高中数学必修第一册人教A版（2019）5.3《诱导公式课时2》教学设计

《诱导公式》教学设计
课时2诱导公式五和六
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.诱导公式二~四 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求三角函数值或证明恒等式成立 【考查题型】 选择题、填空题
2.诱导公式五和六 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容包含三角函数的五个诱导公式,它是圆的对称性的“代数表示”,利用对称性,探究角的终边分别关于原点或坐标轴或象限角的平分线对称的角的三角函数值之间的关系.通过本节的学习,使学生进一步理解三角函数之间的内部联系,为后面学习三角函数的图象和性质打下基础.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.诱导公式二~四 2.诱导公式五和六 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
前面学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和诱导公式一,有了一定的基础,但推导公式的关键是明确单位圆上对称点的坐标关系,学生在这方面可能存在难度.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.诱导公式二~四
2.诱导公式五和六
【教学目标设计】
1.借助单位圆的对称性利用定义推导诱导公式.
2.熟练掌握三角函数的诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
3.运用诱导公式化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式.
【教学策略设计】
通过回顾利用单位圆定义三角函数和复习诱导公式一,让学生思考角的终边落在其他位置的情况如何处理,引出本节课所学的诱导公式.通过诱导公式的推导与应用的过程,体会诱导公式的使用方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.
【教学方法建议】
探究教学法,启发教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.发现并推导诱导公式,体会把未知问题化归为已知问题的思想方法.
2.诱导公式二~六的推导及应用.
难点:
1.如何引导学生从单位圆对称性与角的终边对称性中发现问题,提出研究方法.
2.发现终边与角α的终边关于直线y=x对称的角与α之间的数量关系.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:回顾诱导公式一~四.
【教师引导,学生回答】
生:诱导公式一:
诱导公式二:
诱导公式三:
诱导公式四:
师:由于圆是对称图形,利用这一点能得到诱导公式一~四,是否还能得到其他结论呢
【教学预设,效果生成】
教师通过带领学生一起回顾上节课诱导公式二~四,达到了启发本节课诱导公式五、六的目的,也使学生建立了知识的前后连贯性.
教学精讲
【情境设置】
探究诱导公式五
作关于直线的对称点,以为终边的角与角有什么关系 角与角的三角函数值之间有什么关系
师:如图,以为终边的角可以表示成什么形式
生:.
师:点与两点的坐标间有什么关系
生:点的横坐标与的纵坐标相同,点的纵坐标与的横坐标相同.
师:你能根据三角函数的定义探究角与角的三角函数值之间的关系吗
【整体学习】
回顾诱导公式二、诱导公式三和诱导公式四的内容,探究诱导公式五的证明过程,进一步理解利用诱导公式求任意角的三角函数就是一个“去负”“脱周”“化锐”的过程.
【学生思考,讨论,教师提示辅助线图示,学生回答问题】
生:设,由于是点关于直线的对称点,过轴,垂足为,过轴,垂足为.由平面几何知识可知:Rt,即.根据三角函数定义得,,即:.
【推测解释能力】
类比诱导公式二、三、四的推导方法,学生通过计算,确定与单位圆的交点坐标,推导证明诱导公式五,得出结论,同时提升学生的推测解释能力.
师:正确,这也就是诱导公式五.
【要点知识】
诱导公式五
.
师:我们知道上述和是关于直线对称的,如果我们再作一组对称点,又能得到什么结论呢
【情境设置】
探究诱导公式六
作关于轴的对称点,又能得到什么结论
师:为了得到证明过程,先将诱导公式六的结论展示出来:
【要点知识】
诱导公式六
师:角的终边与角的终边具有怎样的对称性 据此你将如何证明诱导公式六
【学生思考,交流,师生互动证明,教师板书】
证明:如图,作关于轴的对称点,则以为终边的角为,由公式五的证明可知.根据三角函数的定义可知:,从而得到.
师:通过诱导公式五、六,可以得出的正弦(余弦)函数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.简记:“函数名改变,符号看象限”.
【先学后教】
教师先给出诱导公式六,由结论到推理,先由学生自主探究学习,再进行讲授,加深学生对公式的理解.
【观察记忆能力】
通过证明诱导公式六,加深理解利用单位圆的对称性研究三角函数性质的方法,培养观察记忆能力,同时提升学生的直观想象核心素养.
师:六组诱导公式各有什么作用
【学生思考,合作探究,回答问题,教师补充并规范语言】
师:在做题时,遇到一个角度,要根据其特征选取合适的诱导公式进行化简,具体内容如下:
【要点知识】
诱导公式的作用
诱导公式一:将角化为内的角求值.
诱导公式二:将内的角转化为内的角求值.
诱导公式三:将负角转化为正角求值.
诱导公式四:将内的角转化为内的角求值.
诱导公式五、诱导公式六:实现正弦与余弦的相互转化.
【以学论教】
教师通过提问,启发学生自主思考诱导公式的作用,加深学生对诱导公式的理解,以学生的理解和掌握为中心,教师做主导,提升数学抽象、逻辑推理等核心素养.
师:接下来我们通过一道例题巩固一下所学内容.
【典型例题】
诱导公式的应用
例1 证明:(1).(2).
【学生思考,回答问题,教师给予肯定或补充】
【教师引导学生变角,分析由未知转化为已知的回归思想,学生完成证明过程】
生:.
(2).
【自主学习】
学生自主完成例1的证明过程,体会化归思想,熟悉诱导公式五和六,通过自主思考和证明,可以更深刻的理解诱导公式.
师:的正、余弦,当为奇数时,三角函数化简后需变名,再根据将角看成一个锐角后,所在象限确定化简后的符号.注意到这一点后,我们再具体来分析一道题目.
【典型例题】
诱导公式的应用
例2 化简:.
【学生思考,讨论,学生板书,教师补充,并总结】
生:原式.
【简单问题解决能力】
通过例2进一步理解诱导公式一~六,从而解决问题,综合提升简单问题解决能力.
师:非常好!同学们注意到没有 上述两个例题的解题过程中其实都出现了这种形式的角,遇到这样的角,怎样快速化简,你能总结一下规律吗
【学生思考,总结,教师规范语言】
生:先去的整数倍角,再利用诱导公式五、六化简.
师:对!其实也就是对任意角进行“去负”“脱周”“化锐”过程,若是涉及的正、余弦,当为奇数时,三角函数化简后需变名,即用诱导公式五和六进行化简.
【典型例题】
诱导公式的应用
例3 已知,且,求的值.
师:已知中的角和结论中的角有什么关系
生:互余关系.
师:下面请大家选择合适的公式解决本题.
【教师提示:直接利用互余关系确定三角函数值的符号时,容易出错,需要结合已知条件确定所求的角是第几象限角,师生互动,教师板书】
解:设,那么,从而.
于是.
因为,所以.
由,得.
所以,
所以.
【以学定教】
教师根据问题的共同点,启发学生进行思考总结,利用诱导公式进行化简求值,以学生为思考主体,通过发现问题逐步启发思考.
【概括理解能力】
通过例3引导学生总结给值求值的问题要寻找未知角和已知角的联系,然后利用诱导公式求值,培养学生的概括理解能力.
师:好的,同学们,学习完这几道例题后,想必大家应该也掌握了诱导公式的一些应用,接下来,我们通过课堂练习巩固一下所学内容.
【巩固练习】
诱导公式的应用
1.用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具,第(3)(4)(6)题精确到1):
(1).(2).(3).
(4).(5).
2.证明:
(1).(2).
(3).(4).
3.化简:
(1).
(3).
【学生独立完成,教师巡视,点评】
师:下面请同学依次回答以上各题.
生:1.(1).(2).(3).(4)7.(5).(6).
生:2.(1).
(2).
(3).
(4).
生:3.(1).(3).
【深度学习】
学生通过巩固练习,加强对诱导公式一~六的理解和应用,通过化简求值和证明,在具体问题情境中加深对知识和方法的理解.
【分析计算能力】
学生通过练习,加深对诱导公式一~六的理解,也使分析计算能力得到了培养,提升学生的数学抽象和逻辑推理核心素养.
师:通过这节的学习,你有什么收获
【课堂小结】
诱导公式五和六
【设计意图】
通过诱导公式五和六的教学内容,利用了教学预设效果生成、先学后教、以学定教、以学论教用数学策略和整体学习、自主学习、深度学习的学习策略,培养了学生观察记忆能力、推测解释能力、分析计算能力、概括理解能力、简单问题解决能力,提升了学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
学完本节课,应对诱导公式及其推导过程有进一步的认识,知道诱导公式是圆的对称性的代数化,它反映的是三角函数的对称性,能借助单位圆的对称性推导出诱导公式,并能运用诱导公式进行化简、求值和证明.
应用所学知识,完成下题:
已知.
(1)化简.
(2)若角的终边在第二象限且,求.
解析:本题可以利用诱导公式化简,根据所给角度的特征选取合适的诱导公式进行化简求值,注意其中涉及的角度范围,正确判断所求三角函数的符号.具体解题过程如下:
(1).
(2)由题意知.
【设计意图】
教师引导学生整理知识,使学生体会诱导公式的推导、发展、完善的过程,通过化简求值、综合证明等具体题目的演练,锻练学生的学科能力(观察记忆、概括理解、推测解释、说明论证、分析计算、简单问题解决等),从而达到数学运算、逻辑推理核心素养目标要求.
教学反思
本节课共分为2课时,通过明确单位圆上对称点的坐标关系,得出诱导公式二~六并进行化简、求值、证明等方面的应用.因为任意角的三角函数的定义是借助单位圆得出的,三角函数的性质是圆的几何性质的代数化,对称性是圆的重要性质,用三角函数表示单位圆上的点的坐标,就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系,因此,数形结合是本节课的一个重要思路,在教学中应着重发挥数与形的结合,通过其中的关联找到规律,启发学生自主总结出公式,以“探究”为引导,加深对公式来源的理解,简化推导过程,有利于学生对公式的记忆,减轻学生的记忆负担.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握诱导公式的推导过程以及应用方法,会根据具体问题选取恰当的诱导公式进行化简求值,掌握诱导公式的一般证明过程与方法,并能在不同的具体情境中合理应用,综合解决一些问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果,总结得出教学过程中应结合实例多角度引发学生的思考,鼓励学生自主证明公式,多角度探究,要结合学生的理解程度,深度证明公式,减轻学生记忆负担.
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