高中数学必修第一册人教A版（2019）5.2 《三角函数的概念》教学设计（表格式）

《三角函数的概念》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习旧知 1.函数的概念. 2.弧度制的概念. 3.思考：如何刻画圆周运动中点的位置变化呢？ 教师提出问题，学生口头回答. 复习旧知，为学习新课做准备.
概念形成 建立平面直角坐标系，如图. 1.定义： 设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点. （1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即； （2）把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； （3）把点的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切，记作，即 . 2.记法：通常将三角函数记为： 正弦函数：，； 余弦函数：，； 正切函数：，. 师：当时，点的坐标是什么？ 生：点的坐标是. 师：当或时，点的坐标是什么？ 生：点的坐标分别是和. 师：一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？ 生：能. 师：结合函数的定义，你能得到什么结论？ 生：点的横坐标、纵坐标都是角的函数. 师生：当时，的终边在轴上，这时点的横坐标等于0，所以无意义.除此之外，对于确定的，的值也是唯一确定的.所以也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数. 探究坐标系中角与终边和单位圆的交点的横、纵坐标间的对应关系，通过经历从特殊到一般的思考过程，抽象出正弦函数、余弦函数和正切函数的概念，提升学生数学抽象、直观想象素养.
概念深化 探究： 在初中我们学习了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.设，用锐角三角函数定义求得的锐角的正弦、余弦、正切，与按本节三角函数定义求得的的正弦、余弦、正切相等吗？ 师：你还记得初中学过的锐角三角函数吗？ 生：记得，锐角三角函数是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数. 师生：通过建系，将锐角放在直角坐标系中，则为第一象限角，如图. 由相似三角形，不妨取的终边与单位圆的交点为，则它与原点的距离.过点作轴的垂线，垂足为，则线段的长度为，线段的长度为. 师：请分别用初中学过的锐角三角函数的定义和本节三角函数的定义求，两者的结果是否一致？ 生：一致. 师：用这两种定义计算出的和结果一致吗？ 生：一致. 师生：本节三角函数的定义是初中锐角三角函数的定义的推广，现在我们研究的三角函数的载体由直角三角形变成了直角坐标系. 通过与初中学过的锐角三角函数定义的对比、分析，帮助学生进一步体会本节三角函数定义的优越性，突出三角函数概念的本质，提升学生直观想象素养.
应用举例 例1 求的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作（如图）.易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以，， ，. 例2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为.求证： ，，. 证明：如图，设角的终边与单位圆交于点.分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，则 ，， ，， 于是， 即. 因为与同号，所以， 即. 同理可得，. 师生：通过讨论确定利用定义解题的思路，然后由学生自主完成例1，请学生板演.教师巡视课堂，给予指导，并点评学生板演情况. 师：让学生讨论，确定将任意点转化到单位圆上的点的证明思路。 生：讨论、交流，完成例2. 师：巡视学生完成情况，发现学生存在问题，个别指导，点评学生对例2的解题情况. 师：通过例2的学习，你有什么体会？ 生：思考、回答. 师生：明确可以用终边上任意一点的坐标来定义三角函数，但用单位圆上的点的坐标来定义，既不失一般性，而且更简单，更容易看清对应关系. 从最简单的问题入手，让学生学习如何利用定义求具体角的函数值问题，加深学生对定义的理解. 通过例2的设置，让学生体会利用单位圆定义不仅简洁且具有一般意义，明确只要知道角终边上任意一点的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点的位置的改变而改变，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合思想，突破难点，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养。
归纳小结 1.三角函数的定义. 2.思想方法. 师生合作完成，学生回顾总结，老师引导点评、阐述. 反思总结.
布置作业 教材第179～180页练习第1～4题. 学生独立完成. 巩固知识.
板书设计
第1课时 三角函数的概念 一、复习旧知 二、新知探究 1.正弦函数：， 2.余弦函数：， 3.正切函数：，. 三、应用举例 例1 例2 四、归纳小结 1.三角函数的定义 2.思想方法 五、布置作业
教学研讨
教材对三角函数的定义给出了两种形式——单位圆定义法和终边定义法.从研究三角函数的作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.
为了使学生对三角函数的定义理解全面、深刻，有条件的学校，应当尽量使用信息技术进行教学，多对对应关系的形象化的过程展示，以及对单位圆上的点的坐标定义三角函数与用终边上任意一点的坐标的比值定义三角函数的等价性的认识.