高中数学必修第一册人教A版（2019）5.4《三角函数的图象与性质课时4》教学设计

《三角函数的图象与性质》教学设计
课时4正切函数的性质与图象
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.正弦函数、余弦函数的图象 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象直观想象 【考查内容】 以三角函数的图象和性质为主,尤其是单调性、周期性和最值问题,有时也会考查函数的对称性,常与三角恒等变换相结合 【考查题型】 选择题、填空题
2.正弦函数、余弦函数的性质 逻辑推理 数学运算 直观想象
3.正切函数的性质与图象 直观想象数学运算 逻辑推理 数学抽象
一、本节内容分析
本节内容研究三角函数的图象与性质,由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.再由正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.最后由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验,通过运用数形结合的思想方法和类比思想,对正切函数的图象与性质进行研究,并应用函数性质解决问题,是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅,因此注意对学生研究函数方法的启发,本节的学习有着极其重要的地位.发展学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养,培养概括理解能力、分析计算能力以及综合问题解决等学科能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.正弦函数、余弦函数的图象 2.正弦函数、余弦函数的性质 3.正切函数的性质及图象 直观想象 数学运算 数学抽象 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
本节的主要内容是三角函数的图象和性质,过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等,此前还学了锐角的三角函数和任意角的三角函数,在此基础上来学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,为今后正弦函数、余弦函数、正切函数的性质,以及为函数的图象和性质的研究打好基础,起到了承上启下的作用,但还需加深对函数周期性的理解和认识,因此,本节的学习有着极其重要的地位.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.正弦函数、余弦函数的图象
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
3.正弦函数、余弦函数的单调性和最值
4.正切函数的性质及图象
【教学目标设计】
1.理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法;掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线;理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
2.了解周期函数与最小正周期的意义;了解三角函数的周期性和奇偶性;会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);能利用性质解决一些简单问题.
3.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性;并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题;会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象.
【教学策略设计】
教学中要注重引导学生联系已学过的知识,以函数的一般概念为指导,借鉴指数函数、对数函数的研究经验,设计三角函数的研究路径,引导学生关注三角函数的特殊性,充分利用周期性简化研究过程,并在正切函数中有意设计“先研究性质,再作图象”的过程,使学生体验研究函数图象与性质方法的多样性.强调单位圆的作用,引导学生利用圆的几何性质(特别是对称性)发现和研究三角函数的性质等,提升学生的直观想象、数学运算、数学建模素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法;正弦函数、余弦函数的图象.
2.通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质.
3.正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性.
难点:
1.理解作余弦函数的图象的方法;理解正弦函数与余弦函数图象间的关系.
2.应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.
3.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
师:前面我们学习了正弦函数、余弦函数,是从图象到性质的认识,性质主要是周期性、奇偶性、单调性、最值这些内容,对于正切函数,我们可否变换一下研究角度 先研究性质,再从性质推出图象.下面所有同学分成三组,一组根据正切函数的诱导公式,研究分析其函数的周期性,一组根据诱导公式,研究分析其奇偶性,最后一组根据单位圆中正切线的变换,研究分析正切函数的单调性.
【先学后教】
通过对函数学习方法的回顾,提出研究正切函数图象与性质的方法,培养和发展数学运算、直观想象的核心素养.
【学生认真研读教材,积极交流分析】
师:下面先请前两位同学依次讲解一下,从刚才的分析交流中,获得了正切函数怎样的性质结论
生1:由诱导公式,所以正切函数是周期函数,其周期为.
生2:由诱导公式,所以正切函数是奇函数.
师:很好!所得结论是正确的,但是中间的过程,我们还必须注意到函数的定义域.因为,所以,即,为什么还要加呢 因为由第一组同学分析得到正切函数也是周期函数,所以正切函数的定义域应写为且,而这个的取值范围是关于原点对称的,所以才能由诱导公式,推导得出正切函数为奇函数的结论.
【活动学习】
在分组讨论中,学生根据所分配的学习任务,深度思考,积极交流实现活动中的合作学习.
【要点知识】
正切函数的周期性和奇偶性
1.周期性
由诱导公式,且,
可知,正切函数是周期函数,周期是.
2.奇偶性
由诱导公式
可知,正切函数是奇函数.
师:接下来,再研究一下正切函数的单调性,结合已知的周期性和奇偶性,所以为了方便,可以先分析区间内的单调性,结合单位圆中的正切线,请第三组同学,回答角的正切值在区间内随角度的变化如何变化
生在区间内,随的增大而增大.
师:很好,那我们可以将区间内的图象画一下.
【归纳总结】
正切函数的图象
师:在单位圆中,.当时,线段的长度就是相应角的正切值,随着的增大,线段的长度也在增大,当趋向于时,的长度趋向于无穷大,相应地,函数的图象从左向右呈不断上升趋势,且向右上方无限逼近直线.所以我们可以大致得到函数在区间上的图象.再结合以上三位同学的回答,我们现在可以把三个性质合并起来,画出正切函数在其定义域内的图象.
【推测解释能力】
能够根据所学知识,研究正切函数在区间内的图象,培养推测解释能力.
【要点知识】
正切函数的图象
正切函数且的图象,叫做正切曲线(tangent curve).
师:根据正切函数是奇函数,只要画的图象关于原点的对称图形,就可得到的图象;根据正切函数的周期性,只要把函数的图象向左、右平移,每次平移个单位,就可得到正切函数的图象,我们把它叫做正切曲线.由图象我们也可以总结出正弦函数图象的对称性.
【以学定教】
通过对正切函数性质的分析,归纳总结正切函数的图象,发展学生直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养.
【概括理解能力】
由正切函数的图象,验证正切函数的性质,数形结合,实现图象和性质的自由转换,培养概括理解能力.
【要点知识】
正切函数的对称性
正切函数是奇函数,图象关于原点对称,且有无穷多个对称中心,对称中心坐标是.
正切函数的图象无对称轴,但图象以直线为渐近线.
师:一定要注意正切函数的图象无对称轴,正切曲线是被与轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.正切函数的单调性也总结一下.
【以学论教】
通过对正切函数图象的研究,得出对称性,并且点明需要注意的地方,即正切函数无对称轴这一要点,发展学生直观想象、数学运算等核心素养.
【要点知识】
正切函数的单调性
观察正切曲线可知,正切函数在区间上单调递增.由正切函数的周期性可得,正切函数在每一个区间上都单调递增.
师:剩下的值域,是不是通过函数图象和单调性可以迎刃而解.最后总结一下正切函数的值域.
【要点知识】
正切函数的值域
当时,在内可取到任意实数值,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集.
师:好了,关于正切函数的性质和图象,我们就先研究到这里,今天的研究过程,大家可以体会到,研究一个函数,可以从图象推出性质,也可以由性质反画出图象,二者是相通的,所以今后同学们在学习和做题中,要把握住数形结合这一数学方法,理解图象和性质之间的对应关系.关于正切函数,我们来练习一道综合题目.
【典型例题】
正切函数的性质综合应用
例 求函数的定义域、周期及单调区间.
师:做函数相关问题时,一定要关注定义域,或者题目中明确的自变量的取值范围.本题中自变量的取值应满足:,也就是.函数的定义域是.
接下来计算函数周期,把原函数根据诱导公式进行代数变换,设,又,所以
即
因为
所以,函数的周期为2.
师:这是周期的计算方法,当然我们也可以借用之前在正弦函数、余弦函数的周期计算结论,正切函数且的周期是,而本题的系数是,所以,也就是本题中周期为2.
师:最后求正切函数的单调区间,结合之前的经验,怎样求 是不是换元代数变换,简单来写也就是:
由,解得.
因此,函数在区间上单调递增.
【以学定教】
学生在教师的引导下,思考总结题目要点,在具体问题情境中,加深对正切函数图象和性质的认识以及对数形结合思想的理解.
【整体学习】
通过一道综合题目,系统的将正切函数的图象和性质运用其中,培养整体认识,有助于形成系统完善的知识体系.
师:好了,同学们,由这一道综合题目,我们练习了正切函数性质相关问题,接下来,通过几道题目,综合巩固一下所学知识.
【巩固练习】
正切函数的性质与图象
1.借助函数的图象解不等式.
2.观察正切曲线,写出满足下列条件的值的范围:
(1).(2).(3).
3.求函数的定义域.
4.求下列函数的周期:
(1).(2).
5.不通过求值,比较下列各组中两个正切值的大小:
(1)与与.
【分析计算能力】
通过大量的题目练习,加深学生对正切函数的性质和图象的理解,以及对整体代换、换元法的掌握,培养分析计算能力.
师:同学们,我们本节课学习了哪些重要的内容 请大家思考、总结一下吧.
【学生思考、交流、师生共同总结,教师多媒体展示】
【课堂小结】
正切函数的性质与图象
1.知识清单
(1)正切函数图象的画法.
(2)正切函数的性质.
2.方法归纳:换元法.
3.常见误区:最小正周期,在定义域内不单调,对称中心为.
师:同学们,本节课我们主要学习了正切函数的性质与图象,现在正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质都学到了,性质主要从周期性、奇偶性、单调性以及值域、最值这几方面进行研究.同学们一定要注意对比学习,充分调动数形结合的数学方法,同时注意函数问题的定义域、参数取值范围等做题细节.
【设计意图】
通过学习正切函数的性质和图象,利用了先学后教、以学定教、以学论教的教学策略和整体学习、活动学习的学习策略、培养了学生的分析计算能力、推测解释能力、概括理解能力提升了学生的直观想象、数学运算、数学抽象核心素养.
教学评价
本节课主要学习内容是三角函数的图象和性质,学生关注了三角函数的特殊性,充分利用周期性简化研究过程,并在正切函数中体会了“先研究性质,再作图象”的过程,使学生体验了研究函数图象与性质方法的多样性.
应用所学知识,完成下面各题:
1.若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则_______.
解析:法一:由于函数的图象经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图象可知,为函数的周期,暂,解得.
法二:得.
由已知并结合正弦函数图象可知,,解得.当时,.
答案:
2.(2017全国卷III)设函数,则下列结论错误的是( )
A.的一个周期为
B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为
D.在单调递减
解析:A项,因为的周期为且,所以的一个周期为项正确.B项,因为图象的对称轴为直线,当时,直线是其对称轴,B项正确.C项,,将代入得到,所以是的一个零点,C项正确.D项,因为的递减区间为,递增区间为,所以是减区间,是增区间,D项错误.
答案:
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻练自己的学科能力(概括理解能力、分析计算能力、综合问题解决能力),从而达到数学运算、直观想象、数学抽象、逻辑推理素养目标要求.
教学反思
本节课内容分为4课时,主要学习内容是:正弦函数、余弦函数的图象和性质以及正切函数的图象和性质,本节教学内容注重与教科书的整体结构,体现内容之间的有机衔接,凸显内容和数学学科核心素养的融合,在教学过程中,教师注重引导学生,在不同的问题情境中,突出数学概念、启发学生独立思考,加强运算练习,必要的时候进行小组交流探讨,同时教师加强三角函数与相关知识的联系,提升学生的逻辑推理、数学抽象核心素养,注重发挥单位圆的作用,提升学生的直观想象核心素养,通过例题和习题的思考和练习,提升学生的数学运算核心素养.
【以学定教】
教师要让学生理解三角函数的图象和性质,并能在不同的具体情境中合理应用,可以利用三角函数的图象与性质综合解决一些问题.
【以学论教】
通过对正、余弦函数和正切函数的图象与性质的内容讲解,教师引导学生独立思考,加强练习,利用不同教学方法与策略,达到教学目标要求.
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