高中数学必修第一册人教A版（2019）5.4《三角函数的图象与性质课时3》教学设计

《三角函数的图象与性质》教学设计
课时3正弦函数、余弦函数的单调性和最值
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.正弦函数、余弦函数的图象 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象直观想象 【考查内容】 以三角函数的图象和性质为主,尤其是单调性、周期性和最值问题,有时也会考查函数的对称性,常与三角恒等变换相结合 【考查题型】 选择题、填空题
2.正弦函数、余弦函数的性质 逻辑推理 数学运算 直观想象
3.正切函数的性质与图象 直观想象数学运算 逻辑推理 数学抽象
一、本节内容分析
本节内容研究三角函数的图象与性质,由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.再由正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.最后由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验,通过运用数形结合的思想方法和类比思想,对正切函数的图象与性质进行研究,并应用函数性质解决问题,是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅,因此注意对学生研究函数方法的启发,本节的学习有着极其重要的地位.发展学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养,培养概括理解能力、分析计算能力以及综合问题解决等学科能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.正弦函数、余弦函数的图象 2.正弦函数、余弦函数的性质 3.正切函数的性质及图象 直观想象 数学运算 数学抽象 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
本节的主要内容是三角函数的图象和性质,过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等,此前还学了锐角的三角函数和任意角的三角函数,在此基础上来学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,为今后正弦函数、余弦函数、正切函数的性质,以及为函数的图象和性质的研究打好基础,起到了承上启下的作用,但还需加深对函数周期性的理解和认识,因此,本节的学习有着极其重要的地位.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.正弦函数、余弦函数的图象
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
3.正弦函数、余弦函数的单调性和最值
4.正切函数的性质及图象
【教学目标设计】
1.理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法;掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线;理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
2.了解周期函数与最小正周期的意义;了解三角函数的周期性和奇偶性;会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);能利用性质解决一些简单问题.
3.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性;并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题;会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象.
【教学策略设计】
教学中要注重引导学生联系已学过的知识,以函数的一般概念为指导,借鉴指数函数、对数函数的研究经验,设计三角函数的研究路径,引导学生关注三角函数的特殊性,充分利用周期性简化研究过程,并在正切函数中有意设计“先研究性质,再作图象”的过程,使学生体验研究函数图象与性质方法的多样性.强调单位圆的作用,引导学生利用圆的几何性质(特别是对称性)发现和研究三角函数的性质等,提升学生的直观想象、数学运算、数学建模素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法;正弦函数、余弦函数的图象.
2.通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质.
3.正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性.
难点:
1.理解作余弦函数的图象的方法;理解正弦函数与余弦函数图象间的关系.
2.应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.
3.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
师:观察正弦函数图象,因为其是周期函数,所以我们可以先在它的一个周期的区间内讨论其单调性,再利用周期性,将单调性扩展到整个定义域.
【以学论教】
教师将学习难度分级降低,先由正弦函数图象得出一个周期的单调性,再由周期性得出正弦函数单调性,由浅入深,由局部到整体,加深学生对这一部分的知识和方法上的理解.
【情境设置】
探究正弦函数的单调性
当由增大到时,曲线逐渐上升,的值由增大到1;当由增大到时,曲线逐渐下降,的值由1减小到.
师:观察图象可得:正弦函数在区间上单调递增,在区间,上单调递减.再结合周期性,我们可以得到结论:
【要点知识】
正弦函数的单调性
正弦函数在每一个闭区间上都单调递增,其值从增大到1;在每一个闭区间上都单调递减,其值从1减小到.
师:根据余弦函数图象是由正弦函数图象平移所得,所以我们也可以得到余弦函数的单调性.
【归纳总结】
余弦函数的单调性
函数在区间_________上单调递增,其值从-1增大到1;在区间_______上单调递减,其值从1减小到.
由余弦函数的周期性可得,余弦函数在每一个闭区间_________上都单调递增,其值从增大到1;在每一个闭区间_______上都单调递减,其值从1减小到.
师:请同学根据余弦函数图象,回答上述填空的内容.
【教师指定一名学生回答问题,并予以肯定和点评】
师:好了,同学们,看黑板,把上述知识整理好.
【要点知识】
余弦函数的单调性
函数在区间上单调递增,其值从增大到1;在区间上单调递减,其值从1减小到.
由余弦函数的周期性可得,余弦函数在每一个闭区间上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间上都单调递减,其值从1减小到.
【概括理解能力】
由学生自己通过观察正弦函数、余弦函数图象得到单调性结论,自主练习填空,培养概括理解能力.
【情境学习】
学生通过由图象得出的结论,再将结论和所学知识进行对比,整理总结,在具体学习情境中获得知识.
师:从上述讨论容易得到正弦函数、余弦函数的最值.
【要点知识】
正弦函数、正弦函数的最值
正弦函数当且仅当时,取得最大值1;当且仅当时,取得最小值.余弦函数当且仅当时,取得最大值1;当且仅当时,取得最小值.
【说明论证能力】
由单调性得到最值,通过数形结合的数学思想,加深学生了对图象与性质的认识、加强对单调性的应用,培养说明论证能力.
师:好,我们来看一道例题,具体应用一下.
【典型例题】
正弦函数、余弦函数的最值
例1 下列函数有最大值、最小值吗 如果有,请写出取最大值、最小值时自变量的集合,并求出最大值、最小值.
(1).(2).
师:第一问可以从图象平移的角度思考,函数实际上就是余弦函数向上平移了一个单位长度得到,所以,使函数取得最大值的的集合,就是使函数取得最大值的的集合,使函数取得最小值的的集合,就是使函数取得最小值的的集合.
函数的最大值是;最小值是.
师:第二问的方法要注意,可以采取先换元的方式,令,使函数,取得最大值的的集合,就是求原函数最大值,也就是求的最小值,即当时,取最小值,也就是,得,所以得到使函数取得最大值的的集合是,其最大值是3.那么使函数取得最小值的的集合又是多少
生:同理,使函数取得最小值的的集合是,其最小值是.
【少教精教】
教师根据问题情境,逐步引出问题,启发学生自主思考,联系已有的思考结果,不是直接教授,而是通过逐步的提问,达到精教的目的.
师:正确,非常好!大家要注意这道题目的做题方法,即进行换元,注意换元前后自变量的取值范围,以及函数自身的系数.和最值相关的一类问题还有比较大小这一类题型.
【典型例题】
利用单调性比较大小
例2 不通过求值,比较下列各组数的大小:
(1)与小.
师:对于这样的问题,我们可以利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,所以可以先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.分别请两位同学说一下各自的思路和解答.
【学生积极思考、演算】
生1:(1)因为,正弦函数在区间上单调递增,所以.
生.
因为,且函数在区间上单调递减,所以
即
师:正确!其实我们也可以借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小,自己可以画一画,试一试.
【活动学习】
学生在具体的问题情境中回答问题,应用函数的单调性解决问题,比较大小,在活动中提高解决问题的能力.
【分析计算能力】
学生在教师的启发下,独立思考完成问题,借助诱导公式以及函数的图象、单调区间比较函数值的大小,有助于学生活学活用,加强方法练习,提高分析计算能力.
师:好了,同学们,关于单调性的研究,我们再来研究一道例题,求单调区间.
【典型例题】
求单调区间
例3 求函数的单调递增区间.
师:令,当自变量的值增大时,的值也随之增大,因此若函数在某个区间上单调递增,则函数在相应的区间上也一定单调递增.
还是刚刚强调过的重要的解题方法,也就是换元处理,同学们自己好好思考,独立完成.
【学生积极思考,独立完成,教师巡视检查】
师:好,我们一起看一下这道题目的解题过程.
【典例解析】
求单调区间
解:令,则.
因为的单调递增区间是,且由,得.
所以,函数的单调递增区间是.
师:你能求出函数的单调递增区间吗
生:也就是令,可得函数的单调递增区间为.
【以学定教】
教师在教授求解单调区间方法之后,再系统展示解题过程,明确换元法解题思想,加深学生对三角函数求单调区间的换元方法的掌握程度.
师:正确!记住这种做题方法,熟记正弦函数、余弦函数在其各自单调区间内的五个点坐标.接下来,我们多练习几道题目巩固一下.
【巩固练习】
正弦函数、余弦函数的单调性和最值
1.观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的所在的区间:
(1).(2).(3).(4).
2.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并求出最大值、最小值.
(1).(2).
3.下列关于函数的单调性的叙述,正确的是( )
A.在上单调递增,在上单调递减
B.在上单调递增,在上单调递减
C.在及上单调递增,在上单调递减
D.在上单调递增,在及上单调递减
4.不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1)与.(2)与.
5.求函数的单调递减区间.
【分析计算能力】
通过大量的题目练习,加深学生对正弦函数、余弦函数的单调性和最值的理解和对换元法的掌握,培养分析计算能力.
师:同学们,我们本节课学习了哪些重要的内容 请大家思考、总结一下吧.
【学生思考、交流、师生共同总结,教师多媒体展示】
【课堂小结】
正弦函数、余弦函数的单调性和最值
1.知识清单
(1)正弦函数、余弦函数的单调区间.
(2)比较三角函数值的大小.
(3)正弦函数、余弦函数的最值(值域).
(4)正弦函数、余弦函数的对称性.
2.方法归纳:换元法.
3.常见误区:单调区间漏写;求值域时忽视本身具有的范围.
师:本节课我们学完了正弦函数、余弦函数的性质,总共有周期性、奇偶性、单调性、最值等这几种性质及其应用,同学们做题时注意结合函数自身的图象以及诱导公式,关于三角函数还有一种正切函数,下一节课我们再重点研究正切函数的性质及图象.
【设计意图】
通过学习正弦函数、余弦函数的单调性和最值,利用了以学论教、少教精教、以学定教的教学策略和情境学习、活动学习的学习策略,培养了学生的概括理解、说明论证、分析计算能力,提升学生直观想象、数学运算、数学抽象核心素养.
教学评价
本节课主要学习内容是三角函数的图象和性质,学生关注了三角函数的特殊性,充分利用周期性简化研究过程,并在正切函数中体会了“先研究性质,再作图象”的过程,使学生体验了研究函数图象与性质方法的多样性.
应用所学知识,完成下面各题:
1.若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则_______.
解析:法一:由于函数的图象经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图象可知,为函数的周期,暂,解得.
法二:得.
由已知并结合正弦函数图象可知,,解得.当时,.
答案:
2.(2017全国卷III)设函数,则下列结论错误的是( )
A.的一个周期为
B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为
D.在单调递减
解析:A项,因为的周期为且,所以的一个周期为项正确.B项,因为图象的对称轴为直线,当时,直线是其对称轴,B项正确.C项,,将代入得到,所以是的一个零点,C项正确.D项,因为的递减区间为,递增区间为,所以是减区间,是增区间,D项错误.
答案:
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻练自己的学科能力(概括理解能力、分析计算能力、综合问题解决能力),从而达到数学运算、直观想象、数学抽象、逻辑推理素养目标要求.
教学反思
本节课内容分为4课时,主要学习内容是:正弦函数、余弦函数的图象和性质以及正切函数的图象和性质,本节教学内容注重与教科书的整体结构,体现内容之间的有机衔接,凸显内容和数学学科核心素养的融合,在教学过程中,教师注重引导学生,在不同的问题情境中,突出数学概念、启发学生独立思考,加强运算练习,必要的时候进行小组交流探讨,同时教师加强三角函数与相关知识的联系,提升学生的逻辑推理、数学抽象核心素养,注重发挥单位圆的作用,提升学生的直观想象核心素养,通过例题和习题的思考和练习,提升学生的数学运算核心素养.
【以学定教】
教师要让学生理解三角函数的图象和性质,并能在不同的具体情境中合理应用,可以利用三角函数的图象与性质综合解决一些问题.
【以学论教】
通过对正、余弦函数和正切函数的图象与性质的内容讲解,教师引导学生独立思考,加强练习,利用不同教学方法与策略,达到教学目标要求.
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