高中数学必修第一册人教A版（2019）5.2《三角函数的概念》课时1 教学设计

《三角函数的概念》教学设计
课时1三角函数的概念
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.三角函数的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 【考查内容】 任意角三角函数定义、三角函数值的符号,诱导公式(一)及同角三角函数的基本关系. 【考查题型】 选择题、填空题
2.三角函数值的符号 逻辑推理 数学运算
3.诱导公式一 逻辑推理 数学运算
4.同角三角函数的基本关系 逻辑推理 数学运算
一、本节内容分析
本节内容包含三角函数的定义、性质和同角三角函数的基本关系.通过本节的学习,使学生根据三角函数的有关知识求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.三角函数的概念 2.三角函数值的符号 3.诱导公式一 4.同角三角函数的基本关系 数学抽象 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生熟悉的函数是实数到实数的对应,这里给出的函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,学生在理解上可能会有一定的困难.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.三角函数的概念
2.三角函数值的性质
3.同角三角函数的基本关系式
【教学目标设计】
1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
2.利用相似关系,由角α终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函数的定义.
3.根据定义理解正弦、余弦和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号,求一些特殊角的三角函数值.
4.理解并掌握诱导公式(一),并会用公式(一)进行三角函数式的化简或恒等式的证明.
5.利用同角三角函数的两个基本关系;解决较简单的求值、化简、恒等式证明等有关问题.
【教学策略设计】
1.理解三角函数的定义,并利用勾股定理得出同角三角函数的基本关系是本节课教学的关键,教学时,利用多媒体工具,可以很容易地建立起角的终边和单位圆的交点坐标的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来,引导学生考虑当角的终边与坐标轴重合时怎么处理；引导学生通过自已的思维活动得出教材中“探究”栏目里问题的结论.
2.在处理教材上的例题时,建议先让学生独立完成,然后教师指出其中出现的问题,再进行点评、总结、提升,另外,整个教学过程要向学生渗透分类讨论的意识.
【教学方法建议】
探究教学法,演示教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
2.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
难点:
1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:上新课之前,我们先来回答一下:函数的概念、弧度制的概念.
【学生回顾旧知识,回答问题,教师给予肯定】
师:如图,单位圆⊙O上的点P以A为起点逆时针方向旋转,如何刻画点P的位置变化情况呢 带着这个问题,进行我们今天的学习.
【设计意图】
回顾函数的概念、孤度制的概念,设置单位圆上动点情境,引入任意角三角函数.
教学精讲
师:根据研究函数的经验,我们利用直角坐标系来研究上述问题.
【教师提示:以单位圆的圆心为原点,以射线为轴的非负半轴,建立直角坐标系,点的坐标是,点的坐标是,射线从轴的非负半轴开始,绕点按逆时针方向旋转角,终止位置为,学生操作】
【情境设置】
探究任意角三角函数的定义
如图,当时,点的坐标是什么 当或时,点的坐标又是什么 它们是唯一确定的吗 一般地,任意给定一个角,它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗
【学生思考,交流后,回答问题】
生:当时,点的坐标是;当或时,点的坐标分别是和.它们都是唯一确定的.
【设情境,巧激趣】
学生通过观察图形,探究直角坐标系中角α的终边与单位圆的交点的横纵坐标之间的对应关系,为总结任意角三角函数的定义做准备,增加学习兴趣.
师:结合函数的定义,你能得到什么结论
【学生讨论,回答问题】
生:点的横坐标,纵坐标都是角的函数.所以任意给定一个角,它的终边与单位圆交点的坐标都是能唯一确定的.
师:接下来我们总结一下三角函数的定义
【要点知识】
三角函数的定义
设是任意角,,它的终边与单位回交于点.
(1)把点的纵坐标叫做的正弦函数(sine function),记作,即
(2)把点的横坐标叫做的余弦函数(cosine function),记作,即
(3)把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即,也称为正切函数(tangent function).
【教师强调:当时,的终边在轴上,这时点的横坐标等于0,所以无意义.除此之外,对于确定的的值也是唯一确定的.也是以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为正切函数】
【概括理解能力】
通过对单位圆上点的坐标探究,总结三角函数定义,培养学生的概括理解、归纳总结能力.
师:知道了三角函数的定义之后,我们要想表示它,还需要记准三角函数的表示.
【要点知识】
三角函数
正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数(trigonometric function).记为:正弦函数:;余弦函数:;正切函数:.
师:接下来我们将三角函数的定义深化一下,深度理解.
【情境设置】
三角函数定义的深化
在初中我们学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.设,把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为,并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为与相等吗 对于余弦、正切也有相同的结论吗
【教师提示:建立直角坐标系,将锐角放在直角坐标系中,为第一象限角,如图,取的终边与单位圆的交点为,则它与原点的距离为.过点作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为,学生思考,回答问题】
生:当为第一象限角时,按锐角三角函数定义和按三角函数定义求得的正弦、余弦、正切都相等.
【深度学习】
通过与初中所学的锐角三角函数的对比、进一步体会三角函数定义和深度理解.
【以学论教】
教师通过提示学生已有的单位圆中点的表示,启发学生思考,深化三角函数的定义,提升数学抽象素养.
师:本节三角函数的定义是初中锐角三角函数的定义的推广,现在我们研究的三角函数的载体由直角三角形变成了直角坐标系,请看下面的例题.
【典型例题】
三角函数定义的应用
例1 求的正弦、余弦和正切值.
例2 如图,设是一个任意角,它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标,点与原点的距离为,求证:.
【学生思考,确定利用定义解题的思路,自主完成例1,教师巡视,给予指导,并点评】
生:在直角坐标系中,作,如图,则的终边与单位圆的交点坐标为.
【对于例2,教师提示:由,根据三角函数的定义证明】
【学生讨论,确定将任意点转化到单位圆上的点进行证明,完成例2,教师巡视,并总结】
生:如图,设角a的终边与单位圆交于点.分别过点P,作轴的垂线,垂足分别为,则,,于是,即.因为与同号,所以,即.同理可得.
师:根据勾股定理,由例2可知,只要知道角终边上任意一点的坐标,就可以求得角的各个三角函数值,并且这些函数值不会随点位置的改变而改变.
【简单问题解决能力】
通过例1对具体角度三角函数值的计算求解,以及例2对任意角三角函数值的证明,加深学生对三角函数定义的理解,同时培养学生的简单问题解决能力.
【说明论证能力】
通过例2让学生体会利用单位圆定义解题的过程,明确只有知道角α终边上任意一点坐标就可以求出角α的各个三角函数值,培养学生的说明论证能力,提升逻辑推理素养.
师:好的,同学们,我们当堂做一些练习巩固一下.
【巩固练习】
三角函数的概念
1.利用三角函数定义,求的三个三角函数值.
2.利用三角函数定义,求的三个三角函数值.
3.已知角的终边过点.求角的三角函数值.
4.已知点在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动,角速度为.求时点所在的位置.
师:请4名同学到黑板上做题.
【学生板演,师生共同评价】
生没有意义;,没有意义.
生.
生.
生4:以坐标原点为圆心所在直线为轴正方向建立平面直角坐标系.时点所在位置记为.因为点是在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动,角速度为,所以圆心角.所以时,点在该平面直角坐标系中的位置为.
【分析计算能力】
计算具体角度的三角函数值,加深学生对三角函数概念的理解,增强对函数的应用的能力,培养学生的分析计算能力.
师:这节课就上到这里,你学到了什么
【课堂小结】
三角函数的概念
正弦函数:把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即.
余弦函数:把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即.
正切函数:把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即.
【设计意图】
通过对任意角三角函数概念的学习,利用了设情境巧激趣、以学论教的教学策略和深度学习的学习策略,培养了学生说明论证能力、概括理解能力、分析计算能力、简单问题解决能力,提升了学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
通过本节课的学习,学生理解三角函数的概念,能根据三角函数的定义确定三角函数的符号,同时也可以借助单位圆,利用定义推导出同角三角函数的基本关系式,知道同角三角函数的基本关系也反映了三角函数的基本性质,并会运用它们进行简单三角函数式的化简、证明和求值运算.
应用所学知识,完成下题:
已知:,且有意义.
(1)试判断角所在的象限.
(2)若角的终边上一点是,且(为坐标原点),求的值及的值.
解析:(1)要判断角所在的象限,先确定角的三角函数值的符号.由,可知,由有定义,,所以,角在第四象限.(2)利用勾股定理可得关于的方程,进而解方程、利用定义计算即可.由得,解得.又角在第四象限,由正弦函数的定义可知.
【设计意图】
围绕本节知识点——三角函数的概念、三角函数的性质、同角三角函数的基本关系引导学生整理知识,体会知识的生成、发展、完善的过程,锻炼学生观察记忆、说明论证、概括理解、推测解释、分析计算,简单问题解决等学科能力,从而达到数学运算、数学抽象、逻辑推理的核心素养目标要求.
教学反思
本节内容分为3课时,主要是对三角函数这一部分知识的理解与认识,三角函数是一类最典型的周期函数,是解决实际问题的重要工具,同样也是学习数学、物理和天文等其他学科的重要基础.在本节的教学中,应注意强调以周期变化现象为背景,构建从抽象研究对象即定义三角函数概念到后续课程研究同角三角函数的基本关系再到实际应用的过程,借助单位圆,理解正弦、余弦、正切函数的概念,注重同角三角函数基本关系的推导,注重通过实例提升学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算核心素养,
【以学定教】
综合三角函数的概念、性质和同角三角函数的基本关系式分析问题、解决问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果,总结得出教学过程中应结合实例多角度引发学生的思考,引导学生利用单位圆理解三角函数的概念,结合具体问题理解同角三角函数之间的基本关系.
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