《正弦函数、余弦函数的图像》教学设计
教学设计
一、复习引入
1.弧度:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角.
2.正弦函数、余弦函数定义:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点.
点与原点的距离为,则比值叫做的正弦,记作,比值叫做的余弦,记作.
3.正弦线、余弦线:设任意角的终边与单位圆相交于点,过作轴的垂线,垂足为,则,
.
有向线段叫做角的正弦线,有向线段叫做角的余弦线.
师:提出问题让学生思考.
生:思考问题并回答.
二、画正弦函数、余弦函数的图象
1.如何比较精确地画出正弦函数的图象?
师:提出问题引导学生探究正弦线画正弦函数图象.
生:共同画出正弦函数图象.
用单位圆中的正弦线、余弦线画正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了画三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识.
函数的图象具体画法:
第一步:在直角坐标系的轴上任取一点,以为圆心作单位圆,从这个圆与轴的交点起把圆分成(这里)等份.把轴上从0到这一段分成(这里)等份(预备:取自变量值——弧度制下角与实数的对应).
第二步:在单位圆中画出对应于角0,,,,…的正弦线(等价于“列表”).把角的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与轴上相应的点重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).
第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数,的图象.
教师可以借助信息技术绘制出精确的正弦函数在一个周期内的图象,使学生获得更加深刻的感性认识.
根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为,就得到,的图象.
2.余弦函数的图象如何得到?
探究:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?
生:根据诱导公式,可以把正弦函数的图象向左平移单位长度即得余弦函数的图象.
生:正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
3.在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点?
师:用“五点法”画正弦函数和余弦函数的简图,关键点是哪几个?
生:正弦函数,的图象中,五个关键点是:,,,,;余弦函数,的图象中,五个关键点是:,,,,
师生:在精确度不太高时,常采用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图.
三、应用举例
例 画出下列函数的简图:
(1),;
(2),.
师:板演第(1)题,规范解题步骤,让学生观察图象,发现如何利用,的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到,的图象.
生:观察分析,回答.
小结:函数值加减,图象上下移动;自变量加减,图象左右移动.
第(2)题,学生自己完成.
让两名学生板演教材第200页练习第1题,教师根据板演情况进行评价.
教师指导学生完成教材第200页“思考”.
四、归纳小结
1.正弦曲线、余弦曲线的几何画法和五点法.
2.注意与诱导公式等知识的联系.
板书设计
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 一、复习引人 二、画正弦函数、余弦函数的图象 1.利用正弦线画正弦函数的图象 2.利用图象变换画余弦函数的图象 3.用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象 三、应用举例 例 四、归纳小结