高中数学必修第一册人教A版（2019）5.4《三角函数的图象与性质课时1》教学设计

《三角函数的图象与性质》教学设计
课时1正弦函数、余弦函数的图象
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.正弦函数、余弦函数的图象 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象直观想象 【考查内容】 以三角函数的图象和性质为主,尤其是单调性、周期性和最值问题,有时也会考查函数的对称性,常与三角恒等变换相结合 【考查题型】 选择题、填空题
2.正弦函数、余弦函数的性质 逻辑推理 数学运算 直观想象
3.正切函数的性质与图象 直观想象数学运算 逻辑推理 数学抽象
一、本节内容分析
本节内容研究三角函数的图象与性质,由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.再由正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.最后由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验,通过运用数形结合的思想方法和类比思想,对正切函数的图象与性质进行研究,并应用函数性质解决问题,是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅,因此注意对学生研究函数方法的启发,本节的学习有着极其重要的地位.发展学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养,培养概括理解能力、分析计算能力以及综合问题解决等学科能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.正弦函数、余弦函数的图象 2.正弦函数、余弦函数的性质 3.正切函数的性质及图象 直观想象 数学运算 数学抽象 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
本节的主要内容是三角函数的图象和性质,过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等,此前还学了锐角的三角函数和任意角的三角函数,在此基础上来学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,为今后正弦函数、余弦函数、正切函数的性质,以及为函数的图象和性质的研究打好基础,起到了承上启下的作用,但还需加深对函数周期性的理解和认识,因此,本节的学习有着极其重要的地位.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.正弦函数、余弦函数的图象
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
3.正弦函数、余弦函数的单调性和最值
4.正切函数的性质及图象
【教学目标设计】
1.理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法;掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线;理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
2.了解周期函数与最小正周期的意义;了解三角函数的周期性和奇偶性;会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);能利用性质解决一些简单问题.
3.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性;并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题;会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象.
【教学策略设计】
教学中要注重引导学生联系已学过的知识,以函数的一般概念为指导,借鉴指数函数、对数函数的研究经验,设计三角函数的研究路径,引导学生关注三角函数的特殊性,充分利用周期性简化研究过程,并在正切函数中有意设计“先研究性质,再作图象”的过程,使学生体验研究函数图象与性质方法的多样性.强调单位圆的作用,引导学生利用圆的几何性质(特别是对称性)发现和研究三角函数的性质等,提升学生的直观想象、数学运算、数学建模素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法;正弦函数、余弦函数的图象.
2.通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质.
3.正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性.
难点:
1.理解作余弦函数的图象的方法;理解正弦函数与余弦函数图象间的关系.
2.应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.
3.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,前边我们讲到了三角函数的定义,三角函数也是函数,那么我们如何从函数定义角度研究三角函数呢 类比之前指数函数、对数函数等的研究方法,是不是可以先画出函数图象,通过观察图象的特征,获得函数性质的一些结论 所以引出一个问题,怎样画出三角函数的图象 我们知道三角诱导公式,,也就是单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就可以回到原来的位置,我们可以利用这一现象来简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.
【学生思考问题,交流讨论】
师:首先先进入正弦函数图象的研究和分析.
【设计意图】
以学生学过的知识：单位圆,诱导公式等引出课程主题,让学生形成数学系统,对前后知识建立联系.
教学精讲
探究1 正弦函数的图象
师:同学们,把三角形的正弦看作一个函数的话,可以写作,定义域,而根据,所以我们先研究的图象就好了.那么同学们思考这样一个问题:在上任取一个值,如何利用正弦函数的定义,确定正弦函数值,并画出点
【情境设置】
通过单位圆获得正弦函数图象
【先学后教】
通过对三角函数定义的回顾,提出新的问题,提出运用三角函数定义画正弦函数图象的方法,培养和发展直观想象的核心素养.
师:我们在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆,圆与轴正半轴的交点为,设点绕着点旋转的角度为,设旋转后的点的纵坐标为,则满足,我们可以得到函数图象上的点.下面我们把轴上从0到这一段分成12等份,使的值分别为,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分,接下来我们请一位同学到黑板上按照上述画点的方法,画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.
【学生到黑板上完成作图,教师予以点评、肯定】
师:同学们来看黑板,通过这些点,我们是不是就可以得到函数的图象,只需要将这些点用光滑的曲线连接起来,就可以得到比较精确的函数的图象.
【情境设置】
正弦函数的图象
师:以上是函数的图象,把这个区间扩展到,函数图象又是怎样的呢
生1:波浪形.
生以的图象为基本图象,向左向右不断重复的.
师:同学们描绘得都对,根据,所以函数1)且的图象与的图象完全一致,因此将函数的图象不断向左、向右平移,每次都移动个单位长度,就可以得到正弦函数的图象.
【概括理解能力】
让学生独立自主完成作图,增强学生对正弦函数图象的认识,提升对正弦函数概念的概括理解能力.
【情境学习】
学生通过将正弦函数在[0,2π]的基础上,向左向右不断平移,通过形象的图示,体会正弦函数的周期性,在具体情境中,学习相关概念,理解运算方法.
【要点知识】
正弦函数图象
正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve),是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
师:因为正弦函数的图象是连续不断的曲线,我们在确定它的图象形状时,应该把握住哪些关键点
生:在函数的图象上,以下五个点:
师:在确定图象形状时,描出这五个点,函数的图象就基本确定了,因此,在精确度要求不高时,找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,即可得到正弦函数的简图,我们称之为“五点(画图)法”.
【以学论教】
通过对正弦函数图象的分析,归纳总结五点作图法,发展学生,直观想象、数学运算等核心素养.
探究2 余弦函数的图象
师:明白了正弦函数如何作图之后,同学们再思考这样一个问题,正弦函数和余弦函数是有关联的,通过怎样的图形变换,才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象
生:通过诱导公式,函数.
师:是这样的,而函数的图象可以通过正弦函数,的图象向左平移个单位长度得到,左加右减.那也就是说,将正弦函数的图象向左平移个单位长度,就可得到余弦函数的图象.
【要点知识】
余弦函数的图象
余弦函数的图象叫做余弦曲线(cosine curve).它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
师:类似于正弦函数的“五点法”作图,我们在区间上也找余弦函数的五个关键点,应该是哪几个点
生:.
【说明论证能力】
教师通过带领学生学习正弦函数图象上的五点,引导学生思考说明、总结余弦函数图象上的五点,培养学生的说明论证能力.
师:很好!同学们要会找这五个点,熟记这几个点的位置.接下来我们看一道例题.
【典型例题】
正弦函数、余弦函数的图象
例 画出下列函数的简图:
(1);(2).
【学生独立思考,取点作图,教师巡视检查并予以点评】
师:好的,同学们,看到大家完成得都不错,我们现在来看黑板,关键熟悉整个做图过程.
【典例解析】
正弦函数、余弦函数的图象
解:(1)按五个关键点列表:
0
0 1 0 -1 0
1 2 1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
(2)按五个关键点列表:
0
1 0 -1 0 1
-1 0 1 0 -1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图).
师:以上解题过程,我们是在区间上找到函数和函数的五个关键点,然后描点连线画图,如果从图象变换角度去分析画图,也好解释,我们发现,函数的图象就是将函数的图象向上平移了一个单位长度,而函数的图象就是将函数的图象沿轴向下翻折得到的图象.
【自主学习】
学生独立完成作图,通过对典型问题的分析解决,加深对图象变换的认识,发展直观想象、数学运算等核心素养.
【概括理解能力】
作图题目,让学生动手操作,增强学生对正弦函数、余弦函数图象的认识,加强“五点法”作图认识,提升对知识的概括理解能力.
【以学定教】
教师在学生自主练习之后进行题目点评,总结归纳做题要点,以及结论,以学生的理解为中心,提升直观想象、数学运算素养.
师:接下来,我们练习几道题目,巩固练习一下.
【巩固练习】
正弦函数、正弦函数的图象
1.在同一直角坐标系中,画出函数
的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同.
2.用五点法分别画出下列函数在上的图象:
(1).(2).
3.想一想函数与的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验.
4.(多项选择题)函数的图象与直线为常数)的交点可能有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
E.4个
【简单问题解决能力】
通过所学的正弦函数、余弦函数的图象的知识,来做巩固练习,培养学生简单问题解决能力.
师:同学们,这节课我们都学习了哪些内容 请大家思考一下.
【学生思考、交流、师生共同总结,教师多媒体展示】
【课堂小结】
正弦函数、余弦函数的图象
1.知识清单
(1)正弦函数、余弦函数的图象.
(2)“五点法”作图.
(3)函数图象的应用.
2.方法归纳:数形结合.
3.常见误区:五点的选取;平移得余弦函数的图象.
【设计意图】
通过学习正弦函数、余弦函数图象,利用了先学后教、以学论教、以学定教的教学策略和自主学习、情境学习的学习策略,培养了学生说明论证能力、简单问题解决能力和概括理解能力,提升了学生的直观想象、数学运算核心素养.
教学评价
本节课主要学习内容是三角函数的图象和性质,学生关注了三角函数的特殊性,充分利用周期性简化研究过程,并在正切函数中体会了“先研究性质,再作图象”的过程,使学生体验了研究函数图象与性质方法的多样性.
应用所学知识,完成下面各题:
1.若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则_______.
解析:法一:由于函数的图象经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图象可知,为函数的周期,暂,解得.
法二:得.
由已知并结合正弦函数图象可知,,解得.当时,.
答案:
2.(2017全国卷III)设函数,则下列结论错误的是( )
A.的一个周期为
B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为
D.在单调递减
解析:A项,因为的周期为且,所以的一个周期为项正确.B项,因为图象的对称轴为直线,当时,直线是其对称轴,B项正确.C项,,将代入得到,所以是的一个零点,C项正确.D项,因为的递减区间为,递增区间为,所以是减区间,是增区间,D项错误.
答案:
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻练自己的学科能力(概括理解能力、分析计算能力、综合问题解决能力),从而达到数学运算、直观想象、数学抽象、逻辑推理素养目标要求.
教学反思
本节课内容分为4课时,主要学习内容是:正弦函数、余弦函数的图象和性质以及正切函数的图象和性质,本节教学内容注重与教科书的整体结构,体现内容之间的有机衔接,凸显内容和数学学科核心素养的融合,在教学过程中,教师注重引导学生,在不同的问题情境中,突出数学概念、启发学生独立思考,加强运算练习,必要的时候进行小组交流探讨,同时教师加强三角函数与相关知识的联系,提升学生的逻辑推理、数学抽象核心素养,注重发挥单位圆的作用,提升学生的直观想象核心素养,通过例题和习题的思考和练习,提升学生的数学运算核心素养.
【以学定教】
教师要让学生理解三角函数的图象和性质,并能在不同的具体情境中合理应用,可以利用三角函数的图象与性质综合解决一些问题.
【以学论教】
通过对正、余弦函数和正切函数的图象与性质的内容讲解,教师引导学生独立思考,加强练习,利用不同教学方法与策略,达到教学目标要求.
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