人教版九年级上册 22.1二次函数的图象和性质（第三课时）课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
九年级上册 RJ
初中数学
22.1.3 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质
二次函数的图象和性质
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置、开
口方向
对称性
顶点、最值
增减性
开口向上，在x轴上方.
开口向下，在x轴下方.
a的绝对值越大，开口越小.
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是（0，0）.
当x=0时，y最小值=0.
当x=0时，y最大值=0.
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
知识回顾
y
O
x
y
O
x
1.会画二次函数 y=ax2+k 及 y=a(x-h)2 的图象.
2.掌握二次函数 y=ax2+k 及 y=a(x-h)2 的性质并会应用.
3.理解 y=ax 与 y=ax +k 及 y=a(x-h)2 之间的联系.
学习目标
上一节课我们已经学习了二次函数 y=ax2 的图象和性质，那么二次函数y=ax2+k 和y=a(x-h) 2的图象又是怎样的呢？又有什么性质呢？
课堂导入
画出二次函数 y=2x2+1 ，y=2x2-1 的图象.
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … …
y=2x2-1 … …
5.5
1.5
3
1.5
1
3
5.5
知识点1
新知探究
1.列表
3.5
1
-0.5
1
-0.5
-1
3.5
10
4
x
y
O
-2
2
2
4
6
-4
8
-2
y = 2x2+1
y = 2x2-1
2.描点
3.连线
思考：y=2x2 +1，y=2x2 -1的图象与y=2x2 的图象有什么关系？
4
x
y
O
-2
2
2
4
6
-4
8
10
-2
y = 2x2+1
y = 2x2-1
归纳总结：可以发现，把抛物线 y=2x2 向 平移 个单位长度，就得到抛物线 y=2x2+1；把抛物线 y=2x2 向 平移 个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
1
上
1
这三条抛物线的开口方向，开口大小都相同，对称轴都是 y 轴，增减性相同，顶点坐标不同.
二次函数 y=ax2+k 的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当 k > 0 时，向上平移 k 个单位长度得到.
当 k < 0 时，向下平移 |k|个单位长度得到.
二次函数 y=ax2 与 y=ax2+k (a ≠ 0) 的图象的关系
上下平移规律：上加下减
a，k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的 增减性
最值
向上
向下
y轴（直线 x=0）
（0，k）
当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x的增大而增大.
当 x<0 时，y 随 x的增大而增大；当 x> 0时，y 随 x的增大而减小.
x=0时，y最小值=k.
x=0时，y最大值=k.
二次函数 y=ax2+k(a≠0) 的图象和性质
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
第二种方法：平移法，即先画 y=ax2 的图象，再向上(或向下)平移 |k| 个单位长度.
第一种方法：描点法，即列表、描点和连线.
如何画二次函数y=ax2+k 的图象呢？
a 决定开口方向和大小，
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；
k 决定顶点的纵坐标；
对称轴是 y 轴（直线 x=0）；
顶点坐标为(0，k).
抛物线 y=ax2+k 中的 a 决定什么？怎样决定的？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
1.已知抛物线 y=2x2 3.
(1)它的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；
(2) 把抛物线 y=2x2 可得抛物线y=2x2 3；
(3)若点 ( 4，y1)，( 1，y2) 在抛物线 y=2x2 3 上，则y1 y2(填“>”“<”或“＝”).
上
y轴
向下平移 3 个单位长度
>
(0， 3)
跟踪训练
新知探究
2.关于二次函数y＝－2x2+3,下列说法中正确的是( )
A．它的图象开口方向向上
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是(3，0)
D．当x＝0时，y有最小值是3
B
3.如果将抛物线y＝x2+2向下平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是__________．
4.二次函数y＝mx2+m-2的图象的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则 m 的取值范围为_______．
y＝x2-1
0x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
··· ···
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
-2
-4.5
-2
0
0
-2
-4.5




-4.5

-4.5
-2
抛物线 开口 方向 对称轴 顶点
坐标
向下
直线x=-1
( -1 , 0 )
直线x=1
向下
( 1, 0 )

O
x
y
-2
2
-2
-4
-6
4
-4


向左平移
1个单位长度
向右平移
1个单位长度

x
y
O
-2
2
-2
-4
-6
4
-4



二次函数 y=a(x±h)2(h>0) 的图象与 y=ax2 的图象的关系
y=a(x-h)2
向左平移 h 个单位长度时
y=a(x+h)2
向右平移 h 个单位长度时
y=ax2
左右平移规律：左加右减
a，h的符号 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
直线 x=h
（h，0）
当 xh 时，y 随 x的增大而增大.
当 xh 时，y 随 x的增大而减小.
x=h 时，y最小值=0.
x=h 时，y最大值=0.
二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质
O
x
y
O
y
x
O
y
x
O
y
x

跟踪训练
新知探究
x
y
O
-2
2
-2
-4
-6
4
-4



直线 x=2
向右平移两个单位长度
跟踪训练
新知探究
下
2
0
2
1.将二次函数 y=-2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y=-2(x+1)2的图象，平移的方法是（　 ）
C
A．向上平移1个单位长度　
B．向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度　
D．向右平移1个单位长度
随堂练习
2.对于二次函数y＝3(x＋2)2，下列说法正确的是(　 )
D
A．图象的开口向下
B．图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＞－2时，y随x的增大而减小
D．函数有最小值0
3.对于函数 y=-2(x-m)2 的图象，下列说法不正确的是（ ）
D
A.开口向下
B.对称轴是直线 x=m
C.最大值为0
D.与 y 轴不相交
4.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数 y＝ax2＋k的图象大致为( 　)
D
解：因为一次函数的图象和二次函数的图象都经过 y 轴上的点(0，k)，所以两个函数的图象交于 y 轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过第一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象经过第二、四象限，故A选项错误，D选项正确.
a，k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的 增减性
最值
向上
向下
y轴（直线 x=0）
（0，k）
当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x> 0时，y 随 x 的增大而减小.
x=0时，y最小值=k.
x=0时，y最大值=k.
二次函数 y=ax2+k(a≠0) 的图象和性质
课堂小结
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
a，h的符号 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的 增减性
最值
向上
向下
直线 x=h
（h，0）
当 xh 时，y 随 x 的增大而增大.
当 xh 时，y 随 x 的增大而减小.
x=h 时，y最小值=0.
x=h 时，y最大值=0.
二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
1.把抛物线 y=-x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
y=-(x+3)2 或 y=-(x-3)2
解：因为原抛物线的顶点为(0，0)，所以沿着 x 轴向右平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点为(3，0)，所以新抛物线为 y=-(x-3)2．若抛物线沿着 x 轴向左平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点为(-3，0)，
所以新抛物线为 y=-(x+3)2．
对接中考
未指明平移方向，需分类讨论
解：∵ y＝ax2+1,∴二次函数y＝ax2+1的图象的顶点为(0 , 1),故A, B不符合题意;当y＝ax+a ＝0时,x＝-1,
∴一次函数 y＝ax+a 的图象过点(0 , -1),故C不符合题意，D正确.
y
x
o
y
x
o
y
o
x
2. (2020·西宁中考) 函数y＝ax2+1和y＝ax+a (a为常数，且a≠0) ，在同一个平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
y
x
o
A
C
B
D
D
3.已知函数 y=-(x-1)2 图象上两点 A(2，y1)，B(a，y2)，
其中 a>2，则 y1 与 y2 的大小关系是y1 y2(填“<”
“>”或“＝”).
＞
解：因为函数 y=-(x-1)2，
所以函数图象的对称轴是直线 x=1，开口向下.
因为函数图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，a＞2，
所以 y1＞y2.