24.1.2 垂直于弦的直径选择题练习（含解析）

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垂直于弦的直径选择题练习
1．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H．若AH＝5，HB＝1，则CD的长为（　　）
A． B． C．2 D．2
2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
3．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝6时，则AE＝（　　）
A．3 B．6 C． D．
4．如图是某圆弧形桥洞，水面跨径AB＝12米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面D处测得桥洞高CD＝AD＝1.5米，则圆弧所在圆的半径为（　　）
A．7.5米 B．米 C．米 D．10米
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2cm，CD＝8cm，则⊙O半径为（　　）
A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是（　　）
A． B．2 C．6 D．8
7．如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（　　）
A．1≤EF≤7 B．2≤EF≤5 C．1＜EF＜7 D．1≤EF≤6
8．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（　　）
A．1 B． C． D．3
9．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（　　）
A．144π B．256π C．400π D．441π
10．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，若要去店里配到一块与原来大小一样的圆形镜子，应该带去店里的碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
11．如图，在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　）
A． B．1 C． D．2
12．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
13．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（　　）
A．4+ B．9 C．4 D．6
14．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（　　）
A．36 B．24 C．18 D．72
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
16．如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）
A．5 B．2.5 C．3 D．2
17．如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的半径为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．3
19．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面宽AB＝8cm，则水深CD是（　　）
A．3cm B．2cm C． D．
20．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，在点P运动的过程中，OQ的长度为（　　）
A．先变小后变大 B．变小
C．不能确定 D．不变
参考答案
1．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H．若AH＝5，HB＝1，则CD的长为（　　）
A． B． C．2 D．2
解：连接OD，
∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，
∴DH＝CD，
∵AH＝5，HB＝1，
∴AB＝AH＝HB＝6，
∴OD＝OA＝3，
∴OH＝AH﹣OA＝2，
在Rt△ODH中，DH＝＝＝，
∴CD＝2DH＝2，
故选：C．
2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
故选：B．
3．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝6时，则AE＝（　　）
A．3 B．6 C． D．
解：延长FO交AD于G，
∵OF⊥BC，AD∥BC，
∴OG⊥AD，
∴GB′＝GD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠C＝∠D＝90°，
∴四边形FCDG是矩形，
∴GB′＝GD＝FC＝6，
∴BC＝AD＝GB′+GD+AB′＝6+6+6＝18，
∴BF＝BC﹣FC＝18﹣6＝12，
∵△BEF和△B′EF关于EF对称，
∴FB′＝FB＝12，EB′＝EB，
∵FG2＝FB′2﹣GB′2，
∴FG2＝122﹣62＝108，
∴FG＝6，
∴AB＝FG＝6，
令AE＝x，则EB′＝EB＝6﹣x，
∵EB′2＝EA2+B′A2，
∴＝x2+62，
∴x＝2，
∴AE＝2．
故选：D．
4．如图是某圆弧形桥洞，水面跨径AB＝12米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面D处测得桥洞高CD＝AD＝1.5米，则圆弧所在圆的半径为（　　）
A．7.5米 B．米 C．米 D．10米
解：如图，取圆心O，连接OB，OC，BC，AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝1.5，
∴∠A＝45°，BD＝12﹣1.5＝10.5，
∴∠O＝2∠A＝90°，
设半径为r米，则BC＝r米，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，
CD2+BD2＝BC2，
即1.52+10.52＝（r）2，
解得r＝7.5，
∴圆弧所在圆的半径7.5米．
故选：A．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2cm，CD＝8cm，则⊙O半径为（　　）
A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm
解：设⊙O半径为Rcm，则OE＝（R﹣2）cm，OC＝Rcm，
∵AB⊥CD，CD＝8cm，AB过圆心O，
∴CE＝DE＝4cm，∠OEC＝90°，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
∴R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径为5cm，
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是（　　）
A． B．2 C．6 D．8
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，
∵AB＝10，AE＝1，
∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，
在Rt△COE中，CE＝＝3，
∴CD＝2CE＝6．
故选：C．
7．如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（　　）
A．1≤EF≤7 B．2≤EF≤5 C．1＜EF＜7 D．1≤EF≤6
解：连接OE、OF、OA、OC，如图所示：
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝OC＝5，
∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB＝6，CD＝8，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，
∴OE＝＝4，OF＝＝3，
当AB∥CD时，E、O、F三点共线，
当AB、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短＝OE﹣OF＝1，
当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OE+OF＝7，
∴线段EF的长度的取值范围是1≤EF≤7，
故选：A．
8．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（　　）
A．1 B． C． D．3
解：∵直径CD⊥AB，AB＝2，
∴AH＝AB＝1，
在Rt△AHO中，∠A＝45°，
∴AH＝OH＝1，
∴AO＝DO＝，
∴DH＝DO+OH＝+1．
故选：B．
9．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（　　）
A．144π B．256π C．400π D．441π
解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
即这个花坛的面积为400π．
故选：C．
10．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，若要去店里配到一块与原来大小一样的圆形镜子，应该带去店里的碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
11．如图，在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　）
A． B．1 C． D．2
解：连接OD，
∵CD⊥OC交⊙O于点D，
∴△OCD是直角三角形，
根据勾股定理得CD＝，
∵半径OD是定值，
∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD＝，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝，
∴CD＝＝BC＝．
故选：A．
12．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
故选：C．
13．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（　　）
A．4+ B．9 C．4 D．6
解：连接OC，OF，
设OB＝x，
∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，
∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，
∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，
∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，
在Rt△BCO中，OC＝，
在Rt△FEO中，OF＝，
∵OF＝OC，
∴5x2＝x2+8x+32，
解得x＝4或x＝﹣2（舍去）
当x＝4时，OC＝4，
则半圆O的半径是4．
故选：C．
14．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（　　）
A．36 B．24 C．18 D．72
解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC＝，
∴CD＝2CE＝6，
∴四边形ACBD的面积＝．
故选：A．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A．
16．如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）
A．5 B．2.5 C．3 D．2
解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×5＝2.5，
即CD的最大值为2.5，
故选：B．
17．如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
解；∵OD⊥AB，AD＝3cm，
∴AB＝2AD＝6cm．
故选：B．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的半径为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．3
解：连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CP＝DP＝4，
设⊙O的半径为R，
∵AP＝8，
∴OP＝8﹣R，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，
即（8﹣R）2+42＝R2，
解得：R＝5，
∴⊙O的半径为5，
故选：C．
19．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面宽AB＝8cm，则水深CD是（　　）
A．3cm B．2cm C． D．
解：如图，连接OA、OC，
则OC⊥AB，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△OAC中，OC＝＝＝3（cm），
∴CD＝5﹣3＝2（cm）．
故选：B．
20．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，在点P运动的过程中，OQ的长度为（　　）
A．先变小后变大 B．变小
C．不能确定 D．不变
解：连接OP，OQ，
∵AB⊥CD，PM⊥OA，PN⊥OD，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴MN＝OP，
∵∠MON＝90°，Q为MN中点，
∴OQ＝MN＝OP，
∵OP是半径为定值，
∴OQ的长不变．
故选：D．