高中数学必修第一册人教A版（2019）5.4《三角函数的图象与性质课时2》教学设计

《三角函数的图象与性质》教学设计
课时2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.正弦函数、余弦函数的图象 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象直观想象 【考查内容】 以三角函数的图象和性质为主,尤其是单调性、周期性和最值问题,有时也会考查函数的对称性,常与三角恒等变换相结合 【考查题型】 选择题、填空题
2.正弦函数、余弦函数的性质 逻辑推理 数学运算 直观想象
3.正切函数的性质与图象 直观想象数学运算 逻辑推理 数学抽象
一、本节内容分析
本节内容研究三角函数的图象与性质,由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.再由正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.最后由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验,通过运用数形结合的思想方法和类比思想,对正切函数的图象与性质进行研究,并应用函数性质解决问题,是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅,因此注意对学生研究函数方法的启发,本节的学习有着极其重要的地位.发展学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养,培养概括理解能力、分析计算能力以及综合问题解决等学科能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.正弦函数、余弦函数的图象 2.正弦函数、余弦函数的性质 3.正切函数的性质及图象 直观想象 数学运算 数学抽象 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
本节的主要内容是三角函数的图象和性质,过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等,此前还学了锐角的三角函数和任意角的三角函数,在此基础上来学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,为今后正弦函数、余弦函数、正切函数的性质,以及为函数的图象和性质的研究打好基础,起到了承上启下的作用,但还需加深对函数周期性的理解和认识,因此,本节的学习有着极其重要的地位.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.正弦函数、余弦函数的图象
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
3.正弦函数、余弦函数的单调性和最值
4.正切函数的性质及图象
【教学目标设计】
1.理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法;掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线;理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
2.了解周期函数与最小正周期的意义;了解三角函数的周期性和奇偶性;会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);能利用性质解决一些简单问题.
3.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性;并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题;会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象.
【教学策略设计】
教学中要注重引导学生联系已学过的知识,以函数的一般概念为指导,借鉴指数函数、对数函数的研究经验,设计三角函数的研究路径,引导学生关注三角函数的特殊性,充分利用周期性简化研究过程,并在正切函数中有意设计“先研究性质,再作图象”的过程,使学生体验研究函数图象与性质方法的多样性.强调单位圆的作用,引导学生利用圆的几何性质(特别是对称性)发现和研究三角函数的性质等,提升学生的直观想象、数学运算、数学建模素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法;正弦函数、余弦函数的图象.
2.通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质.
3.正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性.
难点:
1.理解作余弦函数的图象的方法;理解正弦函数与余弦函数图象间的关系.
2.应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.
3.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
师:上节课我们知道了正弦函数、余弦函数的图象,类比以往对函数性质的研究,正弦函数、余弦函数具有哪些性质 这节课我们从周期性、单调性、奇偶性、最值等方面分析研究正弦函数、余弦函数的性质.
师:首先先来分析周期性,观察正弦函数的图象,可以发现,在图象上,横坐标每隔个单位长度,就会出现纵坐标相同的点,这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律,这一点既可以从定义中体现出来,从诱导公式中也可得到反映,那么在数学上,就以周期性来刻画这种“周而复始”的变化规律.首先同学们先明确一下怎样表现一个周期函数.
【要点知识】
周期函数
1.周期函数:一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.
2.最小正周期:如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做的最小正周期.周期函数的周期不唯一,若,则,且.
【先学后教】
教师引导学生回顾学过的函数有关知识,展示对三角函数性质的分析,形成前后知识的联系.
师:这就是周期函数及其最小正周期的定义.根据上述定义,我们可以得到正弦函数、余弦函数都是周期函数,且是函数的周期,而就是函数的最小正周期.我们具体通过例题看一下.
【典型例题】
计算函数的周期
例 求下列函数的周期:
(1).
(2).
(3).
师:解决这类问题,我们可以利用三角函数的周期性,通过代数变形,得出等式而求出相应的周期.同学们,现在我们分成三组,分别解决这三个小题,注意其间可能需要借助诱导公式或者其他转化公式.
【学生积极思考,完成后和组内其他同学积极交流,教师,巡视完成结果】
生1:第一题借助诱导公式,由周期函数的定义,得到周期为.
生2:第二题从余弦函数的周期性出发,通过代数变形得出周期为.
生3:第三题需要先换元,令,通过代数变形得到周期为.
师:好的,大家都完成得非常好,通过以上三题,我们可以总结一下,求正弦函数、余弦函数的最小正周期的方法:一般能够通过解析式或者图象直接观察出周期来的,就根据解析式或者图象确定,再通过定义来验证;但是遇到需要经过代数变形得到的,我们可以总结出一个结论,大家归纳下这三个题的做题过程,最小正周期和函数里的系数有什么关系
【活动学习】
通过分组学习,小组交流学习,加深学生对正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性的理解,性质与图象的联系,增强自主探究意识.
【学生自主思考,综合以上三个题目的特点和答案,探究、总结求周期方法,教师补充进行展示】
【要点内容】
正弦函数、余弦函数最小正周期的求法
1.定义法:即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数具有的某些性质推出使成立的.
2.图象法,即作出的图象,观察图象求出.如.
3.结论法:一般地,函数(其中、、为常数,的周期.
师:具体证明过程,大家可以参看教材P203的解析过程.
事实上,令,那么由得,且函数及函数,的周期都是.
因为
所以,自变量增加,函数值就重复出现;并且增加量小于时,函数值不会重复出现.即
师:好,同学们,以上就是对于正弦函数、余弦函数周期性的分析和研究,接下来我们再研究这两种函数的另一性质:奇偶性.大家观察这两种函数的图象特点,因为正弦函数、余弦函数都是具有周期性的,并且其定义域都是全体实数,是关于原点对称的,观察到正弦曲线关于原点对称,余弦函数关于轴对称,所以可以得到正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数的结论.其实也可以由诱导公式证明得到.
【深度学习】
学生在教师的启发下,归纳总结出计算最小正周期的几种方法,有助于学生形成自主探究的学习意识,更深入地理解、掌握所学知识.
【要点知识】
正弦函数、余弦函数的奇偶性
.
结论:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
师:同学们,奇偶性是正弦函数、余弦函数很明显的一条性质特征,我们都知道,函数奇偶性是特殊的对称性,所以在这里,我们也总结一下正弦函数、余弦函数的对称性,同学们可以看图象,自己分析,确定函数的对称中心和对称轴.
【学生自主思考,画图探究函数的对称中心和对称轴,教师巡视,指点学生】
【要点知识】
正弦函数、余弦函数的对称性
正弦函数的对称中心是,对称轴是直线.
余弦函数的对称中心是,对称轴是直线.
(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线,对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).
【少教精教】
教师在教授奇偶性之后,让学生结合图象自主思考,学生在独立计算中,加深对三角函数对称性概念的理解程度,教师少教,达到精教的目的.
师:好了,同学们,掌握了这些性质之后,我们进行一下练习,来看一下这几道题.
【巩固练习】
正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
1.等式是否成立 如果这个等式成立,能否说是正弦函数的一个周期 为什么
2.求下列函数的周期,并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验:
(1).(2).
(3).(4).
3.下列函数中,那些是奇函数 哪些是偶函数
(1).(2).
(3).(4).
4.设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求的值.
【分析计算能力】
通过大量的题目练习,加深学生对正弦函数、余弦函数周期性和奇偶性的理解,掌握求周期,判断奇偶性的方法,培养分析计算能力.
师:同学们,我们现在要梳理一下本节主要内容,请同学们分组讨论,梳理出本节的几个核心知识点以及做题方法.
【学生分组交流,查阅课本、笔记,总结重要知识点、教师进行多媒体展示】
【课堂小结】
正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
1.知识清单
(1)周期函数的概念,三角函数的周期.
(2)三角函数的奇偶性.
(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用.
2.方法归纳:定义法、公式法、数形结合.
3.常见误区:函数或(其中是常数,且的周期为.
师:本节课我们继正弦函数、余弦函数的图象之后,主要学习了函数的性质中的周期性和奇偶性,同学们做题时注意结合函数自身的图象以及诱导公式,关于函数的性质,下一节课我们再重点研究单调性、最值等问题.
【设计意图】
通过正弦函数、余弦函数周期性和奇偶性的教学内容,利用了先学后教、少教精教的教学策略和深度学习、活动学习的学习策略、培养了学生的分析计算能力,提升了学生的直观想象、数学运算、数学运算核心素养.
教学评价
本节课主要学习内容是三角函数的图象和性质,学生关注了三角函数的特殊性,充分利用周期性简化研究过程,并在正切函数中体会了“先研究性质,再作图象”的过程,使学生体验了研究函数图象与性质方法的多样性.
应用所学知识,完成下面各题:
1.若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则_______.
解析:法一:由于函数的图象经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图象可知,为函数的周期,暂,解得.
法二:得.
由已知并结合正弦函数图象可知,,解得.当时,.
答案:
2.(2017全国卷III)设函数,则下列结论错误的是( )
A.的一个周期为
B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为
D.在单调递减
解析:A项,因为的周期为且,所以的一个周期为项正确.B项,因为图象的对称轴为直线,当时,直线是其对称轴,B项正确.C项,,将代入得到,所以是的一个零点,C项正确.D项,因为的递减区间为,递增区间为,所以是减区间,是增区间,D项错误.
答案:
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻练自己的学科能力(概括理解能力、分析计算能力、综合问题解决能力),从而达到数学运算、直观想象、数学抽象、逻辑推理素养目标要求.
教学反思
本节课内容分为4课时,主要学习内容是:正弦函数、余弦函数的图象和性质以及正切函数的图象和性质,本节教学内容注重与教科书的整体结构,体现内容之间的有机衔接,凸显内容和数学学科核心素养的融合,在教学过程中,教师注重引导学生,在不同的问题情境中,突出数学概念、启发学生独立思考,加强运算练习,必要的时候进行小组交流探讨,同时教师加强三角函数与相关知识的联系,提升学生的逻辑推理、数学抽象核心素养,注重发挥单位圆的作用,提升学生的直观想象核心素养,通过例题和习题的思考和练习,提升学生的数学运算核心素养.
【以学定教】
教师要让学生理解三角函数的图象和性质,并能在不同的具体情境中合理应用,可以利用三角函数的图象与性质综合解决一些问题.
【以学论教】
通过对正、余弦函数和正切函数的图象与性质的内容讲解,教师引导学生独立思考,加强练习,利用不同教学方法与策略,达到教学目标要求.
1 / 9