第一讲 集合及其关系 讲义（含答案）

第一讲---集合及其关系
知识背景
集合论的创始人——康托尔（1845-1918），德国数学家，生于俄国圣彼得堡（今苏联列宁格勒）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家，1856年全家迁居德国的法兰克福。1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。康托尔从提出集合论至今已有一百多年，数学家们评价：它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。
集合是高中数学的第一个知识点，学校教学时间通常为一个月。集合概念抽象，符号术语多，研究方法跟学习初中数学时有着明显的差异，是学习高中数学的第一个“拦路虎”。集合符号语言是数学中的独特语言，学好集合这一节内容可促使学生从形象思维向抽象思维的转化。集合是一种数学语言，是对数学的进一步抽象，它将贯穿在整个高中数学内容中，甚至在今后的数学学习中，将集合的概念和理论渗透到数学的各类分支中，会有利于提高学生的数学素养。
知识要点
集合的概念
一、集合的概念
（1）集合：能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。
（2）元素：集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
例1、下列对象的全体，哪些可以构成集合？为什么？
(1)我们班级中的高个子同学； (2)我们班级中的身高接近170cm的同学；
(3)我们班级中的身高超过170cm的同学； （4）著名的足球运动员；
（5）绝对值最小的实数； (6)二次函数图像上的点的坐标。
解：（1）不能，不确定；（2）不能，不确定；（3）能，可确定；
（4）不能，不能确定；（5）能，；（6）能，。
二、元素与集合的关系
（1）属于：如果是集合的元素，就说属于，记作；
（2）不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作。
例2、用符号“”、“”填空：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） 。
解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
三、集合中元素的三个特性
（1）确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的；
（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的；
（3）无序性：对于一个给定的集合，集合中的元素的排列，没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。
四、集合的分类
（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集。
（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集。
空集：不含任何元素的集合，记作，如：。
五、特殊集合的符号
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作：；
（2）正整数集：非负整数集内排除的集，记作：；
（3）整数集：全体整数的集合，记作：；
（4）有理数集：全体有理数的集合，记作：；
（5）实数集：全体实数的集合，记作：。
六、集合的表示法
（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。
（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，这种表示集合的方法叫做描述法。
表示： ；含义：在集合中满足条件的的集合。
例如：所有直角三角形的集合可以表示为：
注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如：{直角三角形}；{大于 的实数}；
（2）错误表示法：{实数集}、{全体实数}等。
例3、用列举法或描述法表示下列集合：
(1)方程的解集；（2）直线上的所有点的坐标组成的集合；
（3）使函数有意义的的值组成的集合；（4）方程组的解组成的集合；
（5）由的所有可能的取值所组成的集合（其中）。
解：（1）或； （2）；
（3）或； （4）； （5）。
例4、对于集合,若满足:当时,则且,我们称集合为“完美”集.问:
(1)自然数集是否是“完美”集 为什么 (2)无理数集是否是“完美”集 为什么
(3)由形如:的数形成的集合是否是“完美”集 说明理由.
解：（1）是；（2）不是，如：。
（3）是。。
例5、已知集合，分别求下列条件下实数的取值范围：
(1)；(2)中只有一个元素；(3)中有两不同的元素且都为正数。
解：（1）；
（2）；
（3）。
集合之间的关系
1、子集：对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都属于集合，那么集合就叫做集合的子集，记作：，读作：“包含于，或包含”。
注：（1）；
（2）有两种可能：①是的一部分；②与是同一集合。
性质：（1）空集是任何集合的子集，即：；
（2）任何一个集合都是它本身的子集，即：；
（3）若，且，则。
2、集合相等：对于两个集合与，如果且，那么叫做我们就说集合与集合相等，记作：，读作“集合等于集合”。
3、真子集：对于两个集合A与B，如果，并且中至少有一个元素不属于，那么集合 叫做集合的真子集，记作：或，读：“真包含于”或“真包含”。
性质：（1）空集是任何非空集合的真子集，；即：若，则；
（2）若，则；
（3）若，且，则。
例1、已知集合,写出集合的所有子集.
解：，，，，，，，。
例2、用适当的符号填空：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） 。
解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
例3、判断下列每组两个集合的关系：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），。
解：（1）；（2）；（3）；（4）。
例4、已知集合,判断并说明集合之间的关系.
解：任取，则，则，则。
存在，，所以。
例5、已知，，且，求实数的值。
解：，（1）；（2）；（3）。所以。
例6、填空：
集合有 个子集，有 个真子集；
集合有 个子集，有 个真子集；
集合有 个子集，有 个真子集；
集合有 个子集，有 个真子集。
例7、（1），求集合的个数；
（2），求集合的个数；
（3），求集合的个数。
解：（1）；（2）；（3）。
重要结论：
1、含个元素的集合的子集数为；非空子集数为；真子集数为；非空真子集数为。
2、设，则满足条件的的个数是：；
设，则满足条件的的个数是：；
设，则满足条件的的个数是：；
设，则满足条件的的个数是：。
例8、已知集合，求集合的所有非空子集元素和的和。
解：含有元素1的子集有个，所以1在总和中出现次，同理其他元素各出现次。
所以所求和的和为
思考：推广结论是什么？
课堂精练
1、用适当的符号填空：（，）
已知集合，，则
用列举法表示集合 。
2、从自然数这个数中任取两个相加,得到的和作为集合的元素,则的非空真子集共有
个.
3、已知集合，，若，则的值是 。
4、已知集合，对它的非空子集，将中每个元素，都乘以，再求和，如，可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和是 。16
5、设是一个数集,且至少含有两个数,若对任意,都有 (除数,则称是一个数域.例如有理数集是数域；数集也是数域.有下列命题:①整数集是数域；②若有理数集,则数集必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是　　　　.(把你认为正确的命题的序号填填上) ③④
6、已知集合，，,则集合之间的关系是 。
7、设的子集为，则N的子集中包含元素1和10的集合有（ ）个 C
A、10 B、64 C、128 D、256
8、设集合，，，若，
，则（ ）D
A、 B、 C、 D、以上答案都不对
9、设集合,,且.若,求实数的值.
解：，（1）；（2）；（3）
10、设集合是由一些自然数组成的非空集合,且具有性质:“若,则”回答下列问题:
(1)试写出只有一个元素的集合；(2)写出所有只有两个元素的集合；
(3)集合最多能有几个元素？写出满足性质且元素最多时的集合；（4）这样的集合共有多少个？
解：（1）；
（2），，，，，，，；
（3）17个，；
（4）把0与16，1与15，2与14，。。。，8各自看作一个元素，则集合是九个元素的集合的非空子集，共有个。
11、设函数,集合,.
(1)证明:；(2)当时,求集合；（3）若是只含有一个元素的集合，证明。
解：（1）证明：任取，则，则。
（2）的两根为-1，3
代入化简得：， 所以。
（3）设集合，则方程有重根，，代入中：
，则.
12、已知非空集合的元素全为实数，且满足：若，则.
①若，求所含元素个数最少的集合；
②是不是集合中的元素？请写出一个不同于①中的集合；
③根据①②，能归纳出有关集合的什么结论？请说明理由.
解：①由，则，又由，得，再由，得，而，得，故．
②不是中的元素．若，则，而，故不是中的元素．
取，可得．
③(ⅰ)中没有元素；(ⅱ)中元素个数为个，且每两个互为负倒数．
证：(ⅰ)由②知：．若，则，矛盾.故.
(ⅱ)设，则，
而，∴、、、必同在集合中.若，则，无实数解，∴，同理可得：、、、两两不等.且.故中元素个数为个，且每两个互为负倒数．
课后精练
1、A是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合，
证明：(1)任意奇数都是A的元素；(2)偶数4k－2(kZ)不属于A．
证明：设A={x|x=a2－b2，a、bZ}，
（1）设任意奇数x=2k+1,kZ，则x=k2+2k+1－k2=(k+1)2－k2A；
（2）（反证法）假设任意偶数x=4k－2,kZ属于A，则设x=a2－b2，a、bZ，
于是有2(2k－1)=(a+b)(a－b)，…①
在上述①式中，等号右边的a +b与a－b同奇同偶，则x或为奇数，或为4的整数倍；而等号左边是2与一个奇数的积，则x不能被4整除，由此产生矛盾．
所以假设不成立，原结论成立．
2、（美国第七届竞赛题）设为集合具有下列性质的子集，中任意两不同元素之和不能被整除，那么中元素最多可能有多少个？
解：把集合划分成个子集，其中中的每个元素除以的余数是
，即，，
，，，
，。
则最多含的一个元素，的八个元素，中两组余数之和不为的十四个元素，所以元素最多是个。
3、从正整数集中，随意选出51个数来。证明：一定可以从中选出2个数，他们中的一个是另一个的整数倍。
证明：把1到100的全部整数分成下面的50个集合：
，
，
，
，...，
，， ...，。
显然必有2个数来自同一集合，其中一个是另一个的倍数。