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专题34十字相乘法
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖北孝感·八年级期末）将多项式x2－2x－8分解因式，正确的是（ ）
A．（x＋2）（x－4） B．（x－2）（x－4）
C．（x＋2）（x＋4） D．（x－2）（x＋4）
【答案】A
【解析】
【分析】
利用十字相乘法分解即可．
【详解】
解：，
故选：A．
【点睛】
本题考查用十字相乘法进行因式分解，正确掌握十字相乘法是求解本题的关键．
2．（2022·安徽芜湖·八年级期末）分解因式x2-5x-14，正确的结果是（ ）
A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7） C．（x－2）（x＋7） D．（x＋2）（x－7）【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】D
【解析】
【分析】
根据-14=-7×2，-5=-7+2，进行分解即可．
【详解】
解：x2-5x-14=（x-7）（x+2），
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．
3．（2022·山东淄博·八年级期末）下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)
C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
【答案】B
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，
【详解】
A、x2－5x＋6＝x(x－5)＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，是因式分解，故本选项符合题意；
C、(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)≠(x＋2)(x＋3)，故本选项不符合题意；
故选B
4．（2022·湖北武汉·八年级期末）下列因式分解最后结果正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义及分解方法，逐个判断得结论．
【详解】
A.，故选项A错误；
B.，故选项B正确；
C.由于仍能因式分解，故选项C错误；
D.，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法和十字相乘法是解决本题的关键．
5．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法进行分解，即可判断．
【详解】
解：A、 x2+3x= x（x 3），故该选项符合题意；
B、9x2 y2=（3x+y）（3x y），故该选项不符合题意；
C、 x2 2x 1= （x+1）2，故该选项不符合题意；
D．x2 5x 6=（x 6）（x+1），故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．21·cn·jy·com
6．（2022·福建·莆田二中八年级期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．3x﹣3y＝3（x﹣y） B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2+6x﹣9＝（x+3）2 D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）
【答案】C
【解析】
【分析】
利用提公因式法，公式法，十字相乘法进行分解，逐一判断即可．
【详解】
解：A、3x﹣3y＝3（x﹣y），故本选项正确；
B、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故本选项正确；
C、x2+6x+9＝（x+3）2，故本选项错误；
D、﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2），故本选项正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解——十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．www-2-1-cnjy-com
7．（2022·湖北恩施·八年级期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2 B．4x2﹣9＝（4x＋3）（4x﹣3）
C．x2﹣5x＋6＝（x﹣2）（x﹣3） D．a2﹣2a＋1＝（a＋1）2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据十字相乘法、公式法逐个求解即可．
【详解】
解：选项A：x2＋3x＋2＝(x+1)(x+2)，故选项A错误；
选项B：4x2﹣9＝(2x+3)(2x-3),故选项B错误；
选项C：x2﹣5x＋6＝(x-3)(x-2)，故选项C正确；
选项D：a2﹣2a＋1＝(a-1) ，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查了因式分解的方法：十字相乘法以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．（2022·广东广州·八年级期末）若，则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据因式分解，进而即可求得的值
【详解】
解：，
p，q的值分别为
故选：B
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
9．（2022·吉林·长春外国语学校八年级期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．3x－3y＝3(x－y) B．x2－4＝(x＋2)(x－2)
C．x2＋6x－9＝(x＋9)2 D．－x2－x＋2＝－(x－1)(x＋2)
【答案】C
【解析】
【分析】
提取公因式判断A，根据平方差公式和完全平方公式分解因式判断B，C，D即可．
【详解】
解：显然对于A，B，D正确，不乖合题意，
对于C：右边≠左边，故C错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌因式分解的方法是解题的关键．
10．（2022·广西玉林·八年级期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用因式分解的提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等，逐个分解做出判断．
【详解】
解：∵2a 2b＝2（a b），故选项A正确；
x2 9＝（x＋3）（x 3），故选项B正确；
a2＋4a 4≠（a 2）2，故选项C错误；
x2 x＋2＝ （x2＋x 2）＝ （x 1）（x＋2），故选项D正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式的因式分解，掌握整式因式分解的方法是解决本题的关键．
11．（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学八年级开学考试）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2＋9＝(x＋3)(x﹣3) B．x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3）
C．3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y） D．x2＋2x﹣1＝(x﹣1)2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用公式法对A、D进行判断；根据十字相乘法对B进行判断；根据提公因式对C进行判断．
【详解】
解：A、x2＋9不能分解，所以A选项不符合题意；
B、x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3），所以B选项符合题意；
C、3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y＋1），所以C选项不符合题意；
D、x2＋2x﹣1在有理数范围内不能分解，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解﹣十字 ( http: / / www.21cnjy.com )相乘法等：对于x2＋（p＋q）x＋pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）．
12．（2022·安徽芜湖·八年级期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据提公因式法、平方差公式以及十字相乘法进行解答．
【详解】
解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意；
B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意；
C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意；
D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了提公因式法、解题的关键是掌握平方差公式以及十字相乘法因式分解，属于基础题．
13．（2022·湖南湘西·八年级期末）如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（ ）21cnjy.com
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的二次项系数为1，常项数为-9，进行组合分解因式即可得到答案.
【详解】
解：∵1=1×1，-9=3×（-3）或-9=9×（-1）或9=1×（-9）且a为整数
∴，
又∵是一个二次三项式，
∴不合题意
∴或
∴
故选A.
【点睛】
本题主要考查了因式分解的知识，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的相关知识.
14．（2022·重庆第二外国语学校八年级期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
15．（2022·天津红桥·八年级期末）把多项式分解因式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
因为 6×9＝ 54， 6＋9＝3，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
解：x2+3x 54＝（x 6）（x＋9）；
故选：B．
【点睛】
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．【出处：21教育名师】
16．（2022·湖北荆州·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）【版权所有：21教育】
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可．21教育名师原创作品
【详解】
∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12．
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1．
∴m的最大值为11．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
17．（2022·辽宁鞍山·八年级期末）观察下列因式分解中的规律：①；②；③；④；利用上述系数特点分解因式__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：．
18．（2022·广东河源·八年级期中）分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分解因式的知识；解题的关键是熟练掌握十字相乘法分解因式的性质，从而完成求解．
19．（2022·山东淄博·八年级期末）分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式，再按十字乘法分解因式即可得到答案．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查的是提公因式法，十字乘法分解因式，掌握相关的知识点是解题的关键．
20．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）分解因式：=______．
【答案】（a-4）（a+2）
【解析】
【分析】
根据因式分解-十字相乘法进行分解即可．
【详解】
解：a2-2a-8=（a-4）（a+2），
故答案为：（a-4）（a+2）．
【点睛】
本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．
21．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）分解因式＝________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用“十字相乘法”即可得解．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查因式分解，考查计算能力，属于基础题．
22．（2022·吉林长春·八年级期末）分解因式：x2﹣5x﹣6＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据十字相乘法因式分解即可．
【详解】
解：x2﹣5x﹣6
故答案为：
【点睛】
本题考查了十字相乘法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
23．（2022·广东广州·八年级期末）把多项式x2﹣6x＋m分解因式得（x＋3）（x﹣n），则m＋n的值是______．
【答案】-18
【解析】
【分析】
根据题意列出等式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：根据题意得：x2-6x+m=（x+3）（x-n）=x2+（3-n）x-3n，
∴3-n=-6，m=-3n，
解得：m=-27，n=9，
则原式=-27+9=-18，
故答案为：-18．
【点睛】
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
24．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）把多项式分解因式的结果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式，再根据十字相乘法因式分解即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
25．（2022·辽宁·东北育才学校八年级期中）分解因式：_____________
【答案】
【解析】
【分析】
先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
26．（2022·重庆梁平·八年级期末）当k＝_________时，二次三项式x2－kx＋12分解因式的结果是(x－4)(x－3)．
【答案】7
【解析】
【详解】
∵(x－4)(x－3)=，
∴k=7.
点睛: 根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解是解决这类问题的基本思路．
三、解答题
27．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期中）分解因式
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1)直接提取公因式3x，进而分解因式得出答案；
(2)直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
(3)直接利用十字相乘法分解因式得出答案．
(1)
原式
(2)
原式
(3)
原式
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法、十字相乘法分解因式，正确掌握十字相乘法、公式法分解因式是解题关键．
28．（2022·山东泰安·八年级期末）因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）先提出公因式，再利用十字相乘法分解，即可求解；
（2）先提出公因式，再利用平方差公式分解，即可求解；
（3）提出公因式，即可求解；
（4）提出公因式，即可求解．
(1)
解：
；
(2)
解：
；
(3)
解：
；
(4)
解：
．
【点睛】
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法——提公因式法、公式法，分组分解法，十字相乘法是解题的关键．21世纪教育网版权所有
29．（2022·贵州遵义·八年级期末）（1）计算：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）直接利用单项式乘多项式法则和合并同类项法则求解即可；
（2）直接利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
解：（1）原式．
（2）原式＝（x＋2）（x＋3）．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和因式分解，涉及到了单项式乘多项式法则、单项式乘单项式法则、合并同类项法则、十字相乘法等，解题的关键是牢记法则．
30．（2022·山东淄博·八年级期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先提公因式，然后再用平方差公式进行分解即可；
（2）用十字相乘法进行分解即可；
(1)
解：
(2)
．
【点睛】
本题主要考查了分解因式，熟记平方差公式和完全平方公式以及十字相乘法是解题的关键．
31．（2022·重庆长寿·八年级期末）将下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先提取公因式，再运用平方差公式；
（2）先提取公因式，再运用十字相乘；
(1)
解：原式
(2)
解：原式
【点睛】
本题考查了因式分解：提取公因式、平方差公式、十字相乘；熟记公式是解题关键．
32．（2022·江西·南城县第二中学八年级阶段练习）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角 ( http: / / www.21cnjy.com )和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．
这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1)__________；
(2)__________；
(3)__________；
(4)__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）仿照题意求解即可；
（2）仿照题意求解即可；
（3）仿照题意求解即可；
（4）仿照题意求解即可．
(1)
解：根据题意可知
(2)
解：根据题意可知
(3)
解：根据题意可知
(4)
解：根据题意可知
【点睛】
本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．
33．（2022·湖北十堰·八年级期末）因式分解：
(1)；
(2)
【答案】(1)3（x 2y）2；
(2)（x 5y）（x+2y）．
【解析】
【分析】
（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可；
（2）用十字相乘法分解因式即可．
(1)
解：
=3（x2 4xy+4y2）
=3（x 2y）2；
(2)
解：
=（x 5y）（x+2y）．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，十字相乘法，掌握a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．2·1·c·n·j·y
34．（2022·四川巴中·八年级期末）把下列多项式分解因式
(1)2x（a-2）-y（2-a）
(2)4a2-12ab+9b2
(3) x2-2x-15
(4)-3x3+12x
【答案】(1)（a-2）（2x+y）；
(2)（2a-3b）2；
(3)（x-5）（x+3）；
(4)-3x（x+2）（x-2）．
【解析】
【分析】
（1）利用提公因式法分解即可；
（2）利用完全平方公式分解即可；
（3）利用十字相乘法分解即可；
（4）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
(1)
解：2x（a-2）-y（2-a）=（a-2）（2x+y）；
(2)
解：4a2-12ab+9b2=（2a-3b）2；
(3)
解：x2-2x-15=（x-5）（x+3）；
(4)
解：-3x3+12x
=-3x（x2-4）
=-3x（x+2）（x-2）．
【点睛】
本题考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．21*cnjy*com
35．（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室八年级期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式 ( http: / / www.21cnjy.com )因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x＋8分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据材料1的方法，满足，进而进行因式分解即可；
（2）根据材料1的方法，满足，根据材料2将“” 看成一个整体，进而因式分解即可
【详解】
（1）
x2﹣6x＋8
（2）令,
则（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
【点睛】
本题考查了因式分解，运用整体思想是解题的关键．
36．（2022·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q ( http: / / www.21cnjy.com )的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）.
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【答案】（1）（x﹣2）（x﹣4）；（2）①（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【解析】
【分析】
(1) 根据材料1,可对进行x2﹣6x+8进行分解因式;
(2) ①根据材料2的整体思想，可对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3进行分解因式;
②根据材料1、2，可对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3进行分解因式.
【详解】
解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点睛】
本题主要考查因式分解的方法-十字相乘法.
37．（2022·福建泉州·八年级期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因 ( http: / / www.21cnjy.com )式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
(1)因式分解：x2﹣15x﹣34＝ ．
(2)因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： ．
(3)请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
【答案】(1)（x﹣17）（x+2）．
(2)a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2
(3)（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）
【解析】
【分析】
（1）用十字相乘法分解．
（2）根据因式分解的结果进行计算，比较系数即可求解；
（3）先分组，再用待定系数法分解．
(1)
解：x2﹣15x﹣34
＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2）
＝（x﹣17）（x+2）．
故答案为：（x﹣17）（x+2）．
(2)
∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4．
解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4．
故选填一组即可．
故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2．
(3)
原式＝3m2+（5n+1）m﹣（2n2﹣9n+4）
＝（3×1）m2+[3m×（2n﹣1）﹣m（n﹣4）]﹣（2n﹣1）（n﹣4）
＝（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）．
【点睛】
本题考查因式分解与整式的乘法运算，理解题意，正确使用待定系数法是解题的关键．
38．（2022·湖北鄂州·八年级期末）如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求a的值；
(3)利用（2）中所求的a的值，分解因式x2－ax－2a2＝______．
【答案】(1)丰收号”单位面积产量高，理由见解析
(2)a＝3
(3)
【解析】
【分析】
（1）分别表示出两块试验田的单位面积产量，然后比较它们的大小即可；
（2）根据题意列出方程，可求得a的值；
（3）把a的值代入代数式，利用因式分解法分解因式即可．
(1)
解：由题意可得：“丰收号”单位面积产量，“丰收号”单位面积产
∵，且
∴
，易知
∴
丰收号”单位面积产量高．
(2)
解：由题意可得：
解得：
经检验a＝3是原方程的解，并符合题意，
∴a的值为3；
(3)
解：当时，
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，熟练运用因式分解解决问题是本题的关键．
39．（2022·湖北荆州·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2＋3x＋2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2．
所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2．
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题
(1)分解因式：x2＋5x－24＝________________________；
(2)若x2＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是____________；
(3)利用上面因式分解方法解方程：x2－4x－21=0．
【答案】(1)（x 3）（x＋8）
(2)±5，±7
(3)x1＝7，x2＝ 3
【解析】
【分析】
（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项 24＝ 3×8，一次项系数5＝ 3＋8，然后进行分解即可；
（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项6＝ 3×（ 2），6＝3×2，6＝ 1×（ 6），6＝1×6，然后进行计算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项 21＝ 7×3，一次项系数 4＝ 7＋3，然后进行分解计算即可．
(1)
解：x2＋5x 24
＝x2＋（ 3＋8）x＋（ 3）×8
＝（x 3）（x＋8）
故答案为：（x 3）（x＋8）．
(2)
解：∵6＝ 3×（ 2），6＝3×2，6＝ 1×（ 6），6＝1×6，
∴p＝ 3＋（ 2）＝ 5，p＝3＋2＝5，p＝ 1＋（ 6）＝ 7，p＝1＋6＝7，
∴若x2＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±5，±7．
故答案为：±5，±7．
(3)
解：x2 4x 21＝0，
（x 7）（x＋3）＝0，
（x 7）＝0或（x＋3）＝0，
∴x1＝7，x2＝ 3．
【点睛】
本题考查了因式分解 十字相乘法，理解并掌握x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解题的关键．
40．（2022·广东深圳·八年级期末）将下列各式分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)（x＋5）（x－3）
(2)（5x＋4 y）（x＋8 y）
【解析】
【分析】
（1）原式利用十字相乘法分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
(1)
解：原式=（x+5）（x-3）；
(2)
解：原式＝（3x＋6 y）2－（2x－2y）2
＝（3x＋6 y＋2x－2y）（3x＋6 y －2x＋2y）
＝（5x＋4 y）（x＋8 y）
【点睛】
此题考查了因式分解-十字相乘法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
41．（2022·甘肃酒泉·八年级期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由得；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．
解：请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：__________________；
(2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是__________________．
【答案】(1)
(2)
42．（2022·山西晋中·八年级期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
（1）探究发现；
小明计算下面几个题目
①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：21*cnjy*com
．
（2）面积说明：
上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：．21教育网
（4）拓展提升
现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为并利用你所拼的图形面积对进行因式分解．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）（3）；（4），画图见解析
【解析】
【分析】
（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算，总结即可；
（2）利用面积的两种计算方法可证明公式；
（3）分别确定公式当中的，再利用公式计算即可；
（4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，再画出拼图，从而可得答案．
【详解】
解：（1），
故答案为：；
（2）长方形的面积为：
长方形的面积等于四个小长方形的面积之和为：，
所以．
（3）按照小明发现的规律：
（4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，所以拼图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴．
【点睛】
本题考查的是多项式乘以多项式，因式分解 ( http: / / www.21cnjy.com )，利用图形面积证明多项式乘以多项式的运算法则以及因式分解，熟练构建长方形证明多项式的乘法与因式分解是解本题的关键．
43．（2022·四川泸州·八年级期末）阅读下面材料，并回答相应的问题：
通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．
(1)请运用多项式乘以多项式的法则填空：
__________，____________，
__________，__________．
从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：
________________．
(2)因式分解是与整式乘法方向相反的变形 ( http: / / www.21cnjy.com )，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）．2-1-c-n-j-y
利用这种方法，请将下列各式因式分解：
__________，___________，
__________，___________．
【答案】(1)；
(2)，
【解析】
【分析】
（1）运用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得到结果；
（2）运用（1）中的规律进行相反方向变形可得结果．
(1)
∴
故答案为：，
(2)
=
=；
=
=
=
故答案为：，，，，
【点睛】
此题考查了因式分解的方法-分组分解法和十字相乘法、公式法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
44．（2022·湖北武汉·八年级期末）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)y（x+2）（x-2）；
(2)-2（x-2y）2；
(3)（x-6）（x+1）．
【解析】
【分析】
（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先计算多项式的乘法，再利用十字相乘法因式分解即可．
(1)
解：
=y（x2-4）
=y（x+2）（x-2）；
(2)
解：
=-2（x2-4xy+4y2）
=-2（x-2y）2；
(3)
解：
=x2+x-6-6x
=x2-5x-6
=（x-6）（x+1）．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解决此题关键．
45．（2022·河南洛阳·八年级期末）阅读理解：
阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值．
解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
所以，解得，
所以，另一个因式是，a的值是-6．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
【答案】另一个因式是，m的值是-8．
【解析】
【分析】
根据题意得到，再展开得到，据此列方程组，解此方程组即可解答．
【详解】
解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
所以，
解得，
所以，另一个因式是，m的值是-8．
【点睛】
本题考查多项式的因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
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绝密★启用前
专题34十字相乘法
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖北孝感·八年级期末）将多项式x2－2x－8分解因式，正确的是（ ）
A．（x＋2）（x－4） B．（x－2）（x－4）
C．（x＋2）（x＋4） D．（x－2）（x＋4）
2．（2022·安徽芜湖·八年级期末）分解因式x2-5x-14，正确的结果是（ ）
A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7） C．（x－2）（x＋7） D．（x＋2）（x－7）21·cn·jy·com
3．（2022·山东淄博·八年级期末）下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)
C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
4．（2022·湖北武汉·八年级期末）下列因式分解最后结果正确的是
A． B．
C． D．
5．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·福建·莆田二中八年级期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．3x﹣3y＝3（x﹣y） B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2+6x﹣9＝（x+3）2 D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）
7．（2022·湖北恩施·八年级期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2 B．4x2﹣9＝（4x＋3）（4x﹣3）
C．x2﹣5x＋6＝（x﹣2）（x﹣3） D．a2﹣2a＋1＝（a＋1）2
8．（2022·广东广州·八年级期末）若，则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4
C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4
9．（2022·吉林·长春外国语学校八年级期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．3x－3y＝3(x－y) B．x2－4＝(x＋2)(x－2)
C．x2＋6x－9＝(x＋9)2 D．－x2－x＋2＝－(x－1)(x＋2)
10．（2022·广西玉林·八年级期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学八年级开学考试）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2＋9＝(x＋3)(x﹣3) B．x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3）
C．3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y） D．x2＋2x﹣1＝(x﹣1)2
12．（2022·安徽芜湖·八年级期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·湖南湘西·八年级期末）如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（ ）21教育网
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
14．（2022·重庆第二外国语学校八年级期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（ ）21·世纪*教育网
A．1 B．5 C． D．
15．（2022·天津红桥·八年级期末）把多项式分解因式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·湖北荆州·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．1 B．4 C．11 D．12
第II卷（非选择题）
二、填空题
17．（2022·辽宁鞍山·八年级期末）观察下列因式分解中的规律：①；②；③；④；利用上述系数特点分解因式__________．
18．（2022·广东河源·八年级期中）分解因式：______．
19．（2022·山东淄博·八年级期末）分解因式：__________．
20．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）分解因式：=______．
21．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）分解因式＝________．
22．（2022·吉林长春·八年级期末）分解因式：x2﹣5x﹣6＝_____．
23．（2022·广东广州·八年级期末）把多项式x2﹣6x＋m分解因式得（x＋3）（x﹣n），则m＋n的值是______．2-1-c-n-j-y
24．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）把多项式分解因式的结果是_________．
25．（2022·辽宁·东北育才学校八年级期中）分解因式：_____________
26．（2022·重庆梁平·八年级期末）当k＝_________时，二次三项式x2－kx＋12分解因式的结果是(x－4)(x－3)．21*cnjy*com
三、解答题
27．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期中）分解因式
(1)；
(2)；
(3)．
28．（2022·山东泰安·八年级期末）因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
29．（2022·贵州遵义·八年级期末）（1）计算：；
（2）分解因式：．
30．（2022·山东淄博·八年级期末）分解因式：
(1)；
(2)．
31．（2022·重庆长寿·八年级期末）将下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
32．（2022·江西·南城县第二中学八年级阶段练习）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
先分解二次项系数，分别写在十字交 ( http: / / www.21cnjy.com )叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．21cnjy.com
这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1)__________；
(2)__________；
(3)__________；
(4)__________．
33．（2022·湖北十堰·八年级期末）因式分解：
(1)；
(2)
34．（2022·四川巴中·八年级期末）把下列多项式分解因式
(1)2x（a-2）-y（2-a）
(2)4a2-12ab+9b2
(3) x2-2x-15
(4)-3x3+12x
35．（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室八年级期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2＋p ( http: / / www.21cnjy.com )x＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）【来源：21cnj*y.co*m】
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2【来源：21·世纪·教育·网】
上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x＋8分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
36．（2022·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式 ( http: / / www.21cnjy.com )因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）.【版权所有：21教育】
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
37．（2022·福建泉州·八年级期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：21教育名师原创作品
首先，如果一个多项式能进行 ( http: / / www.21cnjy.com )因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．21*cnjy*com
(1)因式分解：x2﹣15x﹣34＝ ．
(2)因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： ．
(3)请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
38．（2022·湖北鄂州·八年级期末）如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求a的值；
(3)利用（2）中所求的a的值，分解因式x2－ax－2a2＝______．
39．（2022·湖北荆州·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2＋3x＋2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2．
所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2．
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题
(1)分解因式：x2＋5x－24＝________________________；
(2)若x2＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是____________；
(3)利用上面因式分解方法解方程：x2－4x－21=0．
40．（2022·广东深圳·八年级期末）将下列各式分解因式：
(1)
(2)
41．（2022·甘肃酒泉·八年级期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由得；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．【出处：21教育名师】
解：请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：__________________；
(2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是__________________．www.21-cn-jy.com
42．（2022·山西晋中·八年级期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
（1）探究发现；
小明计算下面几个题目
①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：21世纪教育网版权所有
．
（2）面积说明：
上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律．
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（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：．2·1·c·n·j·y
（4）拓展提升
现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为并利用你所拼的图形面积对进行因式分解．
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43．（2022·四川泸州·八年级期末）阅读下面材料，并回答相应的问题：
通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．
(1)请运用多项式乘以多项式的法则填空：
__________，____________，
__________，__________．
从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：
________________．
(2)因式分解是与整式乘法方 ( http: / / www.21cnjy.com )向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）．
利用这种方法，请将下列各式因式分解：
__________，___________，
__________，___________．
44．（2022·湖北武汉·八年级期末）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
45．（2022·河南洛阳·八年级期末）阅读理解：
阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值．
解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
所以，解得，
所以，另一个因式是，a的值是-6．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
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