高中数学必修第一册人教A版（2019）5.3《诱导公式课时1》教学设计

《诱导公式》教学设计
课时1诱导公式二~四
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.诱导公式二~四 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求三角函数值或证明恒等式成立 【考查题型】 选择题、填空题
2.诱导公式五和六 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容包含三角函数的五个诱导公式,它是圆的对称性的“代数表示”,利用对称性,探究角的终边分别关于原点或坐标轴或象限角的平分线对称的角的三角函数值之间的关系.通过本节的学习,使学生进一步理解三角函数之间的内部联系,为后面学习三角函数的图象和性质打下基础.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.诱导公式二~四 2.诱导公式五和六 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
前面学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和诱导公式一,有了一定的基础,但推导公式的关键是明确单位圆上对称点的坐标关系,学生在这方面可能存在难度.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.诱导公式二~四
2.诱导公式五和六
【教学目标设计】
1.借助单位圆的对称性利用定义推导诱导公式.
2.熟练掌握三角函数的诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
3.运用诱导公式化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式.
【教学策略设计】
通过回顾利用单位圆定义三角函数和复习诱导公式一,让学生思考角的终边落在其他位置的情况如何处理,引出本节课所学的诱导公式.通过诱导公式的推导与应用的过程,体会诱导公式的使用方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.
【教学方法建议】
探究教学法,启发教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.发现并推导诱导公式,体会把未知问题化归为已知问题的思想方法.
2.诱导公式二~六的推导及应用.
难点:
1.如何引导学生从单位圆对称性与角的终边对称性中发现问题,提出研究方法.
2.发现终边与角α的终边关于直线y=x对称的角与α之间的数量关系.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,上节课我们借助单位圆学习了三角函数的概念,并认识了诱导公式一,可是对于一个任意角,并不能通过凑足特殊角与360°的整倍数之间的关系,我们如何快速确定这类任意角的三角函数的值呢 就比如说已知sin20°=α如何求:sin380°,sin200°,sin(-20°),sin160°,sin70°,sin110°.
【设计意图】
让学生根据sin20°=α求其他角的正弦值,引导学生思考,激发学生兴趣,为学生新知识作铺垫.
教学精讲
师:为了解决上述引例的问题,我们还是借助单位圆研究一下.
【设情境,巧激趣】
让学生通过观察直角坐标系内的单位圆,发现角的终边的关系得出三角函数值之间的关系.
【情境设置】
探究诱导公式二~四
如图,在直角坐标系内,设任意角的终边与单位圆交于点.
(1)作关于原点的对称点,以为终边的角与角有什么关系 角的三角函数值之间有什么关系
(2)如果作关于轴(或轴)的对称点(或),那么又可以得到什么结论
【自主学习】
在教学过程中,教师通过提问,使学生在问题情境中自主思考,自主探究诱导公式二.
【教师提示:借助单位圆的对称性进行探究.学生思考,讨论】
师:如图,以为终边的角可以表示成什么形式
生:.
师:点与在位置上有什么关系
生:关于原点对称.
师:点与两点的坐标间有什么关系
生:横坐标、纵坐标分别互为相反数.
师:知道了终边与单位圆的交点坐标,你能根据三角函数的定义探究角与角的三角函数值之间的关系吗
【学生思考,讨论,回答问题,教师总结】
生:设,则,因为是关于原点的对称点,所以,根据三角函数的定义可知:;
则.
【推测解释能力】
通过观察找到角的终边的几何对称性,确定与单位圆的交点坐标,求出三角函数值,得到诱导公式二,体现了学生的推测解释、总结概括能力.
【概括理解能力】
综合诱导公式一、公式二得出新公式,体现了概括理解能力,培养学生善于思考的学习习惯.
师:非常好!同学们自主探究的结果是正确的,具体公式我们一起看一下.
【要点知识】
诱导公式二
.
师:综合诱导公式一及诱导公式二,你有什么发现
【学生自主探究,教师总结】
师:诱导公式一和诱导公式二是有联系的.
【要点知识】
诱导公式一、公式二的推广
.
师:除了由原点对称得到外,角还可以看作是角的终边按逆时针方向旋转角得到的.
【深度学习】
综合诱导公式一和二,通过总结共同特征,得到诱导公式一、二的推广,加深对公式的理解,体会从未知到已知的化归思想.
师:给定一个角,终边分别与角的终边关于轴、轴对称的角与角有什么关系 它们的三角函数之间又有什么关系
【学生思考,交流,教师总结】
师:通过单位圆中三角函数的概念和角关于坐标轴的对称,还可以得到如下公式:
【要点知识】
诱导公式三和四
诱导公式三:
.
诱导公式四:
.
师:你能类比公式二,证明公式三和公式四吗
【学生讨论,完成证明过程,教师总结】
生1:如图,作关于轴的对称点,则以为终边的角为,设,则.根据三角函数的定义可知,,从而得到诱导公式三.
生2:如图,作关于轴的对称点,则以为终边的角为,
设,则.根据三角函数的定义可知:
,从而得到诱导公式四.
师:对于正弦与余弦的诱导公式,可以为任意角;对于正切的诱导公式,的终边不能落在轴上,即.
【说明论证能力】
通过类比思想,由诱导公式二得到诱导公式三和四,加深学生对公式的理解,培养学生的说明论证能力,强化逻辑推理素养.
【少教精教】
教师启发学生利用单位圆的对称性探究三角函数值,并证明公式三、公式四.教师最后讲解决总结诱导公式的特点“函数名不变,符号看象限”.
师:诱导公式一 四有什么共同特征
【学生思考,交流,回答问题,教师总结】
师:的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号,简记为“函数名不变,符号看象限”.下面请看例题.
【典型例题】
诱导公式的应用
例1 利用公式求下列三角函数值:
(1).(2).(3).(4).
【学生思考,回答问题,教师给予肯定或补充】
生:.
(2).
(3).
(4).
师:好的,完成得非常好!那我们梳理一下目前已学到的这些诱导公式的作用:
【情境设置】
探究诱导公式一~四的作用
由例1,你对诱导公式一~公式四的作用有什么进一步的认识 你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗
【学生思考,讨论,回答问题,教师补充,并总结】
生:利用诱导公式一~四,可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
师:如果角为负角,可以先利用诱导公式三或一将任意负角的三角函数化为正角的三角函数,再用诱导公式化简、求值,具体解题步骤如下.
【要点知识】
把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
【观察记忆能力】
例1为运用诱导公式求值,根据所给角度选取合适的诱导公式,再利用特殊角进行求值,加深对诱导公式的记忆和理解,培养学生的观察记忆能力.
【先学后教】
教师在学生学习完诱导公式一至四之后,引导学生自主总结出诱导公式的作用,使学生更深刻地掌握诱导公式的应用方法,加深对公式的印象.
师:接下来,我们利用解题步骤做一道题目.
【典型例题】
诱导公式的应用
例2 化简:.
【学生独立完成,总结解题思路,教师巡视、补充】
生:
所以原式.
【情境学习】
在具体问题情境中(例2)应用诱导公式,进行式子的化简,根据所给条件选取合适的公式,在解决问题中加深对公式的理解与掌握.
师:好的,我们继续深入练习.
【巩固练习】
诱导公式的应用
1.将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:
(1)____________.(2)____________.(3)____________.
(4)____________.(5)____________.(6)____________.
2.利用诱导公式求下列三角函数值:
(1).
(4).(6).
3.化简:
(1).
(2).
4.填表:
【学生独立完成,教师巡视,点评】
师:下面请同学们依次回答以上问题.
生:(1).(2).(6).
生:(1).
生:(1).(2).
生:
1 1
【分析计算能力】
运用诱导公式化简求值,加深对诱导公式的记忆与分析计算能力,以及对特殊角三角函数值的记忆.
【整体学习】
在本节课最后,补充课堂练习,学生在独立完成中,巩固对所学的诱导一~四知识的理解与掌握,在解决问题中实现对本节课重点知识的整体回顾与复习.
师:同学们回答得都非常好!接下来我们共同回顾一下,这节课你学到了哪些知识
【学生回答问题,教师总结】
【课堂小结】
诱导公式二~四
【设计意图】
通过对诱导公式二~四的学习,利用了设情境巧激趣、先学后教、少教精教的教学案略和自主学习、深度学习、情境学习、整体学习的学习策略,培养了学生说明论证能力、推测解释能力、观察记忆能力、概括理解能力,提升了学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
学完本节课,应对诱导公式及其推导过程有进一步的认识,知道诱导公式是圆的对称性的代数化,它反映的是三角函数的对称性,能借助单位圆的对称性推导出诱导公式,并能运用诱导公式进行化简、求值和证明.
应用所学知识,完成下题:
已知.
(1)化简.
(2)若角的终边在第二象限且,求.
解析:本题可以利用诱导公式化简,根据所给角度的特征选取合适的诱导公式进行化简求值,注意其中涉及的角度范围,正确判断所求三角函数的符号.具体解题过程如下:
(1).
(2)由题意知.
【设计意图】
教师引导学生整理知识,使学生体会诱导公式的推导、发展、完善的过程,通过化简求值、综合证明等具体题目的演练,锻练学生的学科能力(观察记忆、概括理解、推测解释、说明论证、分析计算、简单问题解决等),从而达到数学运算、逻辑推理核心素养目标要求.
教学反思
本节课共分为2课时,通过明确单位圆上对称点的坐标关系,得出诱导公式二~六并进行化简、求值、证明等方面的应用.因为任意角的三角函数的定义是借助单位圆得出的,三角函数的性质是圆的几何性质的代数化,对称性是圆的重要性质,用三角函数表示单位圆上的点的坐标,就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系,因此,数形结合是本节课的一个重要思路,在教学中应着重发挥数与形的结合,通过其中的关联找到规律,启发学生自主总结出公式,以“探究”为引导,加深对公式来源的理解,简化推导过程,有利于学生对公式的记忆,减轻学生的记忆负担.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握诱导公式的推导过程以及应用方法,会根据具体问题选取恰当的诱导公式进行化简求值,掌握诱导公式的一般证明过程与方法,并能在不同的具体情境中合理应用,综合解决一些问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果,总结得出教学过程中应结合实例多角度引发学生的思考,鼓励学生自主证明公式,多角度探究,要结合学生的理解程度,深度证明公式,减轻学生记忆负担.
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