等差数列与等比数列-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义（含答案）

【新高考二轮复习——重难点精选专题】
数列—等差数列与等比数列
专题综述
等差数列与等比数列作为两种特殊的数列，其定义、通项公式、性质、前项和公式是高考考查的热点问题.考查的方向大致分为：考查基本量的运算、考查数列的性质、考查通项公式、考查等差与等比数列的判定与证明、考查求前项和、与数学文化结合以及其它知识点的综合考查.在解题时，除了要掌握基本的知识点以外，还要学会利用方程思想理解等差等比数列，函数思想解决最值问题、分类讨论思想解决如等比数列的问题，转化思想将不特殊的数列转化为特殊的数列。
专题探究
探究1：等差数列、等比数列的判定与证明
等差数列与等比数列的判定与证明的方法上具有共性，解答题中需证明等差、等比数列时，要紧靠定义，尤其是等比数列，要证明出的同时，求出首项说明其不为0.
答题思路：
1.证明数列不为等差数列：举反例；
证明数列不为等比数列：举反例、或出现为0的项；
2.等差数列和等比数列的判定与证明
①根据数列的通项公式特征及前项和特征：（仅供解决选择、填空题，不能用于证明）
等差数列公差不为0：一次函数
没有常数项的二次函数
等比数列公比不为1：“指数型函数”
前的系数和常数项互为相反数
②定义法：
i）直接法：由递推公式直接变形出要证数列的相邻两项的差或比值
等差数列：
等比数列：且
ii）构造法：先求出数列的通项公式再证明数列为等差数列或等比数列.
③中项法：
等差数列：
等比数列：且
(2021浙江省丹州市模拟)已知数列满足：．
（1）问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；
（2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
【审题视点】
第（1）问，从题干条件初步判断，不是特殊数列，可通过举反例，说明不是等差或等比数列；第（2）问中证明数列为等差数列，用定义法证明.
【思维引导】
第（2）问，用定义法证明为常数，或者先求出数列的递推公式，求出数列的通项公式，在用定义法证明数列是等差数列.
【规范解析】
解：（1）由题意得 ，
，，
．
，数列不是等差数列．
又，数列也不是等比数列．
（2）方法一：直接法
由题意得 ，
数列是首项为，公差为的等差数列，
故
方法二：构造法
由题意得 ，
得，
又
数列是每项均为0的常数列，
，
，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
【探究总结】
直接法与间接法是证明等差、等比数列的常用方法，关键是要对题中的递推公式进行变形，如果能直接变形出数列相邻两项的差或比值关系，即为直接法证明；若利用递推公式求通项公式的方法先构造出特殊的数列，求出通项公式再证明其为等差（比）数列，即为构造法.若想证明数列不是特殊数列，举反例即可.
(2021山东省青岛市模拟)记为数列的前项和，
（1）求；
（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和
探究2：等差、等比数列的性质
对于等差、等比数列性质的考查，一方面是数列本身的性质以及前项和的性质；另一方面是将数列看作函数，考查函数的性质.另外，结合现实情景或者数学文化考查数列性质.
1.等差数列与等比数列的常用性质：
（1）已知:
等差数列：
等比数列：
（2）为数列的前项和：
等差数列：成等差数列
等比数列：当为奇数时，成等比数列；当为偶数且公比时，成等比数列
（3）为等差数列的前项和：，数列为等差数列，且公差为数列公差的一半；
2. 等差数列与等比数列的函数性质：
（1）等差数列：
①通项公式：当时，数列单调递增；当时，数列单调递减；
②前项和求最值：从二次函数的角度求最值，注意取正整数；或者从项的角度，当时，有最大值，当时，有最小值.
（2）等比数列：将等比数列的通项公式和前项和公式看作函数研究时，要研究的取值，再研究函数单调性等，难度较高.
(2021安徽省合肥市月考)（多选）已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（ ）
A. 为单调递增的等差数列
B.
C. 为单调递增的等比数列
D. 使得成立的的最大值为6
【审题视点】
综合考查等差等比数列的性质，选项之间环环相扣，关键是转化，得到，判断出的范围.
【思维引导】
由，求出、 的通项公式借助，判断使成立的的最大值.
【规范解析】
解： ，
故，
是等比数列，
，即，
选项：
又，
，故正确；
选项：是等比数列，
，即
是单调递减的等差数列，故错误；
选项：，
，即
，
即
数列是以为首项，
为公比的等比数列且单调递增，故正确；
选项：当时，
①当时，
②当时，
使得成立的的最大值为6，故正确；
故选
【探究总结】
典例2综合考查等比数列的性质与前项和的公式，是考查等差等比数列的常见类型.等比数相较于等差数列易错点较多，比如证明等比数列时要保证各项不为0，使用等比数列前项和的公式要注意公比是否为1，判断等比数列的单调性首项与公比都要考虑.
(2021湖南省衡阳市联考) 已知等差数列的前项和为，若，，，数列的前项和为，则（ ）
A. 数列的公差为1 B.
C. D.
探究3：等差、等比数列与其它知识的综合应用
等差、等比数列作为两种最基础的数列，两种数列可以结合考查：等差等比数列依托于指对结构相互转化、等差数列与等比数列乘除构造数列考查错位相减法等.这类问题要立足于两数列的概念，设出相应基本量，充分使用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.两数列与其他知识点综合考查，例如解决求最值问题，恒成立问题等，本质上是要把关于的式子看作函数研究，但要注意只能取正整数.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件,形成解题策略.
(2021湖南省株洲市) 已知数列满足，，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
恒成立问题，常规思路是分离参数，构造函数求最值.
【思维引导】
由递推公式求出的通项公式，带入恒成立的不等式，分离参数 ，求最值.
【规范解析】
解：，
，
，
又，
是首项为2，公差为1的等差数列，
，即
又恒成立，
即恒成立，
又，
当且仅当时取等号，
故选
【探究总结】
数列是一种的特殊的函数，与函数综合考查的题目较多.数列中常出现最值，恒成立，求参数取值范围等问题，解决这类问题，要先求出数列的基本量，显化函数关系，转化为函数问题解决，但还要回归数列本身，考虑只能取正整数.
(2021山东省青岛市联考)在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，记为，的前项和记为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的前项和为
C. D.
专题升华
等差、等比数列是两种基本数列，两数列本身涉及的知识点多且灵活，对于不特殊的数列要构造为等差、等比数列，因此对于两个数列的概念、通项公式、性质、前项和及衍生的结论，都要能够熟练应用，并且对运算的能力的要求较高，注意基本方法的积累.另外，等差、等比数列与函数、方程、不等式、三角函数、几何等知识点都可以结合考查. 如已知数列为等差数列，若，则,与三角求值结合考查，利用等差数列的性质转化后求值.最后，等差、等比数列与实际问题结合考查，从实际问题中剥离出等差、等比数列，再求其他量.
考查等差、等比数列的题目涵盖知识点多，综合性强，对化归与转化能力、运算求解能力要求较高，平时做题时多积累方法思路，考试时才能“熟能生巧”.
【答案详解】
变式训练1
【解析】 （1）解： ，①
②
②-①得，
即，
（2）方法一：直接法
由（1）得
得
又，
数列是以为首项，公比为的等比数列．
数列的前项和为
方法二：构造法
由，
得，
， ，即
数列是以为首项，以为公比的等比数列．
，
故
得
，
数列是以为首项，公比为的等比数列．
数列的前项和为
变式训练2
【解答】解：设等差数列的公差为，
选项：若，，
整理得：，解得，故错误；
选项：由于，，
，故正确；
选项：，故错误；
选项：当时，，
①当时，
①当时，，
，故正确．
故选：
变式训练3
【解答】解：从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，
，
选项：故为一个等比数列，，
，故错误；
选项：，
的前项和为，
故正确；
选项：去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为构成一个等差数列，项数之和为，的最大整数为，
杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在中去掉，取的是第12行中的第三项，，故正确；
选项：，这11行中共去掉了22个1，
，故正确.
故选
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