2022年秋季湘教版数学九年级期中复习检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·聊城）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用配方法的计算方法将原方程变形为，再利用待定系数法可得a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
2．（2022·黔西）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象分支在第二、四象限，
∴k＜0
∴直线y=kx+2经过第一、二、四象限.
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数图象分支在第二、四象限，可得到k的取值范围，利用一次函数的图象与系数的关系，可知直线y=kx+2经过第一、二、四象限，即可求解.
3．（2022·雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ＝，
DE∥BC，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件可得，易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
4．（2022·西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得m-1≠0且△≥0，代入求解可得m的范围.
5．（2022·梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形 的位似图形 ﹐已知 ，若四边形 的面积是2，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知： ，
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：四边形ABCD与四边形 A′B′C′D′相似，然后结合相似图形的面积比等于相似比的平方进行解答.
6．（2022·郴州）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图象于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：令AB与y轴的交点为C，
∵点A、B分别在反比例函数y=、y=上，
∴S△AOC=1，S△BOC=4，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=5.
故答案为：B.
【分析】令AB与y轴的交点为C，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=1，S△BOC=4，相加即可.
7．（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。
8．（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADC∽△ABO
∴，
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴B点的纵坐标为6，故C正确.
故答案为：6.
【分析】易证△ADC∽△ABO，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得，根据C、D两点的纵坐标可得CD=2，求出OB，得到点B的纵坐标，据此判断.
9．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
10．（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2020·吉林）如图， ．若 ， ，则 ．
【答案】10
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【分析】根据平行线分线段成比例得到 ，由条件即可算出DF的值．
12．（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】根据 小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒， 列方程求解即可。
13．（2022·南通）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点。若，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OA，过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（ 3m， 2n）是函数y＝kx（k≠0）图象上的三点．
∴k＝6m2＝6mn，
∵m≠0
∴n＝m，
∴B（3m，2m），C（ 3m， 2m），
∴B、C关于原点对称，
∴BO＝CO，
∵S△ABC＝2，
∴S△AOB＝1，
∵S△AOB＝S梯形ADEB＋S△AOD S△BOE＝S梯形ADEB，
∴|6m＋2m|） |3m m|＝1，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OA，过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，利用点A，B，C的坐标及反比例函数的解析式，可得到n＝m，可推出B、C关于原点对称，可证得BO＝CO；再利用△ABC的面积可得到△AOB的面积；然后根据S△AOB＝S梯形ADEB＋S△AOD S△BOE＝S梯形ADEB，可得到关于m的方程，解方程求出m2的值，即可求出k的值.
14．（2022·黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则 cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵点M为BC的中点，
∴
由折叠得，∠
∴∠，
设则有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案为：
【分析】连接DF，利用正方形的性质，可证得∠A=∠B=∠C=∠CDA=90°，利用线段中点的定义可求出BM，CM的长；利用折叠的性质可得到ME，DE的长，同时可证得∠DEM=90°，设FE=x，利用勾股定理建立关于x的方程，可表示出DF2，从而可表示出FB的长，再表示出AF的长；在Rt△DAF中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，可得到FE，FM，FB的长；然后证明△FEG∽△FBM，利用相似三角形的对应边成比例，可求出FG的长.
15．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。
16．（2022·包头）如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连结BD，
，
而
在反比例函数图象上，
即反比例函数为：，
在反比例函数图象上，
即
设直线AB为：
解得：
∴直线AB为：
当时，
故答案为：4
【分析】连结BD，先证利用待定系数法求出反比例函数和直线AB的解析式， 再求出C点坐标，根据 可得 。
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022·齐齐哈尔）解方程：
【答案】解：∵
∴或
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
18．（2021·荆州）已知：a是不等式 的最小整数解，请用配方法解关于x的方程 .
【答案】解：∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∵a是不等式 的最小整数解，
∴ ；
∴关于x的方程 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ， .
【知识点】配方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】先解不等式，在其解集中取最小整数，得出a的值，然后将a代入关于x的方程，再利用配方法解方程即可.
19．（2022·绵阳）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．
【答案】（1）解：∵在上，
∴，即反比例函数解析式为：，设，
∵四边形的面积为38．
∴，
整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
将和代入可得：
解得：，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，
设平移后的一次函数解析式为：，
联立可得：，
整理得：，
∵有唯一交点P，
∴，
解得：或（舍去），
将代入得：，
解得：
经检验：是分式方程的根，
∴，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，
则：
，，，
∴，，，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入反比例函数解析式，可求出k2的值，即可得到反比例函数解析式；设点N，再利用四边形OAMN的面积为38，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到点N的坐标；然后将点M，N的坐标代入一次函数解析式，建立关于k1，b的方程，解方程求出k1，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）平移一次函数-x+10到第三象限，可知它与反比例函数有唯一的一个公共点，此时P到MN的距离最短，则此时△PMN的面积最小；设平移后的函数解析式为y=-x+a，将其与反比例函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，此时的一元二次方程有两个相等的实数根，解方程求出符合题意的a的值；再将a代入方程，可求出x，y的值，即可得到点P的坐标；连接PM，PN，过点P作PB⊥NA的延长线交于点B，作MC⊥PB交于点C，观察图形可知，利用点的坐标，分别求出△PMC，四边形MCBN，△PNB的面积，代入可求出△PMN的面积的最小值.
20．（2022·十堰）已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值.
【答案】（1）证明： ，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根
（2）解： 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，即
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2） 由根与系数关系可知① ， ②，由③，联立①③可求出α，β的值，再代入②求出m值即可.
21．（2021·沈阳）如图，在菱形中，点M，N分别是边，上的点，，．连接，，延长交线段延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若AD=4，则ME的长是 ．
【答案】（1）证明：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）先利用菱形的性质可得BM=DN，再利用“SAS”证明即可；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得，再结合可得，再求出，MC=1，最后利用计算即可。
22．（2022·西宁）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A把代入得∴∴把代入反比例函数得∴∴反比例函数的解析式是；
（2）解：由（1）知A（1，4），C（2，0），反比例函数解析式为，∵，B在反比例函数图象上，∴B（2，2），令D（m，n），以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，当AB为一条对角线时，则，解得m=1，n=6，∴D（1，6）当AC为一条对角线时，则，解得m=1，n=2，∴D（1，2）当AD为一条对角线时，则，解得m=3，n=-2，∴D（3，-2）（舍去）综上所述，点D的坐标是或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，列方程求解即可。
23．（2022九上·台州月考）商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设每个背包的售价为 元，则月均销量为 个，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每个背包售价应不高于55元．
（2）解：依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， 不合题意，舍去 ．
答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．
（3）解：依题意，得： ，
整理，得： ．
，
该方程无解，
这种书包的销售利润不能达到3700元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个背包的售价为x元，根据当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个，空白市场月均销售量，再根据使这种背包的月均销量不低于130个，列不等式，然后求出不等式的最大值即可.
（2）利用每一个背包的利润×销售量=3120，列方程，然后求出符合题意的方程的解即可.
（3）利用每一个背包的利润×销售量=3700，列方程，根据方程根的情况，可作出判断.
24．（2022·兰州）如图，点A在反比例函数 的图象上， 轴，垂足为 ，过 作 轴，交过B点的一次函数 的图象于D点，交反比例函数的图象于E点， ．
（1）求反比例函数 和一次函数 的表达式：
（2）求DE的长．
【答案】（1）解：∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOB＝ |k|＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y＝ ，
∵一次函数y＝ x+b的图象过点B（3，0），
∴ ×3+b＝0，解得b＝ ，
∴一次函数为 ；
（2）解：∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x+b的图象于D点，
∴当x＝5时y＝ ＝ ； ，
∴E（5， ），D（5，3），
∴DE＝3﹣ ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；线段上的两点间的距离
【解析】【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOB＝|k|＝3，求出k的值，可得反比例函数的解析式；将B（3，0）代入y＝x+b中求出b的值，进而可得一次函数的解析式；
（2）分别令反比例函数、一次函数解析式中的x=5，求出y的值，可得点D、E的坐标，进而可求出DE的值.
25．（2022·包头）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
（1）如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
（2）如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
【答案】（1）解：①解：如图，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
②证明：∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∴的长为2．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判断定理和方程思想解答即可。
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级期中复习检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·聊城）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2022·黔西）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
3．（2022·雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
5．（2022·梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形 的位似图形 ﹐已知 ，若四边形 的面积是2，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
6．（2022·郴州）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图象于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
7．（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
8．（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
10．（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2020·吉林）如图， ．若 ， ，则 ．
12．（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
13．（2022·南通）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点。若，则k的值为 ．
14．（2022·黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则 cm.
15．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
16．（2022·包头）如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022·齐齐哈尔）解方程：
18．（2021·荆州）已知：a是不等式 的最小整数解，请用配方法解关于x的方程 .
19．（2022·绵阳）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．
20．（2022·十堰）已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值.
21．（2021·沈阳）如图，在菱形中，点M，N分别是边，上的点，，．连接，，延长交线段延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若AD=4，则ME的长是 ．
22．（2022·西宁）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
23．（2022九上·台州月考）商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
24．（2022·兰州）如图，点A在反比例函数 的图象上， 轴，垂足为 ，过 作 轴，交过B点的一次函数 的图象于D点，交反比例函数的图象于E点， ．
（1）求反比例函数 和一次函数 的表达式：
（2）求DE的长．
25．（2022·包头）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
（1）如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
（2）如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用配方法的计算方法将原方程变形为，再利用待定系数法可得a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象分支在第二、四象限，
∴k＜0
∴直线y=kx+2经过第一、二、四象限.
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数图象分支在第二、四象限，可得到k的取值范围，利用一次函数的图象与系数的关系，可知直线y=kx+2经过第一、二、四象限，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ＝，
DE∥BC，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件可得，易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得m-1≠0且△≥0，代入求解可得m的范围.
5．【答案】D
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知： ，
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：四边形ABCD与四边形 A′B′C′D′相似，然后结合相似图形的面积比等于相似比的平方进行解答.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：令AB与y轴的交点为C，
∵点A、B分别在反比例函数y=、y=上，
∴S△AOC=1，S△BOC=4，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=5.
故答案为：B.
【分析】令AB与y轴的交点为C，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=1，S△BOC=4，相加即可.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADC∽△ABO
∴，
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴B点的纵坐标为6，故C正确.
故答案为：6.
【分析】易证△ADC∽△ABO，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得，根据C、D两点的纵坐标可得CD=2，求出OB，得到点B的纵坐标，据此判断.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
11．【答案】10
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【分析】根据平行线分线段成比例得到 ，由条件即可算出DF的值．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】根据 小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒， 列方程求解即可。
13．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OA，过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（ 3m， 2n）是函数y＝kx（k≠0）图象上的三点．
∴k＝6m2＝6mn，
∵m≠0
∴n＝m，
∴B（3m，2m），C（ 3m， 2m），
∴B、C关于原点对称，
∴BO＝CO，
∵S△ABC＝2，
∴S△AOB＝1，
∵S△AOB＝S梯形ADEB＋S△AOD S△BOE＝S梯形ADEB，
∴|6m＋2m|） |3m m|＝1，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OA，过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，利用点A，B，C的坐标及反比例函数的解析式，可得到n＝m，可推出B、C关于原点对称，可证得BO＝CO；再利用△ABC的面积可得到△AOB的面积；然后根据S△AOB＝S梯形ADEB＋S△AOD S△BOE＝S梯形ADEB，可得到关于m的方程，解方程求出m2的值，即可求出k的值.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵点M为BC的中点，
∴
由折叠得，∠
∴∠，
设则有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案为：
【分析】连接DF，利用正方形的性质，可证得∠A=∠B=∠C=∠CDA=90°，利用线段中点的定义可求出BM，CM的长；利用折叠的性质可得到ME，DE的长，同时可证得∠DEM=90°，设FE=x，利用勾股定理建立关于x的方程，可表示出DF2，从而可表示出FB的长，再表示出AF的长；在Rt△DAF中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，可得到FE，FM，FB的长；然后证明△FEG∽△FBM，利用相似三角形的对应边成比例，可求出FG的长.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。
16．【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连结BD，
，
而
在反比例函数图象上，
即反比例函数为：，
在反比例函数图象上，
即
设直线AB为：
解得：
∴直线AB为：
当时，
故答案为：4
【分析】连结BD，先证利用待定系数法求出反比例函数和直线AB的解析式， 再求出C点坐标，根据 可得 。
17．【答案】解：∵
∴或
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
18．【答案】解：∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∵a是不等式 的最小整数解，
∴ ；
∴关于x的方程 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ， .
【知识点】配方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】先解不等式，在其解集中取最小整数，得出a的值，然后将a代入关于x的方程，再利用配方法解方程即可.
19．【答案】（1）解：∵在上，
∴，即反比例函数解析式为：，设，
∵四边形的面积为38．
∴，
整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
将和代入可得：
解得：，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，
设平移后的一次函数解析式为：，
联立可得：，
整理得：，
∵有唯一交点P，
∴，
解得：或（舍去），
将代入得：，
解得：
经检验：是分式方程的根，
∴，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，
则：
，，，
∴，，，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入反比例函数解析式，可求出k2的值，即可得到反比例函数解析式；设点N，再利用四边形OAMN的面积为38，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到点N的坐标；然后将点M，N的坐标代入一次函数解析式，建立关于k1，b的方程，解方程求出k1，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）平移一次函数-x+10到第三象限，可知它与反比例函数有唯一的一个公共点，此时P到MN的距离最短，则此时△PMN的面积最小；设平移后的函数解析式为y=-x+a，将其与反比例函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，此时的一元二次方程有两个相等的实数根，解方程求出符合题意的a的值；再将a代入方程，可求出x，y的值，即可得到点P的坐标；连接PM，PN，过点P作PB⊥NA的延长线交于点B，作MC⊥PB交于点C，观察图形可知，利用点的坐标，分别求出△PMC，四边形MCBN，△PNB的面积，代入可求出△PMN的面积的最小值.
20．【答案】（1）证明： ，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根
（2）解： 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，即
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2） 由根与系数关系可知① ， ②，由③，联立①③可求出α，β的值，再代入②求出m值即可.
21．【答案】（1）证明：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）先利用菱形的性质可得BM=DN，再利用“SAS”证明即可；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得，再结合可得，再求出，MC=1，最后利用计算即可。
22．【答案】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A把代入得∴∴把代入反比例函数得∴∴反比例函数的解析式是；
（2）解：由（1）知A（1，4），C（2，0），反比例函数解析式为，∵，B在反比例函数图象上，∴B（2，2），令D（m，n），以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，当AB为一条对角线时，则，解得m=1，n=6，∴D（1，6）当AC为一条对角线时，则，解得m=1，n=2，∴D（1，2）当AD为一条对角线时，则，解得m=3，n=-2，∴D（3，-2）（舍去）综上所述，点D的坐标是或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，列方程求解即可。
23．【答案】（1）解：设每个背包的售价为 元，则月均销量为 个，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每个背包售价应不高于55元．
（2）解：依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， 不合题意，舍去 ．
答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．
（3）解：依题意，得： ，
整理，得： ．
，
该方程无解，
这种书包的销售利润不能达到3700元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个背包的售价为x元，根据当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个，空白市场月均销售量，再根据使这种背包的月均销量不低于130个，列不等式，然后求出不等式的最大值即可.
（2）利用每一个背包的利润×销售量=3120，列方程，然后求出符合题意的方程的解即可.
（3）利用每一个背包的利润×销售量=3700，列方程，根据方程根的情况，可作出判断.
24．【答案】（1）解：∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOB＝ |k|＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y＝ ，
∵一次函数y＝ x+b的图象过点B（3，0），
∴ ×3+b＝0，解得b＝ ，
∴一次函数为 ；
（2）解：∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x+b的图象于D点，
∴当x＝5时y＝ ＝ ； ，
∴E（5， ），D（5，3），
∴DE＝3﹣ ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；线段上的两点间的距离
【解析】【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOB＝|k|＝3，求出k的值，可得反比例函数的解析式；将B（3，0）代入y＝x+b中求出b的值，进而可得一次函数的解析式；
（2）分别令反比例函数、一次函数解析式中的x=5，求出y的值，可得点D、E的坐标，进而可求出DE的值.
25．【答案】（1）解：①解：如图，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
②证明：∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∴的长为2．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判断定理和方程思想解答即可。
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