沪科版九年级上册22.1 比例线段 课件(共65张PPT)

(共65张PPT)
22.1 比例线段
第二十二章 相似形
逐点
学练
本节小结
作业提升
学习目标
本节要点
1
学习流程
2
相似的图形
相似多边形的定义与性质
成比例线段
比例的性质
黄金分割
平行线分线段成比例
知识点
相似的图形
感悟新知
1
1. 定义 我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形 .
特别解读
1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件 .
2. 两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 .
感悟新知
2. 两个关系
(1)相似的图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 .
(2)相似与全等的关系：全等图形（当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等图形）是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 .
感悟新知
例 1
下列图形不是相似图形的是( )
A. 同一底版打印出来的两张大小不同的照片
B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案
C. 某人的侧身照片和正面照片
D. 大小不同的两张同版本的中国地图
感悟新知
解： 用“排除法” . 选项 B 符合相似图形之间的关系；选项 A， D 也符合相似图形的定义，因此选项 A， B， D 都是相似图形 .
解题秘方：紧扣“相似图形的定义及相似图形之间的关系”解答 .
答案： C
感悟新知
特别提醒：
判断两个图形是否相似，只看其形状是否相同，而不考虑其他因素 . 对于选项 C，不要误认为是某人的照片就相似 .
感悟新知
知识点
相似多边形的定义与性质
2
1. 定义 相似多边形的定义 一般地，两个边数相同的多边形 , 如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形 .
要点提醒
判定相似多边形的条件：
1. 边数相同；2. 所有的角分别对应相等；
3. 所有对应边长度的比相等 .
感悟新知
2.相似比的定义 相似多边形对应边长度的比叫做
相似比或相似系数 .
3. 相似多边形的性质 相似多边形对应边长度的比相等，对应角相等 .
特别解读：
(1)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关 .
(2)相似多边形的定义可用来判断两个多边形是否相似 .
(3)相似多边形的性质常用来求相似多边形未知的边或角 .
感悟新知
例2
如图 22.1－1，有一块长 3 m，宽 1.5 m 的矩形黑板
ABCD，镶在其外围的木质边框宽 7.5 cm . 边框的内边缘所成的矩形 ABCD 与边框的外边缘所成的矩形 EFGH 相似吗？为什么？
解题秘方：紧扣“相似多边形的定义”进行判断 .
感悟新知
图解
两 个 矩 形 的 边长示意图如图 22.1-2所示 .
感悟新知
解：不相似 . 理由：
∵在矩形 ABCD 中，
AB=1.5 m， AD=3 m，
镶在其外围的木质边框宽
7.5 cm=0.075 m，
∴ EF=1.5+2×0.075=1.65(m)，
EH=3+2× 0.075=3.15(m) .
特别警示
判断两个多边形是不是相似多边形，不仅要看它们的对应角是否相等，还要看它们的对应边长度的比是否相等；仅靠眼睛去看容易出错，误认为这两个矩形相似.
感悟新知

感悟新知
例 3
如图 22.1－3，四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'是相似的图形，点 A 与点 A'，点 B 与点 B'，点 C 与点 C'，点 D 与点 D'分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边 x， y 的长度和角α， β 的大小．
解题秘方：紧扣“相似多边形的性质及相似比的定义” 进行计算.
感悟新知
解法提醒
利用相似多边形的性质求边长或角度，找准对应边和对应角是解决问题的关键 . 然后运用相似多边形的性质“对应边长度的比相等，对应角相等”计算即可 .
感悟新知

感悟新知
知识点
成比例线段
3

感悟新知

感悟新知
3. 比例中项 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a， b， c 之间有 a ∶ b=b ∶ c，那么线段 b 叫做线段 a， c 的比例中项 .
感悟新知
特别提醒
判断四条线段是否成比例，首先统一单位，然 后 将 这 四 条 线 段 按长度的大小顺序排列，最后计算前两条线段长度的比值和后两条线段长度的比值，看是否相等 . 若相等，则这四条线段是成比例线段 .
感悟新知
例4
[ 月考·合肥 ] 在比例尺为 1 ∶ 1 000 000 的地图上，
相距 3 cm 的两地，它们的实际距离为( )
A． 3 km B． 30 km
C． 300 km D． 3 000 km
解题秘方：根据“图上距离∶实际距离 =1 ∶ 1 000 000” 列式计算，在计算时，要注意单位的统一，把 cm 换算成 km．
感悟新知

感悟新知
解：设实际距离为 x cm，则 3 ∶ x=1 ∶ 1 000 000，解得x=3 000 000，3 000 000 cm=30 km．
答案： B
感悟新知
例 5
下 列 各 组 不 同 长 度 的 线 段 中 , 是 成 比 例
线 段 的是( )
3 cm，6 cm， 7 cm，9 cm
B. 2 cm， 5 cm ， 0.6 dm，8 cm
C. 3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cm
D. 1 cm，2 cm， 3 cm，4 cm
解题秘方：紧扣“成比例线段的定义”进行判断.
感悟新知
解题通法
判断四条线段是不是成比例线段的方法：
先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后用下面两种方法判断.
方法1：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；
方法2：判断最长的线段与最短的线段长度的乘积是否与另外两条线段长度的乘积相等.
若相等，则这四条线段是成比例线段；
若不相等，则这四条线段不是成比例线段.
感悟新知

感悟新知

答案： C
感悟新知
知识点
比例的性质
4

感悟新知

感悟新知


感悟新知

感悟新知

感悟新知

感悟新知
例6

解题秘方：紧扣“比例的性质”进行判断 .
感悟新知
解： 分析如下表所示 .
选项 分析 判断
A 由 =得 =，与 =即 =不同 错误
B 由=得 4a=3b，与 3a=4b 不同 错误
感悟新知
C 由 4a+3b=0 得 4a=－3b，与=即 4a=3b 不同 错误
D 由 = 得 4( a－3) =3( b－4)，即 4a=3b，与 = 即4a=3b 相同 正确
答案： D
感悟新知
特别提醒
比例的基本性质、合比性质、等比性质是判断比例变形是否正确的重要依据 .
感悟新知
例 7
已知 = = ≠ 0，求 的值 .
解题秘方：紧扣“比例的性质”用消元法或参数法求解 .
感悟新知
教你一招
利用比例的性质求代数式的值的方法：
1. 消元法，即用含有一个字母的代数式表示其他的字母，然后代入代数式求值；
2. 参数法，即当条件中出现多个比值相等时，根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应的字母，再代入代数式求值．
感悟新知
解法一： 由 = ，得 b= ；
由 = ，得 c= . 原式 = == .
解法二： 设 = = =k ( k ≠ 0 ) ，则 a=3k， b=4k， c=5k.
原式 = = .
感悟新知
知识点
黄金分割
5
黄金分割 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 叫做黄金数 . 一条线段的黄金分割点有两个 .
感悟新知
要点精析：
(1)一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 =, 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金分割比 .
(2)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用.
感悟新知
[ 模拟·宿迁 ] 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”． 如 图 22.1－4， P 为 AB 的 黄 金 分 割 点(AP ＞ BP)，如果 AB 的长度为 10 cm，那么 BP 的长度为( )
A. (5+ ) cm B. (10－ ) cm
C. (5 －5) cm D. (15－) cm
例8
感悟新知
解法提醒
一条线段的黄金分割 点 将 线 段 分 成 两 部分，其中较长线段的长度 是 整 条 线 段 长 度 的，而较短线段的长度则是整条线段长度的，即 .
解题秘方：紧扣“黄金分割的概念”进行计算．
感悟新知
解： ∵ P 为 AB 的黄金分割点( AP ＞ BP)， AB=10 cm，
∴ AP= AB= ×10=(5 － 5) ( cm) .
∴ BP=AB － AP=10 －(5 －5) =(15 －5 ) ( cm) .
答案： D
感悟新知
例 9
[ 模拟·苏州 ] 如图 22.1－5，线段 AB=1，点 P1 是线段AB 的黄金分割点(且 AP1 ＜ BP1，即 P1B2=AP1· AB)，点 P2是线段 AP1 的黄金分割点(AP2 ＜ P1P2)，点 P3 是线段 AP2的黄金分割点( AP3 ＜ P2P3)，…，以此类推，则线段 AP2 022的长度是(　　)
感悟新知
A. 2 022
B. 2 022
C. 2 022
D. ( － 2) 1 011
感悟新知
解题秘方：根据黄金分割的概念理清较长线段与较短线
段的关系，再寻找每一次分割的规律进行计算 .
易错警示
一条线段有两个黄金分割点，在实际问题中应明确哪条是较长线段，哪条是较短线段 .
感悟新知
解：根据 AB=1 及黄金分割比的比值，得 BP1=
则 AP1=1 － = ， AP2= 2，
AP3= 3，…
感悟新知
以此类推，线段 AP2 022 的长度是2 022 ．
答案： A
感悟新知
知识点
平行线分线段成比例
6
1. 平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 .
感悟新知
数学表达式： 如图 22.1－6 所示，
∵ l1 ∥ l2 ∥ l3，
∴ = ， =， = .
可简记为： = ，=，=.
感悟新知
2. 平行线分线段成比例的基本事实的推论 平行于三
角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例 .
特别提醒
1. 本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中有一条过三角形的一个顶点，有一条为三角形一边所在直线的特殊情况 .
感悟新知
2. 成比例线段不涉及平行线上的线段 .
3. 当被截的两条直线相交时，其交点处可看作含一条隐形的平行线（如图 22.1－7）.
感悟新知
数学表达式： 如图 22.1－7 所示，若 DE ∥ BC，则有
=或 = 或 = .
感悟新知
如图 22.1－8，已知 AB ∥ CD ∥ EF， AF 交 BE 于点 H. 下列结论中 , 错误的是( )
BHHC =AHHD
B. AD DF = BC CE
C. HCHE =HDDF
D. DF AF = CE BE
例10
感悟新知
特别提醒
遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：
一是位置角之间的关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）；
二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例 .
解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实及其推
论，从图形中找出成比例线段进行判断 .
感悟新知
解∵ AB ∥ CD ∥ EF，
∴ =， =， = .
故选项 A， B， D 正确 .
∵ CD ∥ EF，∴ =，故选项 C 错误 .
答案： C
感悟新知
例 11
[ 中考·凉山州 ] 如 图 22.1-9， 在 △ ABC 中， 点 D在 AC 边 上， AD ∶ DC=1 ∶ 2， 点 O 是 BD的中点，连接 AO 并延长交 BC 于点 E，则BE ∶ EC=(　　)
A. 1 ∶ 2 B. 1 ∶ 3
C. 1 ∶ 4 D. 2 ∶ 3
感悟新知
解题秘方：紧扣“平行线分线段成比例的基本事实及其推论”求出线段的比值，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出线段的比值，从而解决问题．
感悟新知
技巧点拨
如图 22.1－11，过点D 作 DF ∥ AE 交 BC 于点 F．
∵点O为BD中点，∴ OB=OD.
∴ BE=EF，=12.
又∵ AD：DC=1：2，
∴ EF：FC=1：2.
∴ BE：EC=1：3．
感悟新知
解：如图 22.1－10，过点 O 作 OG ∥ BC，交 AC 于点 G.
∵点 O 是 BD 的中点，且 OG ∥ BC，
∴点 G 是 DC 的中点．
又∵ AD ∶ DC=1 ∶ 2，∴ AD=DG=GC.
∴ AG ∶ GC=2 ∶ 1. 又∵ OG ∥ BC，∴ AO ∶ OE=2 ∶ 1.
∴ S △ AOB ∶ S △ BOE =2 ∶ 1.
感悟新知
设 S △ BOE =S，则 S △ AOB=2S，又∵ BO=OD，
∴ S △ AOD =S △ AOB=2S. ∴ S △ ABD=4S.
∵ AD ∶ DC=1 ∶ 2，∴ S △ BDC =2S △ ABD =8S.
∴ S 四边形 CDOE=S △ BDC－S △ BOE =7S.
∴ S △ AEC=9S， S △ ABE=3S.
∴ == =.
答案： B
本节小结
比例线段
相似的图形
相似多边形
相似多边
形的性质
平行线
分线段
成比例
黄金分割
成比例线段
比例的性质
特例
请完成教材课后习题
作业提升