高中数学必修第一册人教A版（2019）5.2《三角函数的概念》名师课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
锐角的三角函数(正弦、余弦、正切)是怎样定义的？
斜边
对
边
邻边
复习引入
O
a
b
M
P
y
x
在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
复习引入
y
x
在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
﹒
﹒
o
复习引入
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
﹒
∽
M
O
y
x
P(x,y)
锐角三角函数值与角终边上点的位置无关
复习引入
人教A版同步教材名师课件
三角函数的概念
学习目标
学 习 目 标 核心素养
通过锐角三角函数的定义记忆任意角的三角函数的定义. 数学抽象
根据任意角的三角函数定义中横、纵坐标的取值范围确定函数的定义域. 逻辑推理
准确理解并记忆三角函数值在各象限的符号. 逻辑推理
学习目标
课程目标
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
3.掌握公式一并会应用．
数学学科素养
1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；
2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；
3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；
4.数学运算：诱导公式一的运用.
y
O
x
1
M
探究新知
任意角三角函数的定义
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
(1)叫做的正弦(sine)，记作，即＝
(2) 叫做的余弦(cosine)，记作，即＝
O
统称为三角函数
探究新知
(3)叫做的正切(tangent)，记作，
即





三角函数定义推广：
探究新知
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域(弧度制)
三角函数 定义域
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
x
o
y
x
o
y
x
o
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
R
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
三角函数定义域与取值符号
上正下负横为0
左负右正纵为0
交叉正负
探究新知
y
x
o
+
-
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
y
x
o
y
x
o
全为+
y
x
o
记法：
一全正
二正弦
三正切
四余弦
三个三角函数在各象限的符号
角定象限,象限定符号.
探究新知
三角函数诱导公式一：
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到诱导公式一：
探究新知
其中.
诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~ (或~)角的三角函数值.
例1、求的正弦、余弦和正切值.
所以, , .
思考：若把角改为 呢
﹒
﹒
在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标为
典例讲解
解析
典例讲解
例2、已知角α的终边在直线上，分别求出及的值.
解析
由题意可得，角α的终边在第一或第三象限.
(1)当角的终边在第一象限时，在终边上任取一点，
即
(2)当角的终边在第三象限时，在终边上任取一点，
可得
先确定角α终边上异于原点的一个点的坐标，再利用三角函数的定义求得的值.
思路分析
方法归纳
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值；
(2)若已知角α终边上一点P(，)(≠0)是单位圆上的点，则=， =， =；
(3)若已知角α终边上一点P(，)(≠0)不是单位圆上一点，则；
(4)若已知角终边上点的坐标含参数，则需对其所在象限进行分类讨论.
变式训练
1.已知角的终边过点(m，-2)，若tan= ,则m=( )
解析
由题意知m≠0，因为角的终边过点(m，-2),所以解得m=-10，故选A.
典例讲解
例3、已知角θ的终边经过点P(-3，4)(≠ 0).
(1)当
(2)值.
解析
(1)当=1时，角θ的终边经过点P(-3，4)，即
(2)因为，即所以，所以
所以又
所以
解析
2.已知点为角的终边上的一点，且，则的值为( )
变式训练
由三角函数的定义得sin=
故选.
例4、已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切值.
思路分析
典例讲解
点可根据三角函数的定义，得到r =，需对的正负分情况讨论，分别求得角α的正弦、余弦、正切值.
解析
.
当
方法归纳
.
例5、判断下列三角函数值的符号.
（1） ；
）（角为第二象限角）.
典例讲解
解析
1）
3是第二象限角，4是第三象限角，5是第四象限角，
3>0，.
（2）∵角θ是第二象限角， <0，根据三角函数的定义可知，
当为第二象限角时，
方法归纳
对于判断含三角函数的代数式的值的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正弦值、余弦值、正切值在各象限的符号确定函数值的正负，进而得到结论.
变式训练
3.角的终边在第三象限，则下列各式中符号为正的是（ ）
A. + B. C.D.
由于角的终边在第三象限，那么有. 故选D.
解析
例6、若满足2sincos < 0，cossin < 0，则角的终边落在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
典例讲解
解析
解法一：设是角终边上任意一点，
则
即，角在第二象限，故选B
解法二：∵sincos < 0，∴的终边可能在第二、四象限，若为第二象限，则sin>0， cos < 0，∴ cos - sin < 0；若为第四象限，则sin<0， cos>0， ∴ cos - sin>0，不成立， ∴角在第二象限.
方法归纳
.
变式训练
4.已知tan > 0，且sin+ cos > 0，那么角的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
设是角的终边上任一点，
则r∴，
即点在第一象限，∴角α的终边在第一象限.
解析
例7、计算的值.
典例讲解
解析
原式=
.
方法归纳
变式训练
5.求下列各式的值.
（1） ；
.
（1）原式
（2）原式
解析
对三角函数定义的三点说明
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小只与角有关，而与点P(x，y)的位置无关．
素养提炼
(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号．
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．
(3)正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
1．对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
素养提炼
为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．
2．巧记三角函数值符号
素养提炼
当堂练习
1.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P ,则sin的值是（ ）
B. C. D.
2.已知角的终边经过点P（-2，1），则cos =（ ）
A. B. C. D.
3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，若A(，3)是角终边上一点，且·则=________.
D
A
1
当堂练习
4.下列结论正确的是_______.
（1）角的三角函数值随终边上的点的位置变化而变化；
（2）单位圆是以长度单位为半径的圆；
（3）若角α的终边过点（1，3），则sin α =
（4）终边在轴上的角的正切值不存在.
5.角的正弦、余弦和正切值分别为________、_________、_________.
(2)(3)
-
-
当堂练习
6.若（ ）
A.B.第一、三象限
C. D.第二、四象限
7.已知点P，则点P在平面直角坐标系中位于（ ）
A.B.第二象限 C. D.第四象限
8.
9.设_____.
D
1
B
归纳小结
设α是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆交于点P
正弦函数 把点P的纵坐标叫做α的正弦函数，记作sinα，即=sinα
余弦函数 把点P的横坐标叫做α的余弦函数，记作cosα，即=cosα
正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即=tanα（）
三角函数的定义
归纳小结
定义域
三角函数
的性质
公式一
正弦函数:R
余弦函数:R
正切函数:
三角函数值符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦
作 业
P182:3、5