高中数学必修第一册人教A版（2019）5.2.1 三角函数的概念 导学案（含答案）

【新教材】5.2.1 三角函数的概念（人教A版）
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
3.掌握公式一并会应用．
1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；
2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；
3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；
4.数学运算：诱导公式一的运用.
重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；
②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.
难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
预习导入
阅读课本177-180页，填写。
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以__________为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与__________交于点P(x，y)，那么：
图1 2 1
(2)结论
①y叫做α的__________，记作__________，即sin α＝y；
②x叫做α的__________，记作__________，即cos α＝x；
③叫做α的__________，记作__________，即tan α＝(x≠0)．
(3)总结
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．
思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝＞0)．
三角函数 定义 名称
__________ 正弦
__________ 余弦
__________ 正切
正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
sin α __________
cos α __________
tan α __________
4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
图1 2 2
(2)口诀：“一全正，二__________，三__________，四__________”．
5．诱导公式一
1．若角α的终边经过点P(2，3)，则有(　　)
A．sin α＝　 B．cos α＝
C．sin α＝ D．tan α＝
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．sinπ＝ ．
4．角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为 ．
题型一 三角函数的定义及应用
例1 　在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
跟踪训练一
1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
题型二 三角函数值的符号
例2 (1)若α是第四象限角，则点P(cos α，tan α)在第________象限．
(2)判断下列各式的符号：
①sin 183°；②tan ；③cos 5.
跟踪训练二
1．确定下列式子的符号：
(1) tan 108°·cos 305°；(2)；(3)tan 120°·sin 269°.
题型三 诱导公式一的应用
例3 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sincos＋tancos.
跟踪训练三
1．化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)sin＋cosπ·tan 4π.
1．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②sin α是“sin”与“α”的乘积；
③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( )
A. B．－ C. D．－
3．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( )
A．第一或第四象限 B．第一或第三象限
C．第一或第二象限 D．第二或第四象限
4．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是( )
A．2 B．±2 C．－2 D．－2
5．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝5 (1)，则sin β＝ ．
6．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°；
(2).
答案
小试牛刀
1．C
2．B
3．
4. .
自主探究
例1 【答案】当α的终边在第二象限时，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2.
当α的终边在第四象限时， sin α＝－，cos α＝，tan α＝－2.
【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝＝，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2.
当α的终边在第四象限时，
在α终边上取一点P′(1，－2)，
则r＝＝，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2.
跟踪训练一
1．【答案】当x＝1时，sin θ＝，tan θ＝3；
当x＝－1时，此时sin θ＝，tan θ＝－3.
【解析】由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cos θ＝＝.
又∵cos θ＝x，∴＝x.∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
例2　 【答案】（1）四； （2）　①sin 183°<0；②tan <0；③cos 5>0.
【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，
∴点P(cos α，tan α)在第四象限．
(2)　①∵180°<183°<270°，∴sin 183°<0；
②∵<<2π，∴tan <0；
③∵<5<2π，∴cos 5>0.
跟踪训练二
1．【答案】(1) tan 108°·cos 305°＜0；(2) ＞0；
（3）tan 120°sin 269°＞0.
【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0.
(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，
∴cos ＜0，tan＜0，sin ＞0.从而＞0.
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，
∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.从而tan 120°sin 269°＞0.
例3 【答案】（1）；（2）.
【解析】　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.
跟踪训练三
1．【答案】（1）(a－b)2 ； （2）.
【解析】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan 4π
＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝.
当堂检测
1-4． BDBD
5.
6．【答案】(1) 0；(2) .
【解析】 (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)＝＝＋1＝.