第23章《旋转》几何解答题专项练习（含答案）

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旋转解答题专项练习
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
2．如图：△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE，其中∠B＝50°，∠C＝60°．
（1）若AD平分∠BAC时，求∠BAD的度数．
（2）若AC⊥DE时，AC与DE交于点F，求旋转角的度数．
3．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB＝4，OC＝5，求AO的长．
4．（1）如图1，在△AEC和△DFB中，点A、B、C、D在同一条直线上，AE＝DF，AE∥DF，∠E＝∠F，求证：EC＝BF．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝55°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，求旋转角的度数．
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上．
（1）若AC＝4，求DE的值；
（2）确定△ACD的形状，并说明理由．
6．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若AC＝3，BC＝7，求线段BD的长．
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，垂足为点C，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．
（1）图中△EFD可以由△　 　绕着点　 　旋转　 　度后得到；
（2）写出图中的一对全等三角形　 　；
（3）若AB＝4，BC＝5，CD＝6．求△BCF的面积．
8．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC．
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
9．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC．
10．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
11．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
12．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　 　点，按顺时针方向旋转　 　度得到；
（3）若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积．
13．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．求证：AM＝EN．
14．如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，连接AD，并将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE
（1）求证：∠ADB＝∠AEC；
（2）如图2，当点D为BC中点时，连接DE交AC于点F，直接写出长度等于CF的所有线段．
15．如图，正方形ABCD中，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度．
（2）如果CF＝8，CE＝4，求AC的长．
16．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠EBC＝30°，求∠EFD的度数．
17．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．
（1）请指出旋转中心是哪一点；
（2）旋转了多少度？
（3）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
（3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．
19．在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
参考答案
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
2．如图：△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE，其中∠B＝50°，∠C＝60°．
（1）若AD平分∠BAC时，求∠BAD的度数．
（2）若AC⊥DE时，AC与DE交于点F，求旋转角的度数．
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝35°；
（2）∵△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE，
∴∠E＝∠C＝60°，旋转角为∠CAE，
∵AC⊥DE，
∴∠CAE＝30°，
∴旋转角为30°．
3．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB＝4，OC＝5，求AO的长．
解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，
∵∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝60°，
∴∠DCO＝∠ACO+∠ACD＝∠ACO+∠OCB＝60°．
∴△OCD为等边三角形．
∴∠ODC＝60°．
答：∠ODC的度数为60°．
（2）由旋转的性质得，AD＝OB＝4．∠ADC＝∠BOC＝150°
∵△OCD为等边三角形，
∴OD＝OC＝5．
∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝．
答：AO的长为．
4．（1）如图1，在△AEC和△DFB中，点A、B、C、D在同一条直线上，AE＝DF，AE∥DF，∠E＝∠F，求证：EC＝BF．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝55°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，求旋转角的度数．
（1）证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（ASA）
∴EC＝BF
（2）∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝55°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×55°＝70°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝70°．
所以旋转角为70°
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上．
（1）若AC＝4，求DE的值；
（2）确定△ACD的形状，并说明理由．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，
∴DE＝AB＝8；
（2）△ACD是等边三角形，
理由：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，
∴AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形．
6．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若AC＝3，BC＝7，求线段BD的长．
解：（1）∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°＝∠AED，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥BC；
（2）∵AE＝AC＝3，∠EAC＝90°，
∴EC＝6，
∴BE＝BC﹣EC＝1，
∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴DE＝BC＝7，
∴DB＝＝＝5．
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，垂足为点C，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．
（1）图中△EFD可以由△　EBA　绕着点　E　旋转　180　度后得到；
（2）写出图中的一对全等三角形　△EBA≌△EFD　；
（3）若AB＝4，BC＝5，CD＝6．求△BCF的面积．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠FDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝CE，
在△EBA和△EFD中，
，
∴△EBA≌△EFD（AAS），
∴△EFD可以由△EBA绕点E旋转180°后得到，
故答案为：EBA，E，180°；
（2）由（1）可知△EBA≌△EFD，
故答案为：△EBA≌△EFD；
（3）∵△EBA≌△EFD，
∴S△BCF＝S梯形ABCD＝＝25．
8．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC．
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°＝∠ACB，
∴DE∥BC；
（2）∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴AE＝BD＝7，
∵△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+DC+AD＝AE+AC，
∴△ADE的周长＝7+8＝15．
9．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC．
证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF，
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF，
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
10．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
∵，
∴△EAB≌△DAC（SAS）．
（2）如图，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
∵△EAB≌△DAC
∴∠AEB＝∠ADC＝105°．
∴∠BED＝45°．
11．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
∵，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠AEB＝∠ADC；
（2）如图，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED＝60°，
又∵∠AEB＝∠ADC＝105°，
∴∠BED＝105°﹣60°＝45°．
12．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　A　点，按顺时针方向旋转　90　度得到；
（3）若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝90°，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF＝∠DAE，
而∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠FAE＝90°，
∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
故答案为A、90；
（3）解∵四边形ABCD是正方形，BC＝8，
∴AD＝8，
在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝8，
∴AE＝＝2，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到，
∴△ABF≌△ADE，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF的面积＝AE2＝×68＝34．
13．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．求证：AM＝EN．
证明：由旋转性质可知：BN＝BM，
∵△BAE为等边三角形，
∴∠EBA＝60°，BA＝BE，
又∵∠MBN＝60°，
∴∠NBE＝∠MBA，
在△ABM和△EBN中，
，
∴△ABM≌△EBN（SAS），
∴AM＝EN．
14．如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，连接AD，并将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE
（1）求证：∠ADB＝∠AEC；
（2）如图2，当点D为BC中点时，连接DE交AC于点F，直接写出长度等于CF的所有线段．
证明：（1）∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE
∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ADB＝∠AEC
（2）∵△ABC为等边三角形，点D为BC中点
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，AD⊥BC
∵AD＝AE，∠DAE＝60°
∴△ADE是等边三角形
∴AD＝AE＝DE
∵△BAD≌△CAE
∴∠BAD＝∠CAE＝30°，CD＝CE，∠ACD＝∠ABC＝∠ACE＝60°
∵CD＝CE，AD＝AE
∴AC⊥DE，且∠ACD＝60°
∴DF＝CF，且AC⊥DE，∠DAC＝30°
∴AD＝2CF＝AE＝DE．
15．如图，正方形ABCD中，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）旋转中心是点　A　，旋转了　90　度．
（2）如果CF＝8，CE＝4，求AC的长．
解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
即旋转中心是点A，旋转了90度；
故答案为A，90；
（2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴BF＝DE，S△ABF＝S△ADE，
而CF＝CB+BF＝8，
∴BC+DE＝8，
∵CE＝CD﹣DE＝BC﹣DE＝4，
∴BC＝6，
∴AC＝BC＝6．
16．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠EBC＝30°，求∠EFD的度数．
解：∵△DCF是△BCE旋转得到的图形，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°﹣30°＝60°，∠ECF＝∠BCE＝90°，CF＝CE，
∴∠CFE＝∠FEC＝45°．
∴∠EFD＝∠DFC﹣∠EFC＝60°﹣45°＝15°．
17．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．
（1）请指出旋转中心是哪一点；
（2）旋转了多少度？
（3）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
解：（1）由△ADE旋转后能与△ABF重合可得，旋转中心为定点A；
（2）由△ADE旋转后能与△ABF重合可得，对应边AB与AD的夹角∠BAD即为旋转角，故旋转角度是90°；
（3）由AF＝AE，且∠FAE＝∠BAD＝90°，可得△AEF是等腰直角三角形；
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
（3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°，
∵BE是∠CBD平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°；
（3）当FD与BC平行时，如图：
则∠FME＝∠CBE，
∴∠FME＝65°，
当FM与AB平行时，如图：
则∠FME＝∠ABE＝115°，
∵F在AC上，
∴FM与AC平行不存在，
综上：∠FME＝65°或115°．
19．在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
解（1）图形如图所示．
过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，
∵∠DEF＝∠C＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，
∴HB＝EC＝2，
∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．
（2）结论：BF+BD＝BE．
理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝∠DCE＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，
∴HB＝EC＝HF，
∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，
∵HE+BH＝BE，
∴BF+BD＝BE．