高中数学必修第一册人教A版（2019）5.2.2《同角三角函数的基本关系》名师课件（共47张PPT）

(共43张PPT)
人教A版同步教材名师课件
同角三角函数的基本关系
学习目标
学 习 目 标 核心素养
能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 数学抽象
理解同角三角函数的基本关系式. 数学建模
能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 逻辑推理
课程目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
数学学科素养
1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；
2.逻辑推理： “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系；
3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
学习目标
思考1：如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，的正弦和余弦有什么内在联系？由此能得到什么结论？
P
O
x
y
M
1
探究新知
思考2：上述关系反映了角的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？
O
x
y
P
P
探究新知
思考3：设角的终边与单位圆交于点 根据三角函数定义，有，，， 由此可得， ，满足什么关系？
思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是多么？
探究新知
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.
思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？
探究新知
思考6：对于平方关系可作哪些变形？
探究新知
思考7：对于商数关系可作哪些变形？
思考8：结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？
探究新知
例1、已知 ，求， 的值.
典例讲解
解析
<0，∴角α是第二或第三象限角.
若角 是第二象限角，则
.
若角 是第三象限角，则
.
方法归纳
已知角 的一个三角函数值求其余三角函数值的求解思路
（1）已知角 的正弦值或余弦值，求角 的其他三角函数值时，要利用平方关系先求余弦值或正弦值，再利用商的关系求正切值.
（2）已知角 的正切值，求角 的其他三角函数值时，可利用方程组来求和，若解得的三角函数值有两个，则要由角 的终边所在象限决定取舍.
（3）特别注意：以上两种情况都出现了开方运算，一定要注意“正、负号”的选取，符号取决于角 的范围（终边位置），因此在求值时要先判断角 的终边位置，再判断值的符号.
例2、已知= ，求，的值.
典例讲解
思路分析
由题意，列出方程组
由得，= ，代入得
∴ ，∵ ， ∴ .
∴ .
解析
我们把sin和看作两个未知数，这样只要列出两个关于sin和的方程，通过解方程组，就可求出sin和的值.
变式训练
1.已知cos = 是第三象限的角，则sin =（ ）
A. B. C. D.
因为 是第三象限的角，所以sin = .
解析
2. 如果sin = 是第三象限的角，那么的值等于（ ）
A. B. C. D.±
解析
因为 是第三象限的角，所以cos
.
变式训练
3.若cos +则=（ ）
A. B. C. D.
解法
解法
解析
变式训练
3.若cos +则=（ ）
A. B. C. D.
解析
解法
.
解法四：本题考查三元实数组（1，2，5），又 ，
又.
变式训练
4.已知角 ，则=_______.
因为角所以<0.
（正值舍去）.
解析
例3、已知
（
典例讲解
思路分析
首先由条件求出α的值.（1）利用商数关系，分子、分母同除以cosα将所求式化为只含正切的分式，再代入求值.（2）先利用将原式构造成分子、分母次数相同的齐次式，再将分子、分母同除以将所求式化为只含正切的分式，最后代入求值.
例3、已知
（
典例讲解
解析
由所以α = 3.
（1）原式=把
（2）原式=
把.
方法归纳
已知角的正切值求由sin 和cos 构成的代数式的值的方法
（1）形如的分式，可将分子、分母同时除以cos ；形如的分式，可将分子、分母同时除以，将含正、余弦的项转化为含正切的项或常数项，从而求值.
（2）形如的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为+ ，转化为形如的分式，然后利用弦化切求解.
变式训练
5.已知求下列各式的值.
（
（1）原式
（.
解析
典例讲解
解析
，①将其两边同时平方，得1+2 sin cos =
.
.
例4、已知，的值.
思路分析
先求出2sin cos 的值及sin 与cos 的大小关系，然后求sin -cos 的值，从而求出sin ，cos ,的值.
方法归纳
sinθ ±cosθ的符号的判定方法
（1）sinθcosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当角θ的终边落在直线y=x上时sinθcosθ，即sinθcosθ=0；当角θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时， sinθcosθ，即sinθcosθ0；当角θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时， sinθcosθ ，即sinθcosθ0.如图①所示.
方法归纳
sinθ ±cosθ的符号的判定方法
（2）sinθcosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当角θ的终边落在直线y=上时， sinθcosθ ，即sinθcosθ =0；当角θ的终边落在直线y=的上半平面区域内时， sinθcosθ ，即sinθcosθ0；当角θ的终边落在直线y=的下半平面区域内时， sinθcosθ ，即sinθcosθ 0.如图②所示.
变式训练
6.已知，求下列各式的值.
（； （3）
（1）
.解得负值舍去），
.
解析
变式训练
6.已知，求下列各式的值.
（； （3）
解析
（
（
典例讲解
例5、化简下列各式.
（（
思路分析
（1）先利用平方关系将分子中的根号去掉，将分母根号内的被开方式往完全平方式的方向转化，去掉根号再化简.
（2）利用sin2 +cosα=1进行降次化简.
（3）先将分母有理化，使两根号下的分母相同，再开方化简.
典例讲解
例5、化简下列各式.
（（
解析
1）
（2）.
典例讲解
例5、化简下列各式.
（（
解析
（3）
0，
原式
方法归纳
利用同角三角函数的基本关系式化简的常用方法
（1）对于含有根号的，常把被开方数（式）写成完全平方数（式），然后去掉根号以达到化简的目的；
（2）化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数，从而减少三角函数的种类，达到化简的目的；
（3）对于含有高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造=1，以降低函数式的次数，达到化简的目的；
（4）有绝对值的尽量去掉绝对值符号，必要时分情况讨论.
变式训练
7.化简：
（1）.
（2）原式
.
（3）原式.
解析
变式训练
8.化简：.
解法.
解法原式
.
解析
典例讲解
例6、求证：
解析
左边 原等式成立.
原等式成立.
典例讲解
例6、求证：
解析
原等式成立.
方法归纳
证明无条件三角恒等式的一般方法
①由繁杂的一边化简到简单的一边.
②证明等号左、右两边都等于同一式子.
③证明与原恒等式等价的式子成立，从而推出原等式成立.
④变更命题法，如果证明，可证或证等.
⑤比较法，即设法证明“左边-右边=0”或“1”.
变式训练
9.求证：.
∵左边=
原等式成立.
解析
典例讲解
例8、已知方程的两根为且.
（1）求的值;（2）求m的值;（3）求方程的两根及此时θ的值
解析
.
（2）①两边平方得
典例讲解
例8、已知方程的两根为且.
（1）求的值;（2）求m的值;（3）求方程的两根及此时θ的值
解析
（3）由（2）知，原方程为，解得
方法归纳
解决同角三角函数的基本关系与一元二次方程的综合问题时，主要从以下几个方面考虑：
（1）利用平方关系把已知条件转化为关于三角函数的一元二次方程；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系寻求等量关系；
（3）利用一元二次方程根的判别式判断根的存在情况及确定参数的取值范围；
（4）充分利用同角三角函数的基本关系式进行化简.
变式训练
11.已知
（1）求的值.
（2）求+ 的值.
由根与系数的关系，知
.
解析
变式训练
11.已知
（1）求的值.
（2）求+ 的值.
解析
（
（
当堂练习
1.已知（ ）
A. B. C. D.
2.若 为第三象限角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.下列结论中成立的是（ ）
4.化简__________________.
B
C
B
归纳小结
化简求值
同角三角函数
的基本关系
证明恒等式
平方关系
商数关系
变形应用
作 业
P184练习：1、4、5