2022年秋季湘教版数学九年级期中复习检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
3．（2022·东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
4．（2022·巴中）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
7．（2022·宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·仙桃）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
9．（2022·衡阳）如图，在四边形 中， ， ， ， 平分 .设 ， ，则 关于 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·巴中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
12．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
13．（2022·沈阳）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．，，当点H为GN三等分点时，MD的长为 ．
14．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
15．（2022·丹东）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k= ．
16．（2022·东营）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022九上·清水月考）用配方法求的最大值，并求此时x的值．
18．（2021九上·罗山月考）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.
解方程：
提示：可以用“换元法”解方程.
解；设，则有.
原方程可化为：
续解：
19．（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的解析式及的值；
（2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
20．（2022·上海市）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE =AQ·AB求证：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
21．（2021·荆门）已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根.
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由.
22．（2021·巴中）如图，双曲线y 与直线y＝kx+b交于点A(﹣8，1)、B(2，﹣4)，与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E(1，0)，连接AE、BE.
（1）求m，k，b的值；
（2）求 ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y 有唯一交点，求n的值.
23．（2021·烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
24．（2022·徐州）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
（1）点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
25．（2022·济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】反比例函数y=（k≠0）中，当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限；一次函数y=ax+b（a≠0）中，当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，据此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：
∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，易证△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质可得=2，根据同高三角形的面积之比等于底之比得S阴影=S△ABC，然后结合三角形的面积公式进行计算.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得x2-x-k=0，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得k的范围.
5．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出△ABO≌△BCE，最后求解即可。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，得．
故答案为：A．
【分析】此题的等量关系为：92号汽油价格三月底的单价×（1+增长率）2=五月底的单价，列方程即可.
8．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴
∵是方程的两个实数根，
∵，
又
∴
把代入整理得，
解得，
故答案为：A.
【分析】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m的范围，根据根与系数的关系可得x1+x2=2m，x1x2=m2-4m-1，然后结合已知条件可得m的值.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，则 ，即 为等腰三角形，
过 点做 于点 .
则 垂直平分 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
故 关于 的函数图象是D.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可证得∠ACD=∠CAD，利用等角对等边可证得CD=AD=y，过点D作DE⊥AC于点E，由等腰三角形的性质，可推出DE垂直平分AC，可求出AE的长；再证明是△ABC∽△AED，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于x，y的方程，然后将方程转化为函数解析式，可知此函数是反比例函数且x＜6，观察各选项中的图象，可得到符合题意的选项.
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝a，
∴AB＝AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝a，
∴OF＝DF＝a，
∴DF＝×a＝a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=a，
∴GE=DF，
∴③符合题意；
∵2OF＝2×a＝2a，
∴OC=2OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝a，从而得AB＝AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝a，从而得OF＝DF＝a，进而求得GE=DF；又2OF＝2×a＝2a，从而可得∴OC=2OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
11．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案为：-4.
【分析】根据方程解的概念可得α2-α+k-1=0，根据根与系数的关系可得α+β=1，根据α2-2α-β=α2 -α-(α+β)=4可得k的值.
12．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
13．【答案】或4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
∴∠DMN=∠GNM，
由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，
∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，
∴GM=GN，
又∠GHE=∠NHE，
∴，
∴，
∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：
①若时，则有：
∴EH=，GF=2NE=4，
由勾股定理得，，
∴GH=2NH=
∴GM=GN=GH+NH=，
∴MD=MF=GM-GF=；
②若时，则有：
∴EH=，GF=NE=1，
由勾股定理得，，
∴GH=NH=
∴GM=GN=GH+NH=5；
∴MD=MF=GM-GF=
综上，MD的值为或4．
【分析】先求出，再分类讨论计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。
15．【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD=|k|，S△BOD==，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=|k|+，
∴S平行四边形OABC=2S△AOB=|k|+3，
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=-4，
故答案为：-4．
【分析】先求出S△AOD=|k|，S△BOD==，再求出|k|=4，最后计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明可得，再将数据代入可得，求出，即可得到。
17．【答案】解：
=
=
=
∵，
∴，
∴当x=﹣1时，的最大值为4．
【知识点】偶次幂的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】先将二次项和一次项提公因式得到-3（x2+2x）+1，括号里加上一次项系数一半的平方1，凑成完全平方式，为了不改变式子大小，括号里再减去1，整理得到-3（x+1）2+4，根据偶次幂的性质（任何一个数的偶次幂都是非负数）可知 ，即可知道 的最大值为4，此时x=-1.
18．【答案】解：，
∴，，
∵，
∴，
则有，配方，得：，
解得：，
经检验：，是原方程的根.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】两边同时开平方可得t+2=±3，然后求出t的值，根据t≥0对求出的t的值进行取舍，然后根据t=可求出x的值.
19．【答案】（1）解：将点 代入 中，得 ，
反比例函数的解析式为 ，
将点 代入 中，
得
（2）解：∵
因为四边形 是菱形， ， ，
， ，
，
由（1）知双曲线的解析式为 ，
，
点 在双曲线上．
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数函数关系式，再把点C的坐标代入反比例函数式求出m值，即可解答；
(2)根据菱形的性质，结合A、C两点的坐标，先求出点B的坐标，再代入函数式进行验证，即可进行判断.
20．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF
（2）证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE =AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质证明求解即可。
21．【答案】（1）解：由题意：Δ=( 6)2 4×1×(2m 1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1 x2=2m 1=5，
∴x2=5，m=3
（2）解：设存在实数m，满足 ，那么
有 ，
即 ，
整理得： ，
解得 或 .
由（1）可知 ，
∴ 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，据从求出m≤5，再将x1=1代入原方程得m=3，利用根与系数的关系可得x1 x2=2m 1=5，从而求出；
（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1 x2=2m 1，代入可得 ，解出m值并检验即可.
22．【答案】（1）解：将A(﹣8，1)、B(2，﹣4)代入直线y＝kx+b得：
，解得
将A(﹣8，1)代入双曲线y 得：
，解得
（2）解：将 代入直线 得， ，即
将 代入直线 得， ，即
∵E(1，0)
∴
，
由图象可得
（3）解：设直线 解析式为 ，将E(1，0)、 代入，得：
，解得
∴直线 解析式为
直线ED向上平移n（n＞0）个单位，则 ，联立双曲线得：
，化简得
∵与双曲线y 有唯一交点
∴
解得
又∵n＞0
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A、B坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，将点A坐标代入y中可得m的值；
（2）令直线解析式中的y=0，x=0，求出x、y的值，得到点C、D的坐标，由点E的坐标可得CE的值，然后根据三角形的面积公式求出S△ACE、S△BCE，然后根据面积间的和差关系进行求解；
（3）利用待定系数法求出直线DE的解析式，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位，则y=3x-3+n，联立双曲线解析式可得3x2+(n-3)x+8=0，然后根据判别式为0可得n的值.
23．【答案】（1）解：设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，
答：每件售价为50元
（2）解：设该商品至少打m折，
根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系列出一元二次方程，求出答案即可；
（2）根据销售价格不超过50元，列出不等式求出答案即可。
24．【答案】（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）设A（m，），根据轴对称的性质可得AD⊥CE，AD平分CE，连接CE交AD于点H，则CH=EH，由等腰三角形的性质得∠CBO=∠CDO，根据等角的余角相等推出∠CAD=∠CDA，得到AH=HD，表示出点H、E的坐标，据此判断；
（2）①根据正方形的性质可得AD=CE，AD垂直平分CE，则CH=AD，设A（m，），则CH=m，AD=，根据CH=AD可得m的值，表示出A、C的坐标，代入y=kx+b中可得k、b的值；
②延长ED交y轴于P，则|PE-PD|=|PE-PB|，根据点A、C的坐标可得D、E的坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，令x=0，求出y的值，可得点P的坐标.
25．【答案】（1）解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）①；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
【分析】（1）先求出 ，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出是等边三角形，再求解即可；
②先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级期中复习检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】反比例函数y=（k≠0）中，当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限；一次函数y=ax+b（a≠0）中，当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，据此一一判断得出答案.
2．（2022·徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：
∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，易证△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质可得=2，根据同高三角形的面积之比等于底之比得S阴影=S△ABC，然后结合三角形的面积公式进行计算.
3．（2022·东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
4．（2022·巴中）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得x2-x-k=0，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得k的范围.
5．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
6．（2022·枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出△ABO≌△BCE，最后求解即可。
7．（2022·宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，得．
故答案为：A．
【分析】此题的等量关系为：92号汽油价格三月底的单价×（1+增长率）2=五月底的单价，列方程即可.
8．（2022·仙桃）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴
∵是方程的两个实数根，
∵，
又
∴
把代入整理得，
解得，
故答案为：A.
【分析】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m的范围，根据根与系数的关系可得x1+x2=2m，x1x2=m2-4m-1，然后结合已知条件可得m的值.
9．（2022·衡阳）如图，在四边形 中， ， ， ， 平分 .设 ， ，则 关于 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，则 ，即 为等腰三角形，
过 点做 于点 .
则 垂直平分 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
故 关于 的函数图象是D.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可证得∠ACD=∠CAD，利用等角对等边可证得CD=AD=y，过点D作DE⊥AC于点E，由等腰三角形的性质，可推出DE垂直平分AC，可求出AE的长；再证明是△ABC∽△AED，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于x，y的方程，然后将方程转化为函数解析式，可知此函数是反比例函数且x＜6，观察各选项中的图象，可得到符合题意的选项.
10．（2022·连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝a，
∴AB＝AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝a，
∴OF＝DF＝a，
∴DF＝×a＝a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=a，
∴GE=DF，
∴③符合题意；
∵2OF＝2×a＝2a，
∴OC=2OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝a，从而得AB＝AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝a，从而得OF＝DF＝a，进而求得GE=DF；又2OF＝2×a＝2a，从而可得∴OC=2OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·巴中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案为：-4.
【分析】根据方程解的概念可得α2-α+k-1=0，根据根与系数的关系可得α+β=1，根据α2-2α-β=α2 -α-(α+β)=4可得k的值.
12．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
13．（2022·沈阳）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．，，当点H为GN三等分点时，MD的长为 ．
【答案】或4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
∴∠DMN=∠GNM，
由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，
∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，
∴GM=GN，
又∠GHE=∠NHE，
∴，
∴，
∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：
①若时，则有：
∴EH=，GF=2NE=4，
由勾股定理得，，
∴GH=2NH=
∴GM=GN=GH+NH=，
∴MD=MF=GM-GF=；
②若时，则有：
∴EH=，GF=NE=1，
由勾股定理得，，
∴GH=NH=
∴GM=GN=GH+NH=5；
∴MD=MF=GM-GF=
综上，MD的值为或4．
【分析】先求出，再分类讨论计算求解即可。
14．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。
15．（2022·丹东）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k= ．
【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD=|k|，S△BOD==，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=|k|+，
∴S平行四边形OABC=2S△AOB=|k|+3，
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=-4，
故答案为：-4．
【分析】先求出S△AOD=|k|，S△BOD==，再求出|k|=4，最后计算求解即可。
16．（2022·东营）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明可得，再将数据代入可得，求出，即可得到。
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022九上·清水月考）用配方法求的最大值，并求此时x的值．
【答案】解：
=
=
=
∵，
∴，
∴当x=﹣1时，的最大值为4．
【知识点】偶次幂的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】先将二次项和一次项提公因式得到-3（x2+2x）+1，括号里加上一次项系数一半的平方1，凑成完全平方式，为了不改变式子大小，括号里再减去1，整理得到-3（x+1）2+4，根据偶次幂的性质（任何一个数的偶次幂都是非负数）可知 ，即可知道 的最大值为4，此时x=-1.
18．（2021九上·罗山月考）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.
解方程：
提示：可以用“换元法”解方程.
解；设，则有.
原方程可化为：
续解：
【答案】解：，
∴，，
∵，
∴，
则有，配方，得：，
解得：，
经检验：，是原方程的根.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】两边同时开平方可得t+2=±3，然后求出t的值，根据t≥0对求出的t的值进行取舍，然后根据t=可求出x的值.
19．（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的解析式及的值；
（2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：将点 代入 中，得 ，
反比例函数的解析式为 ，
将点 代入 中，
得
（2）解：∵
因为四边形 是菱形， ， ，
， ，
，
由（1）知双曲线的解析式为 ，
，
点 在双曲线上．
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数函数关系式，再把点C的坐标代入反比例函数式求出m值，即可解答；
(2)根据菱形的性质，结合A、C两点的坐标，先求出点B的坐标，再代入函数式进行验证，即可进行判断.
20．（2022·上海市）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE =AQ·AB求证：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF
（2）证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE =AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质证明求解即可。
21．（2021·荆门）已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根.
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意：Δ=( 6)2 4×1×(2m 1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1 x2=2m 1=5，
∴x2=5，m=3
（2）解：设存在实数m，满足 ，那么
有 ，
即 ，
整理得： ，
解得 或 .
由（1）可知 ，
∴ 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，据从求出m≤5，再将x1=1代入原方程得m=3，利用根与系数的关系可得x1 x2=2m 1=5，从而求出；
（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1 x2=2m 1，代入可得 ，解出m值并检验即可.
22．（2021·巴中）如图，双曲线y 与直线y＝kx+b交于点A(﹣8，1)、B(2，﹣4)，与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E(1，0)，连接AE、BE.
（1）求m，k，b的值；
（2）求 ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y 有唯一交点，求n的值.
【答案】（1）解：将A(﹣8，1)、B(2，﹣4)代入直线y＝kx+b得：
，解得
将A(﹣8，1)代入双曲线y 得：
，解得
（2）解：将 代入直线 得， ，即
将 代入直线 得， ，即
∵E(1，0)
∴
，
由图象可得
（3）解：设直线 解析式为 ，将E(1，0)、 代入，得：
，解得
∴直线 解析式为
直线ED向上平移n（n＞0）个单位，则 ，联立双曲线得：
，化简得
∵与双曲线y 有唯一交点
∴
解得
又∵n＞0
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A、B坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，将点A坐标代入y中可得m的值；
（2）令直线解析式中的y=0，x=0，求出x、y的值，得到点C、D的坐标，由点E的坐标可得CE的值，然后根据三角形的面积公式求出S△ACE、S△BCE，然后根据面积间的和差关系进行求解；
（3）利用待定系数法求出直线DE的解析式，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位，则y=3x-3+n，联立双曲线解析式可得3x2+(n-3)x+8=0，然后根据判别式为0可得n的值.
23．（2021·烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）解：设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，
答：每件售价为50元
（2）解：设该商品至少打m折，
根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系列出一元二次方程，求出答案即可；
（2）根据销售价格不超过50元，列出不等式求出答案即可。
24．（2022·徐州）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
（1）点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
【答案】（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）设A（m，），根据轴对称的性质可得AD⊥CE，AD平分CE，连接CE交AD于点H，则CH=EH，由等腰三角形的性质得∠CBO=∠CDO，根据等角的余角相等推出∠CAD=∠CDA，得到AH=HD，表示出点H、E的坐标，据此判断；
（2）①根据正方形的性质可得AD=CE，AD垂直平分CE，则CH=AD，设A（m，），则CH=m，AD=，根据CH=AD可得m的值，表示出A、C的坐标，代入y=kx+b中可得k、b的值；
②延长ED交y轴于P，则|PE-PD|=|PE-PB|，根据点A、C的坐标可得D、E的坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，令x=0，求出y的值，可得点P的坐标.
25．（2022·济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】（1）解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）①；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
【分析】（1）先求出 ，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出是等边三角形，再求解即可；
②先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
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