高中数学必修第一册人教A版（2019）5.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计一（表格式）

《同角三角函数的基本关系》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 计算： __________， __________， __________， _________， _________， _________. 师：观察计算的结果，你有什么发现吗？ 生：计算、回答问题. 1， 1， 1， ， 1， . 通过计算并观察计算的结果，让学生猜想结论： ， .
探究新知 同角三角函数的基本关系： （1）， （2）. 证明：如图，设点是角的终边与单位圆的交点.过作轴的垂线，交轴于，则是直角三角形，且. 由勾股定理有. 因此，， 即. 显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.根据三角函数的定义，当时，有 . 也就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切. 平方关系：两弦（正弦与余弦）函数之间的关系. 商数关系：弦、切函数之间的关系. 说明： （1）是的简写，注意与的区别； （2）关系式的变形： ①， ②， ③， ④. 师：你还记得三角函数的定义吗？ 生：设角的终边与单位圆的交点为，则，，. 师：点的横坐标与纵坐标之间有什么关系？ 生：. 师：你能从角的正弦、余弦的角度表述上式的关系吗？ 生：. 师：上述关系式对任意角是否都成立？ 生：是的. 师：角的正弦、余弦与正切之间满足什么关系呢？ 生：. 师：上述关系式对任意角是否都成立？ 生：不是的，当时不成立. 师：若把关系式叫做平方关系，则可以把角换成、、、吗？ 生：可以. 师：若把关系式叫做商数关系，则可以把角换成、、、吗？ 生：不可以. 师：为什么平方关系中角可以换成其他的角，而商数关系中不可以呢？ 生：思考、回答. 师生：“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立. 运用定义给予严格证明，肯定猜想的正确性，通过证明同角三角函数的基本关系式，锻炼学生的思维能力，同时提升逻辑推理素养. 教师层层深入地剖析同角三角函数的基本关系式，指出其中的一些注意事项，并对问题进行分解，以此来帮助学生注意和理解公式，突破难点，提升学生逻辑推理素养.学生根据教师的诱导，思考问题并积极回答，加深对公式的理解.
应用举例 例1 已知，求，的值. 解：因为，， 所以是第三或第四象限角. 由得 . 如果是第三象限角， 那么. 于是， 从而. 如果是第四象限角， 那么，. 例2 求证. 证法1：由，知，所以，于是 左边 右边. 所以，原式成立. 证法2：因为 ， 且，， 所以. 师：已知的值，如何求，的值？ 生：由求得的值，再由，求得的值. 师：请学生板演例1. 生：一人板演，其他学生在草稿纸上完成. 师：巡视学生解答情况，适时点拨，并对学生答题情况进行点评，强调分类讨论的意识. 师生：总结解题步骤： 第一步：定象限； 第二步：定号、定值. 师：如何证明一个等式？ 生：从左往右证或从右往 左证或两头往中间证. 师：分析证明思路（从左往右证）. 生：思考、整理证明过程.师：启发学生思考另外的证法，一题多证，培养发散思维. 生：思考、交流，得出证法2. 通过例1的讨论与解答，向学生渗透由未知转化为已知的化归思想，以及平方关系的作用——“知二求一”，但要提醒：涉及开方运算，符号判断取决于角所在象限，当角所在象限不确定时，需逐一分情况讨论. 例2是使用同角三角函数的基本关系式来证明三角恒等式的问题，一题多还能培养学生逻辑推理能力和分析解决问题的能力. 通过两道例题的分析与处理，提升学生逻辑推理与数学运算素养.
归纳小结 1.知识：平方关系、商数关系. 2.思想方法：分类讨论思想. 引导学生概括、归纳知识，反思数学思想方法. 通过总结使知识系统化，培养学生认真总结的学习习惯.
布置作业 教材第184页练习第1，4，5题. 学生独立完成. 巩固知识，提升能力.
板书设计
5.2.2 同角三角函数的基本关系一、复习引入 二、探究新知 同角三角函数的基本关系： 平方关系： 商数关系：（） 说明： （1）是的简写，注意与的区别； （2）关系式的变形 三、应用举例 例1 例2 四、归纳小结 1.知识 2.思想方法 五、布置作业
教学研讨
本案例基本是按照教材的内容设置来安排的，学生学习起来应该感到比较顺畅.值得注意的一点是：本节内容在知识检测中是以公式及其变形解决计算问题为主，因此，教学过程中应设置多一些关于同角三角函数的基本关系的正用、逆用以及变形用的习题.