双曲线测试(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的左右焦点分别为,,点在双曲线上,若,则( )
A. B. C.或 D.
2.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是
A.(–1,3) B.(–1,) C.(0,3) D.(0,)
3.已知F是双曲线C:的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则的面积为
A. B. C. D.
4.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.-y2=1 B.-y2=1 C.-y2=1 D.x2-=1
5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在( )
A.一个椭圆上 B.一个圆上
C.双曲线上 D.双曲线的一支上
6.在平面直角坐标系xOy中,若点P(,0)到双曲线C:的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.4 C. D.
7.已知双曲线与椭圆的焦点相同,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
8.点M为双曲线上任意一点,点O是坐标原点,则的最小值是( )
A.1 B. C.2 D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。
9.已知双曲线的右焦点为,点A坐标为,点P双曲线左支上的动点,且的周长不小于14,则双曲线C的离心率可能为( )
A. B.2 C. D.3
10.已知双曲线过点,则下列结论正确的是( )
A.C的焦距为4 B.C的离心率为
C.C的渐近线方程为 D.直线与C有两个公共点
11. 双曲线的左、右焦点分别为,点为的左支上任意一点,直线是双曲线的一条渐近线,,垂足为.当的最小值为3时,的中点在双曲线上,则( )
A.的方程为 B.的离心率为
C.的渐近线方程为 D.的方程为
12.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为( )
A.-y2=1 B.=1 C.=1 D.=1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中横线上。
13.中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为________.
14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为2,则该双曲线的方程为__________.
15.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB,则|AB|=________.
16.已知双曲线中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于,两点,中点横坐标为,则此双曲线的方程是______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
18.(本小题满分12分)
已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.
19.(本小题满分12分)
若动圆P经过定点A(3,0),且与定圆B:(x+3)2+y2=16外切,试求动圆圆心P的轨迹.
20.(本小题满分12分)
已知直线l:x+y=1与双曲线C:-y2=1(a>0).
(1)若a=,求l与C相交所得的弦长;
(2)若l与C有两个不同的交点,求双曲线C的离心率e的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知双曲线,经过点能否作一条直线,使直线与双曲线交于、,且是线段的中点,若存在这样的直线,求出它的方程;若不存在,说明理由.
22.(本小题满分12分)
已知双曲线(,)的焦距为,且双曲线右支上一动点到两条渐近线,的距离之积为.
(1)求双曲线的方程;
(2)设直线是曲线在点处的切线,且分别交两条渐近线,于、两点,为坐标原点,证明:面积为定值,并求出该定值.
参考答案
1【解析】
双曲线的,
点在双曲线的右支上,可得,
点在双曲线的左支上,可得,
由可得在双曲线的左支上,可得,即有. 故选:B.
2【解析】
由题意知:双曲线的焦点在轴上,所以,解得,因为方程表示双曲线,所以,解得,所以的取值范围是,故选A.
3【解析】
由得,所以,将代入,得,所以,又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为,选D.
4【解析】
由题意得,双曲线焦点在x轴上,且c=,设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
5【解析】
由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.
6【解析】
双曲线C:的一条渐近线为,则,解得,.故选:A.
7【解析】
椭圆的焦点坐标为,,所以,解得,所以双曲线方程为,离心率,故选:A.
8【解析】
设M(x,y),∵ 点M为双曲线上,∴=故选B.
,当,,三点共线时,取最小值,所以,即,因为,可得.故选:.
9【解析】
由右焦点为,点的坐标为,,
的周长不小于14,即周长的最小值不小于14,可得的最小值不小于 9又为双曲线的左焦点,可得,
10【解析】
由双曲线过点,可得,则双曲线的标准方程为:;所以,因为椭圆C的焦距为,所以选项A正确;因为椭圆C的离心率为,所以选项B不正确;因为椭圆C的渐近线方程为,所以选项C正确;将直线与双曲线联立消可得:,,所以直线与双曲线C没有公共点,所以选项D不正确;故选:AC.
11【解析】
因为,所以
因为焦点到渐近线的距离为,所以的最小值为,所以 不妨设直线为,因为,所以点,,的中点为.将其代入双曲线的方程,得,即,解得 又因为,所以,故双曲线的方程为,离心率为,渐近线方程为,故选:BCD
12【解析】
依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知ABD均可能.
故选ABD
13解析
∵=,∴==,∴=,∴=,∴=.又∵双曲线的焦点在y轴上,设双曲线方程-=1(a>0,b>0),∴双曲线的渐近线方程为y=±x,∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
14解析
由题意得解得
则该双曲线的方程为x2-=1.
15解析 易得双曲线的左焦点F1(-2,0),∴直线AB的方程为y=(x+2),与双曲线方程联立,得8x2-4x-13=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,∴|AB|=·
=×=3.
16解析
设点、,由题意可得,,,直线的斜率为,
则,两式相减得,所以,由于双曲线的一个焦点为,则,,,因此,该双曲线的标准方程为.故答案为:.
17解
将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1,即-=1,
所以a=3,b=2,c=.因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),
焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e==,渐近线方程为y=±x=±x.
18解
已知双曲线-=1,则c2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).依题意知b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为-=1.∵点P在所求双曲线上,
∴-=1,化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=.当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,不合题意,舍去,∴a2=1,b2=24,∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.
19解
设动圆圆心P(x,y),半径为r.则依题意有|PA|=r,|PB|=r+4,
故|PB|-|PA|=4.即动圆圆心P到两个定点B(-3,0),A(3,0)的距离之差等于常数4,且4<|AB|,因此根据双曲线定义,点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支.设其方程为-=1(a>0,b>0),则c=3,2a=4,b2=5,所以动圆圆心P的轨迹方程为-=1(x≥2).
所以动圆圆心P的轨迹是双曲线-=1的右支.
20解
(1)当a=时,双曲线C的方程为4x2-y2=1,联立消去y,得3x2+2x-2=0.设两交点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=-,则|AB|=
==·=×=.
(2)将y=-x+1代入双曲线-y2=1,得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,
∴解得0
且e≠.
即离心率e的取值范围是∪(,+∞).
21解:
设过点的直线方程为或
(1)当存在时有得 (1)
当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有
△,又方程(1)的两个不同的根是两交点、的横坐标又为线段的中点
即,使但使△因此当时,方程(1)无实数解故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在.
(2)当时,直线经过点但不满足条件,
综上,符合条件的直线不存在
22解:
(1)双曲线(,)的渐近线方程为和,由动点到两条渐近线,的距离之积为,则,又,即,解得,,则双曲线的方程为.
(2)证明:设直线的方程为,与双曲线的方程联立,可得,直线与双曲线的右支相切,可得,可得,
设直线与轴交于,则,
,
又双曲线的渐近线方程为,
联立,可得,
同理可得,
则.
即有面积为定值2.