
∴OT∥QA，
∴∠OTB＝∠ABT，
又∵OB＝OT，
∴∠OBT＝∠OTB，
∴∠OBT＝∠ABT，
则BT平分∠OBA；
（2）解：过O作OD⊥BC，又BC＝6，
可得D为BC的中点，即BD＝CD＝3，
∵四边形ODAT为矩形，
∴OD＝AT＝4，
在Rt△OBD中，BD＝3，OD＝4，
根据勾股定理得：OB＝＝5，
则圆的半径为5．
23．（7分）如图，一块直角三角板形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大
（1）请你试着用直尺和圆规画出此圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）设三角形内切圆半径为r，则
r （50+40+30）＝×30×40，
解得：r＝10（cm）．
故此圆凳面的面积为：π×102＝100π（cm 2）．
24．（6分）如图，已知⊙O的半径为R，直径AB⊥CD以B为圆心，以BC为半径作弧CED．求弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积S．
【解答】解：∵CD⊥BA，OC＝OD＝OB，
∴△BCD是等腰直角三角形，CB⊥BD，BC＝R．
∴S阴影＝S半圆CDA﹣S扇形BCD+S△BCD＝πR2﹣π （R）2+×（R）2＝R2．
25．（7分）如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB＝30°，BC＝1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．
（1）请直接写出AB、AC的长；
（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝30°，BC＝1米
∴AB＝2米，AC＝米（4分）．
（2）画出A点经过的路径：（5分）
∵∠ABA1＝180°﹣60°＝120°，A1A2＝AC＝米
∴A点所经过的路径长＝+（7分）
＝π+≈5.9（米）（8分）．
26．（6分）如图，AB为⊙O直径，自圆上一点P作AB的垂线PH，垂足为H，自点A向过P点的切线作垂线，垂足为K．求证：AH＝AK．
【解答】证明：连接OP，过点O作OC⊥AK于点C，
∴∠OCK＝90°，
∵PK是⊙O的切线，AK⊥PK，
∴∠OPK＝∠PKC＝90°，
∴四边形OCKP是矩形，
∴OP＝CK，AK∥OP，
∴∠A＝∠POH，
在△AOC和△OPH中，
，
∴△AOC≌△OPH（AAS），
∴AC＝OH，
∵AK＝AC+CK，AH＝OA+OH＝OP+OH，
∴AH＝AK．
27．（10分）已知：如图，AB是⊙O的一条弦，点C为的中点，CD是⊙O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F．
（1）判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论；
（2）将直线l绕C点旋转（与CD不重合），在旋转过程中，E点，F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明．
【解答】（1）解：∠CEB＝∠FDC；
理由：∵CD是⊙O的直径，点C为的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CEB+∠ECD＝90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°．
∴∠FDC+∠ECD＝90°．
∴∠CEB＝∠FDC．
（2）证明：如图②
∵CD是⊙O的直径，点C为的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CEB+∠ECD＝90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°．
∴∠FDC+∠ECD＝90°．
∴∠CEB＝∠FDC．
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