高中数学必修第一册人教A版（2019）5.2《三角函数的概念》课时3 教学设计

《三角函数的概念》教学设计
课时3同角三角函数的基本关系
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.三角函数的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 【考查内容】 任意角三角函数定义、三角函数值的符号,诱导公式(一)及同角三角函数的基本关系. 【考查题型】 选择题、填空题
2.三角函数值的符号 逻辑推理 数学运算
3.诱导公式一 逻辑推理 数学运算
4.同角三角函数的基本关系 逻辑推理 数学运算
一、本节内容分析
本节内容包含三角函数的定义、性质和同角三角函数的基本关系.通过本节的学习,使学生根据三角函数的有关知识求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.三角函数的概念 2.三角函数值的符号 3.诱导公式一 4.同角三角函数的基本关系 数学抽象 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生熟悉的函数是实数到实数的对应,这里给出的函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,学生在理解上可能会有一定的困难.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.三角函数的概念
2.三角函数值的性质
3.同角三角函数的基本关系式
【教学目标设计】
1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
2.利用相似关系,由角α终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函数的定义.
3.根据定义理解正弦、余弦和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号,求一些特殊角的三角函数值.
4.理解并掌握诱导公式(一),并会用公式(一)进行三角函数式的化简或恒等式的证明.
5.利用同角三角函数的两个基本关系;解决较简单的求值、化简、恒等式证明等有关问题.
【教学策略设计】
1.理解三角函数的定义,并利用勾股定理得出同角三角函数的基本关系是本节课教学的关键,教学时,利用多媒体工具,可以很容易地建立起角的终边和单位圆的交点坐标的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来,引导学生考虑当角的终边与坐标轴重合时怎么处理；引导学生通过自已的思维活动得出教材中“探究”栏目里问题的结论.
2.在处理教材上的例题时,建议先让学生独立完成,然后教师指出其中出现的问题,再进行点评、总结、提升,另外,整个教学过程要向学生渗透分类讨论的意识.
【教学方法建议】
探究教学法,演示教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
2.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
难点:
1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
师:诱导公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等,那么,终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢
【情境设置】
探究同角三角函数的基本关系
计算:
【学生思考,讨论,回答问题】
生:.
生:.
师:观察计算结果,你发现了什么
生:同角的正弦平方和余弦平方之和等于1;同角的正弦比余弦等于正切.
【先学后教】
教师通过诱导公式一,设置特殊角三角函数求值的情境,为分析同角三角函数的关系做准备,让学生先通过自主思考,再进行知识讲解.
师:下面请看同角三角函数的基本关系.
【要点知识】
同角三角函数的基本关系
1.
2.
师:你能证明三角函数这两种关系吗
【学生思考,回答问题,教师引导,总结】
生:如图,设点是角的终边与单位圆的交点.过作轴的垂线,交轴于,则是直角三角形,且.由勾股定理有.所以,即.当的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当时,有.
师:设角的终边与单位圆的交点为,则.点的横坐标与纵坐标之间关系是,所以;角的正弦、余弦与正切之间满足.
师:上述关系式对任意角是否都成立
生:不是的,当时,不成立.
师:同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切.
师:若把关系式叫做平方关系,则把关系式叫做商数关系,是否可以把角换成、、、
生:可以把关系式中角换成、、、.
【推测解释能力】
教师分解问題,指出同角三角函数基本关系式的注意事项,学生分析、探究并积极回答,培养学生的推测解释能力,提升学生的逻辑推理素养.
【整体设计,分步落实】
教师通过将问题分步处理,层层深化,启发学生进行思考,最终共同总结出同角的三角函数关系的规律,加深学生对知识的理解以及对问题的思考连贯性.
师:对!但是同学们注意不能把关系式中的角换成、、、.因为在商数关系里要考虑定义域的问题,不能为0.好,那我们对这两个关系就加深了一层认识,同学们记住:“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立.请看例题.
【概括理解能力】
教师对同角三角函数进行讲解,重点强调同角的含义,提升学生的概括理解能力.
【典型例题】
利用同角三角函数基本关系求值
例 已知,求的值.
师:已知的值,如何求的值
生:由求得的值,再由,求得的值.
【学生思考,解题,教师强调分类讨论并点评,总结解题步骤】
生:因为,所以是第三或第四象限角.由得,如果是第三象限角,那么.于是,从而.如果是第四象限角,那么,从而.
【说明论证能力】
通过理解同角三角函数的基本关系并证明三角恒等式的过程,体现了学生的说明论证、解决问题的能力.
师:解此类题要先定象限,再定号、定值.当角所在象限不确定时,需逐一分情况讨论.下面进行一组巩固练习.
【巩固练习】
同角三角函数的基本关系
1.已知,且为第三象限角,求的值.
2.已知,求的值.
3.已知,求的值(精确到).
4.化箭:
(1).(2).(3).
5.求证:.
师:请同学独立做题.
【学生独立计算,并回答问题】
生:.
2.当为第二象限角时,;当为第四象限角时,,.
3.当为第一象限角时,.当为第二象限角时,.
4.(1).(2)1.(3)1.
5.左边.
【整体学习】
学完本节,利用课堂练习进行知识的复习整理和巩固,在做题过程中加深对同角三角函数的基本关系的理解与相关做题方法的掌握.
师:通过这节课你学到了什么知识
【课堂小结】
同角三角函数的基本关系
【设计意图】
通过对同角三角函数的关系内容的学习,利用了先学后教、整体设计分步落实的教学策略和整体学习的学习策略,培养了学生说明论证能力、推测解释能力、概括理解能力,提升了学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象核心素养.
教学评价
通过本节课的学习,学生理解三角函数的概念,能根据三角函数的定义确定三角函数的符号,同时也可以借助单位圆,利用定义推导出同角三角函数的基本关系式,知道同角三角函数的基本关系也反映了三角函数的基本性质,并会运用它们进行简单三角函数式的化简、证明和求值运算.
应用所学知识,完成下题:
已知:,且有意义.
(1)试判断角所在的象限.
(2)若角的终边上一点是,且(为坐标原点),求的值及的值.
解析:(1)要判断角所在的象限,先确定角的三角函数值的符号.由,可知,由有定义,,所以,角在第四象限.(2)利用勾股定理可得关于的方程,进而解方程、利用定义计算即可.由得,解得.又角在第四象限,由正弦函数的定义可知.
【设计意图】
围绕本节知识点——三角函数的概念、三角函数的性质、同角三角函数的基本关系引导学生整理知识,体会知识的生成、发展、完善的过程,锻炼学生观察记忆、说明论证、概括理解、推测解释、分析计算,简单问题解决等学科能力,从而达到数学运算、数学抽象、逻辑推理的核心素养目标要求.
教学反思
本节内容分为3课时,主要是对三角函数这一部分知识的理解与认识,三角函数是一类最典型的周期函数,是解决实际问题的重要工具,同样也是学习数学、物理和天文等其他学科的重要基础.在本节的教学中,应注意强调以周期变化现象为背景,构建从抽象研究对象即定义三角函数概念到后续课程研究同角三角函数的基本关系再到实际应用的过程,借助单位圆,理解正弦、余弦、正切函数的概念,注重同角三角函数基本关系的推导,注重通过实例提升学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算核心素养,
【以学定教】
综合三角函数的概念、性质和同角三角函数的基本关系式分析问题、解决问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果,总结得出教学过程中应结合实例多角度引发学生的思考,引导学生利用单位圆理解三角函数的概念,结合具体问题理解同角三角函数之间的基本关系.
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