4.3对数 同步训练（含解析）

4.3对数同步训练
一、选择题（共10题，第10题为多选）
计算：
A． B． C． D．
计算：
A． B． C． D．
若 ， 是方程 的两个根，则 的值等于
A． B． C． D．
已知 ， 是方程 的两个根，则 的值是
A． B． C． D．
设 ，， 为正数，且 ，则
A． B． C． D．
若 ，，则
A． B． C． D．
计算
A． B． C． D．
已知 ，，则 的值为
A． B． C． D．
地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为 ．已知两次地震里氏震级分别为 级和 级，若它们释放的能量分别为 和 ，则 的值所在的区间为
A． B． C． D．
（多选）设 ，， 都是正数，且 ，那么
A． B． C． D．
二、填空题（共5题）
若 ，则 ．
已知 ．若 ，，则 ， ．
已知函数 ，则 ．
若 ，，，则 ．
年 月，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国 岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于给定数值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字 的素数个数大约可以表示为 的结论．若根据欧拉得出的结论，估计 以内的素数个数为 （素数即质数，，计算结果取整数）
三、解答题（共5题）
解答下列问题．
(1) 计算：；(2) 设 ，求 的值．
请回答下列问题：
(1) 已知 ，，用 ， 表示 ；
(2) 解方程：．
若 ， 是方程 的两个实数根，求 的值．
已知函数 ．
(1) 判断 的奇偶性；(2) 若 ，，求 ， 的值．
计算：
(1) ．(2) ．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】D
【解析】 ．
2. 【答案】D
【解析】 ．
3. 【答案】A
【解析】由根与系数的关系，
得 ，，
所以
4. 【答案】B
【解析】因为 ， 是方程 的两个根，，
所以结合根与系数的关系得 ，，
所以
5. 【答案】D
【解析】解法一（特值法）：
令 ，则由已知条件可得 ，，
所以 ，，
从而 ，，
则 ．
解法二（数形结合法）：
由 ，可设 ，
因为 ，， 为正数，
所以 ，
因为 ，，
所以 ；
因为 ，，
所以 ，
所以 ．
分别作出 ，， 的图象及直线 ，如图，
则 ．
解法三（作商法）：
由 ，同时取自然对数，得 ．
由 ，可得 ；
由 ，可得 ，
所以 ．
6. 【答案】D
【解析】 ．
7. 【答案】C
【解析】 ．
故选C．
8. 【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ．
9. 【答案】B
10. 【答案】A；D
【解析】由题意，设 ，则 ，，，
对于选项A，由 ，可得 ，因为 ，故A正确，B错误；
对于选项C，，，故 ，故C错误；
对于选项D，，，故 ，即D正确．
二、填空题（共5题）
11. 【答案】
【解析】解法一：，取以 为底的对数，得 ，
所以 ，，即 ，
故 ．
解法二：因为 ，
所以 ，，
所以 ．
12. 【答案】 ；
【解析】令 ，因为 ，所以 ，
由 得 ，
解得 或 （舍去），即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，即 ，
解得 ，所以 ．
13. 【答案】
14. 【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
同理 ，．
所以 ．
15. 【答案】
【解析】由题可知小于数字 的素数个数大约可以表示为 ，则 以内的素数的个数为
三、解答题（共5题）
16. 【答案】
(1)
(2) 依题意得 ，，
所以 ．
17. 【答案】
(1) 因为 ，
所以 ，
所以
(2) ，
移项并整理得
，
所以 ，
解得 或 ，经检验 为所求．
18. 【答案】原方程可变形为 ，
因为 ， 是方程 的两个实数根，
所以 ，，
所以
19. 【答案】
(1) 的定义域为 ，，
故 是奇函数．
(2) 由 ，得 ．
又 ，即 ．
由 解得
20. 【答案】
(1) ．
(2)