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绝密★启用前
专题35分组分解法
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·山东滨州·八年级期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为( )21教育网
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如：，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ）2·1·c·n·j·y
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2022·四川巴中·八年级期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·重庆黔江·八年级期末）多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）21cnjy.com
A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1
5．（2022·四川巴中·八年级期末）下列各式：，，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）下列式子：，，，，其中分式的共有（ ）21·cn·jy·com
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022·河南信阳·八年级期末）若分式有意义，则x应该满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东威海·八年级期末）若分式的值为0，则（ ）
A． B．
C．x=-1 D．x=0
9．（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式①，②来说，有下列说法，正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．①、②均是分式 B．①是分式，②不是分式
C．①不是分式，②是分式 D．①、②均不是分式
10．（2022·湖北武汉·八年级期末）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x≠1
11．（2022·吉林长春·八年级期末）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
12．（2022·山东济南·八年级期中）若分式的值为0，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
13．（2022·广东广州·八年级期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2022·辽宁阜新·八年级期末）使分式有意义的条件是（ ）
A．x＝0 B．x≠3 C．x≠﹣3 D．x＝3
第II卷（非选择题）
二、解答题
15．（2022·广东茂名·八年级期中）阅读理解：把多项式分解因式．
解法：
观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)三边、、满足，判断的形状．
16．（2022·广东·龙岭初级中学 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）因式分解中拆项法原理：在多项式乘法运算时，经过整理、化简通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．【版权所有：21教育】
例：分解因式：x2＋4x＋3
解：把4x分成x和3x，
原式就可以分成两组了
原式＝x2＋x＋3x＋3
＝x（x＋1）＋3（x＋1）
继续提公因式＝（x＋3）（x＋1）
请类比上边方法分解因式：x2＋5x＋6．
17．（2022·吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式 ( http: / / www.21cnjy.com )，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
(1)利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
(2)因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
18．（2022·山东滨州·八年级期末）简答
(1)
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
①分解因式：；
②已知的三边长a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．
(2)如图，，且，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．（2022·广东揭阳·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．21教育名师原创作品
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：21世纪教育网版权所有
(1)分解因式：①；②；
(2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．
20．（2022·广东·河 ( http: / / www.21cnjy.com )源市第二中学八年级期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．21*cnjy*com
a.分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
① ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by) ②2xy+y -1+x =x +2xy+y 1
=x(a+b)+y(a+b) =(x+y) -1
=(a+b)(x+y) =(x+y+1)(x+y 1)2-1-c-n-j-y
b.拆项法：将一个多项式 ( http: / / www.21cnjy.com )的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x +2x-3=x +2x+1 4=(x+1) -2 =(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) ．
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a —b +a—b；
(2)分解因式：a +4ab—5b ；
(3)多项式x -6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
21．（2022·广东河源·八年级期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)已知：，．求：的值．
(3)三边a，b，c满足，判断的形状．
22．（2022·山东·青岛大学附 ( http: / / www.21cnjy.com )属中学八年级期中）阅读理解，材料1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解．如x2﹣4y2﹣2x+4y，但我们细心察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项提取公因式，前后两部分分别分解图式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了：
x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
材料2：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n
＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）
解决问题：
(1)分解因式：
①a2﹣4a﹣b2+4；
②x3﹣5x+2．
(2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
23．（2022·山东济南·八年级期末）我 ( http: / / www.21cnjy.com )们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2－2xy＋y2－4＝(x2－2xy＋y2)－4＝(x－y) 2－22＝(x－y－2)(x－y＋2)．
②拆项法：
例如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1) 2－2＝(x＋1－2) (x＋1＋2) ＝ (x－1) (x＋3)．
(1)分解因式：
①4x2＋4x－y2＋1； ②x2－6x＋8；21·世纪*教育网
(2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，求△ABC的周长．
24．（2022·上海市田林第三中学八年级期中）解方程组：．
25．（2022·重庆南开中学八年级期中）对于一个四位正整数x，如果百位和十位的数字均为5，则称这个四位正整数为“五彩缤纷数”；若将这个“五彩缤纷数”的个位与千位交换位置后得到新的正整数记为，并记．例如：．
(1)最大的“五彩缤纷数”是_______；_______．
(2)若m为“五彩缤纷数”，记m的千位数字与个位数字分别为a，b，其中，a，b均为整数，且满足，求m．
26．（2022·安徽阜阳·八年级期末）观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)请根据此图填空：
（___________）（___________）.
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
___________=（___________）（___________）
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.
尝试运用：
例题：把分解因式.
解：.
(2)请利用上述方法将下面多项式因式分解：；
27．（2022·湖北随州·八年级期末）分解因式：
(1)；
(2)
28．（2022·山东济宁·八年级期末）观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
乙：
（分成两组）
（直接运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：
(1)
(2)
29．（2022·甘肃天水·八年级期末）计算与因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
30．（2022·湖北黄冈·八年级开学考试 ( http: / / www.21cnjy.com )）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
31．（2022·山东临沂·八年级期末）第一环节：自主阅读材料
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：www-2-1-cnjy-com
……分组
……组内分解因式
……整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法．
(1)第二环节：利用这种方法解决以下问题：因式分解：．
(2)第三环节：拓展运用：已知a，b，c为的三边，且，试判断的形状并说明理由．
32．（2022·甘肃定西·八年级期末）我们在课堂上学习了运用提取公因式法、公式法等分解因式的方法，但单一运用这些方法分解某些多项式的因式时往往无法分解．例如，通过观察可知，多项式的前三项符合完全平方公式，通过变形后可以与第四项结合再运用平方差公式分解因式，解题过程如下：，我们把这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种分解因式的方法解答下列各题：【来源：21cnj*y.co*m】
(1)分解因式：．
(2)若三边满足，试判断的形状，并说明理由．
33．（2022·广东广州·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
(1)分解因式：2a2﹣8a＋8；
(2)请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
(3)若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．
34．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、 ( http: / / www.21cnjy.com )公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：21*cnjy*com
（1）；
（2）．
【学以致用】
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
【拓展应用】
已知：，．求：的值．
35．（2022·广东·江门市第二中学八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）【出处：21教育名师】
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题35分组分解法
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·山东滨州·八年级期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为( )21·cn·jy·com
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．
【详解】
解：a2b+ab2-a-b
=（a2b-a）+（ab2-b）
=a（ab-1）+b（ab-1）
=（ab-1）（a+b）
将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．
2．（2022·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如：，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ）【版权所有：21教育】
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据材料方法进行分组分解，最后根据多个因数之积为0，得出边长关系即可．
【详解】
解：由题意：
∵，
∴，
∵a、b、c是△ABC的三边，
∴，
∴，即：，
∴△ABC的形状是等腰三角形，
故选：A．
【点睛】
本题考查因式分解的实际应用，掌握材料介绍的因式分解方法，并且理解多个因数乘积为0时的情况是解题关键．21教育名师原创作品
3．（2022·四川巴中·八年级期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用提公因式法与公式法，分组分解法进行分解逐一判断即可．
【详解】
解：A、2a-2b=2（a-b），正确，故该选项不符合题意；
B、x2-9=（x+3）（x-3），正确，故该选项不符合题意；
C、a2+4a-4≠（a-2）2，原分解错误，故该选项符合题意；
D、x2-2x+1-y2=（x-1+y）（x-1-y），正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解-分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项有公因式，必须先提公因式．21*cnjy*com
4．（2022·重庆黔江·八年级期末）多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】
首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】
此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
5．（2022·四川巴中·八年级期末）下列各式：，，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：，，的分母均不含有字母，因此他们是整式，而不是分式．
，分母中均含有字母，因此是分式．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
6．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）下列式子：，，，，其中分式的共有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式的定义逐一判断即可．
【详解】
解：∵是单项式，是多项式，
∴，，，，其中分式有，，，共3个．
故选B
【点睛】
本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意π是数字．www-2-1-cnjy-com
7．（2022·河南信阳·八年级期末）若分式有意义，则x应该满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】
解：由题意，得x＋1≠0，解得：x≠－1，
故选：B．
【点睛】
本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
8．（2022·山东威海·八年级期末）若分式的值为0，则（ ）
A． B．
C．x=-1 D．x=0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式的值为0可得，由此即可得．
【详解】
解：由题意得：，
解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题关键．
9．（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式①，②来说，有下列说法，正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．①、②均是分式 B．①是分式，②不是分式
C．①不是分式，②是分式 D．①、②均不是分式
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式的定义判定即可．
【详解】
解：①是分式，②是整式不是分式，
故选：B．
【点睛】
本题考查分式的定义，一般地，形如，A、B为整式，且B中含有字母，叫分式．
10．（2022·湖北武汉·八年级期末）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x≠1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】
解：由题意得：1+x≠0，
解得：x≠﹣1．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
11．（2022·吉林长春·八年级期末）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】
解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x-3≠0，
∴x≠3，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握使分式有意义，分母不等于零，是解题的关键．
12．（2022·山东济南·八年级期中）若分式的值为0，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
让分子为0，分母不为0可得的值．
【详解】
解：由题意得：且，
解得．
故选：A．
【点睛】
本题考查分式值为0的条件；用到的知识点为：分式值为0，则分子为0，分母不为0，掌握分式为零的条件是解题的关键．2·1·c·n·j·y
13．（2022·广东广州·八年级期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式的概念依次判断即可．
【详解】
，形式为，且B中含有字母，是分式；
，形式为，但B中不含字母，不是分式；
，形式为，且B中含有字母，是分式；
，形式为，且B中含有字母，是分式；
故一共有3个分式．
故选C
【点睛】
本题主要考查了分式的定义：形如，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．21·世纪*教育网
14．（2022·辽宁阜新·八年级期末）使分式有意义的条件是（ ）
A．x＝0 B．x≠3 C．x≠﹣3 D．x＝3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件：分母≠0，即x－3≠0，进行求解即可．
【详解】
解：∵分式有意义，
∴x－3≠0，
解得x≠3．
故选：B
【点睛】
此题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0，是解决问题的关键．
第II卷（非选择题）
二、解答题
15．（2022·广东茂名·八年级期中）阅读理解：把多项式分解因式．
解法：
观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)三边、、满足，判断的形状．
【答案】(1)
(2)等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）先将原式变形为，再分别提取公因式，然后再提取公因式来求解；
（2）将变形为，分别提取公因式，进而得到，易得，进而得到来求解．
(1)
解：
(2)
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴C的形状是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的提取公因式法，等腰三角形的判定．理解提取公因式法是解答关键．
16．（2022·广东·龙岭 ( http: / / www.21cnjy.com )初级中学八年级期中）因式分解中拆项法原理：在多项式乘法运算时，经过整理、化简通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．21cnjy.com
例：分解因式：x2＋4x＋3
解：把4x分成x和3x，
原式就可以分成两组了
原式＝x2＋x＋3x＋3
＝x（x＋1）＋3（x＋1）
继续提公因式＝（x＋3）（x＋1）
请类比上边方法分解因式：x2＋5x＋6．
【答案】（x＋3）（x＋2）
【解析】
【分析】
根据题中拆项法原理，把5x分成2x和3x，进而根据提公因式法因式分解即可．
【详解】
解：把5x分成2x和3x，
原式就可以分成两组了
原式＝x2＋2x＋3x＋6
＝x(x＋2)＋3(x＋2)
继续提公因式＝(x＋3)(x＋2)
【点睛】
本题考查了因式分解，理解题意仿照例题求解是解题的关键．
17．（2022·吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四 ( http: / / www.21cnjy.com )项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
(1)利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
(2)因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
【答案】(1)①（m y）（3＋a）；②（x＋y）（a2＋b2）
(2)（a＋b＋1）（a＋b 1）
【解析】
【分析】
（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
(1)
解：①原式＝（3m 3y）＋（am ay）
＝3（m y）＋a（m y）
＝（m y）（3＋a）；
②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y）
＝a2（x＋y）＋b2（x＋y）
＝（x＋y）（a2＋b2）；
(2)
a2＋2ab＋b2 1
＝（a＋b）2 1
＝（a＋b＋1）（a＋b 1）．
故答案为：（a＋b＋1）（a＋b 1）．
【点睛】
此题主要考查了分组分解法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
18．（2022·山东滨州·八年级期末）简答
(1)
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
①分解因式：；
②已知的三边长a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．
(2)如图，，且，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】(1)①；②等腰三角形，理由见解析
(2)37°
【解析】
【分析】
（1）①先利用完全平方公式因式分解，再利用平方差公式因式分解即可．
②已知，先分为两组，分别提公因式a与b，得，再提公因式得，因此a= b或a= c，根据等腰三角形的判定得△ABC是等腰三角形．2-1-c-n-j-y
(2) 根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，根据平行线的性质得出∠DBC=∠D，证明∠C=2∠D，求出∠C即可．【出处：21教育名师】
(1)
①=；
②△ABC的形状是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a，b，c都大于0，
∴要使等式成立，则有a-b=0或者a-c=0，
∴a=b或者a=c．
综上，△ABC的形状是等腰三角形；
(2)
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABD＋∠DBC＝∠C，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠D，
∴∠C＝2∠D，
∵∠BAC＝32°，
∴∠ABC＝∠C＝74°，
∴∠D＝37°
【点睛】
本题主要考查了因式分解和等腰三角形的判定， ( http: / / www.21cnjy.com )解本题要熟练掌握因式分解和等腰三角形的判定；也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．21教育网
19．（2022·广东揭阳 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)分解因式：①；②；
(2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．
【答案】(1)①；②
(2)等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；
②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
(1)
（1）①x2-xy+5x-5y
=（x2-xy）+（5x-5y）
=x（x-y）+5（x-y）
=（x-y）（x+5）；
②m2-n2-6m+9
=（m2-6m+9）-n2
=（m-3）2-n2
=（m-3+n）（m-3-n）；
(2)
∵a2-b2-ac+bc=0，
∴（a2-b2）-（ac-bc）=0，
∴（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a+b-c）=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b-c＞0，
∴a-b=0，
∴a=b，
即△ABC是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，掌握 ( http: / / www.21cnjy.com )提取公因式的技巧和完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解题关键．
20．（2022·广东·河源市第二中学 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
a.分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
① ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by) ②2xy+y -1+x =x +2xy+y 1
=x(a+b)+y(a+b) =(x+y) -1
=(a+b)(x+y) =(x+y+1)(x+y 1)
b.拆项法：将一个多项式 ( http: / / www.21cnjy.com )的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x +2x-3=x +2x+1 4=(x+1) -2 =(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) ．
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a —b +a—b；
(2)分解因式：a +4ab—5b ；
(3)多项式x -6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
【答案】(1)（a—b）（a＋b＋1）；
(2)（a＋5b）（a－b）；
(3)多项式x -6x+1有最小值﹣8，它取最小值时x的值为3．
【解析】
【分析】
（1）将前面两项利用平方差公式分解因式，进而利用提公因式法分解因式即可；
（2）将前a +4ab—5b 转化为（a +4ab+4b ）－9b ，前三项符合完全平方公式，然后进一步分解即可；
（3）将x -6x+1转化成（x －6x ( http: / / www.21cnjy.com )+9）－8进一步分解为（x－3） －8，根据（x－3） ≥0，即可求得x -6x+1的最小值，同时求得取最小值时x的值．
(1)
解：a —b +a—b
＝（a＋b）（a—b）＋（a—b）
＝（a—b）（a＋b＋1）；
(2)
解：a +4ab—5b
＝a +4ab+4b －4b －5b
＝（a +4ab+4b ）－9b
＝（a＋2b）2－（3b）
＝（a＋2b＋3b）（a＋2b－3b）
＝（a＋5b）（a－b）；
(3)
解：x -6x+1
＝x －6x+9－9＋1
＝（x －6x+9）－8
＝（x－3） －8
∵（x－3） ≥0，
∴（x－3） －8≥﹣8，
∴x -6x+1≥﹣8，
∴多项式x -6x+1有最小值为﹣8，此时，x－3＝0，即x＝3．
∴多项式x -6x+1有最小值﹣8，它取最小值时x的值为3．
【点睛】
此题主要考查了分组分解法和拆项法，将原式分组和拆项后转化为能用提公因式法、公式法进行分解是解题的关键．
21．（2022·广东河源·八年级期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)已知：，．求：的值．
(3)三边a，b，c满足，判断的形状．
【答案】(1)
(2)45
(3)的形状是等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）将整理成即可求解；
（3）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，，的关系，判断三角形形状即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
∵，，
代入得：原式
．
(3)
解：
，
，
或，
的形状是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查了分组分解法以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握分组分解法．
22．（2022·山东·青 ( http: / / www.21cnjy.com )岛大学附属中学八年级期中）阅读理解，材料1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解．如x2﹣4y2﹣2x+4y，但我们细心察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项提取公因式，前后两部分分别分解图式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了：
x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
材料2：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n
＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）
解决问题：
(1)分解因式：
①a2﹣4a﹣b2+4；
②x3﹣5x+2．
(2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【答案】(1)①；②；
(2)△ABC是等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）①根据分组分解可进行因式分解；②把-5x拆分成-4x-x，然后问题可求解；
（2）通过分组分解可得，然后问题可求解．
(1)
解：①原式=
=
=；
②原式=
=
=
=；
(2)
解：a2﹣ab﹣ac+bc＝0
∴或,，
∴或，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查因式分解及等腰三角形的定义，熟练掌握分组分解是解题的关键．
23．（2022·山东济南 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2－2xy＋y2－4＝(x2－2xy＋y2)－4＝(x－y) 2－22＝(x－y－2)(x－y＋2)．
②拆项法：
例如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1) 2－2＝(x＋1－2) (x＋1＋2) ＝ (x－1) (x＋3)．
(1)分解因式：
①4x2＋4x－y2＋1； ②x2－6x＋8；www.21-cn-jy.com
(2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，求△ABC的周长．
【答案】(1)①，②
(2)7
【解析】
【分析】
（1）①把原式化为再结合完全平方公式与平方差公式分解因式即可；②把原式化为再结合完全平方公式与平方差公式分解因式即可；
（2）把条件化为，再利用非负数的性质求解 从而可得答案．
(1)
解：①4x2＋4x－y2＋1
；
②x2－6x＋8
；
(2)
解：a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，
∴，
【点睛】
本题考查的是利用公式法分解因式，以及因式分解的应用，掌握“利用完全平方公式，平方差公式分解因式”是解本题的关键．
24．（2022·上海市田林第三中学八年级期中）解方程组：．
【答案】，，，
【解析】
【分析】
通过因式分解化简原方程组可以得到四个方程组，分别解四个方程组即可．
【详解】
解：∵，
∴原方程组可以化为：，，，
解这些方程组可得：，，，
∴原方程组的解为：，，，
【点睛】
本题考查了解方程组，解题的关键是通过因式分解的方法对方程组进行降次，通过降次转化为我们所学习过的二元一次方程组进行求解．
25．（2022·重庆南开中学八年级期中）对于一个四位正整数x，如果百位和十位的数字均为5，则称这个四位正整数为“五彩缤纷数”；若将这个“五彩缤纷数”的个位与千位交换位置后得到新的正整数记为，并记．例如：．
(1)最大的“五彩缤纷数”是_______；_______．
(2)若m为“五彩缤纷数”，记m的千位数字与个位数字分别为a，b，其中，a，b均为整数，且满足，求m．
【答案】(1)9559；
(2)5554
【解析】
【分析】
（1）最大的“五彩缤纷数”是个位和千位的数字都最大即可；F（1559）根据定义可以直接进行计算；
（2）先根据题目已知条件表示出m和，即可算出F（m），然后根据，求出a，b，的所有值即可
(1)
最大的“五彩缤纷数”是9559；
(2)
由“五彩缤纷数”定义可得：
，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴，解得
∴m为5554
【点睛】
本题主要考查因式分解的应用，理解题意表示出“五彩缤纷数”是解题的关键．
26．（2022·安徽阜阳·八年级期末）观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)请根据此图填空：
（___________）（___________）.
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
___________=（___________）（___________）
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.
尝试运用：
例题：把分解因式.
解：.
(2)请利用上述方法将下面多项式因式分解：；
【答案】(1)，；，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三个小长方形的面积与一个正方形的面积之和等于大长方形的面积列出等式即可；也可先根据分组分解法进行因式分解，两者得出的结果一致．
（2）根据题干的结论：=，将一个二次三项式分解因式，从而求出结果．
(1)
解：
= ；
=
=
=
=；
故答案为：x+p，x+q；（x+p）x+（x+p）q，x+p，x+q
(2)
解：
．
【点睛】
本题考查了利用几何图形的面积方法和分组分解法进行二次三项式的因式分解，掌握利用几何图形的面积的不同求法进行因式分解是解题的关键．
27．（2022·湖北随州·八年级期末）分解因式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用提取公因式法，即可分解因式；
(2)首先进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式，即可分解因式．
(1)
解：
(2)
解：
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差和完全平方公式是解题关键．
28．（2022·山东济宁·八年级期末）观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
乙：
（分成两组）
（直接运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分成两组，前两项一组，后两项一组，然后进行分解即可；
（2）分成两组，第一项，第三项，第四项分到一组，第二项单独一组，然后进行分解即可．
(1)
解：，
，
；
(2)
解：，
，
，
．
【点睛】
本题考查了因式分解——公式法，提公因式法，分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止．
29．（2022·甘肃天水·八年级期末）计算与因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)-7
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）根据乘法法则，算术平方根和立方根的概念求解即可；
（2）根据整式乘法法则，完全平方公式，合并同类项法则求解借款；
（3）先提取公因式，然后运用完全平方式因式分解即可；
（4）先把后三项提取负号，然后运用完全平方式因式分解，最后运用平方差公式因式分解即可．
(1)
解：原式；
(2)
解：原式
；
(3)
解：原式
；
(4)
解：原式
．
【点睛】
本题考查了乘法法则，算术平方根和立方根 ( http: / / www.21cnjy.com )的概念，运用整式乘法法则，完全平方公式进行化简，以及运用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式进行因式分解，正确掌握以上知识是解题的关键．
30．（2022·湖北黄冈·八年级开学 ( http: / / www.21cnjy.com )考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【答案】(1)（x﹣y＋4）（x﹣y﹣4）
(2)△ABC的形状是等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
(1)
x2-2xy+y2-16
=（x-y）2-42
=（x-y+4）（x-y-4）；
(2)
∵a2-ab-ac+bc=0
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
31．（2022·山东临沂·八年级期末）第一环节：自主阅读材料
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
……分组
……组内分解因式
……整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法．
(1)第二环节：利用这种方法解决以下问题：因式分解：．
(2)第三环节：拓展运用：已知a，b，c为的三边，且，试判断的形状并说明理由．
【答案】(1)；
(2)等腰三角形；见解析
【解析】
【分析】
（1）前两项提公因式，后两项提公因式，用平方差公式，可得y（x 2）（x＋2） 2（x 2）（x＋2），再次利用提公因式法即可得出结果；21*cnjy*com
（2）把进行整理可得：（2a＋b＋c）（b c）＝0，而2a＋b＋c≠0，只能是b c＝0，则有b＝c，即可判断△ABC是等腰三角形．
(1)
；
(2)
∵，
∴，
，
，
∵，
∴，即，
∴是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是对因式分解的方法的掌握与熟练应用．
32．（2022·甘肃定西·八年级期末）我们在课堂上学习了运用提取公因式法、公式法等分解因式的方法，但单一运用这些方法分解某些多项式的因式时往往无法分解．例如，通过观察可知，多项式的前三项符合完全平方公式，通过变形后可以与第四项结合再运用平方差公式分解因式，解题过程如下：，我们把这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种分解因式的方法解答下列各题：
(1)分解因式：．
(2)若三边满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)等腰三角形，见解析
【解析】
【分析】
（1）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式继续分解即可；
（2）先把所给等式左边利用分组分解法得到，由于，则，即，然后根据等腰三角形的判定方法进行解题．
(1)
解：原式；
(2)
的为等腰三角形．
理由：，
，
是等腰三角形．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定、因式分解的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
33．（2022·广东广州·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
(1)分解因式：2a2﹣8a＋8；
(2)请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
(3)若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．
【答案】(1)
(2)
(3)等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）先提公因式2，再利用完全平方公式分解；
（2）先分组，再利用分组分解法求解；
（3）把等式左边利用分组分解法因式分解得到，利用三角形三边的关系得到a=c或a=b，从而可判断△ABC的形状．
(1)
解：
=
=；
(2)
=
=；
(3)
=
=
=
=
=0
∴a=c或a=b
∴△ABC为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了利用完全平方公式分解因式， ( http: / / www.21cnjy.com )提公因式的方法分解因式，分组分解法是，因式分解的应用，等腰三角形的定义，理解题意，掌握“整体法分解因式”是解本题的关键．
34．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因 ( http: / / www.21cnjy.com )式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1）；
（2）．
【学以致用】
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
【拓展应用】
已知：，．求：的值．
【答案】（1）；（2）；
【拓展应用】．
【解析】
【分析】
此题根据因式分解的常用方法，观察各式，参照例子把分为再提取公因式分解即可，把化为再利用完全平方和平方差分解；
把化为再因式分解代入即可．
【详解】
（1）
（2）
【拓展应用】
∵，，
代入得：原式=．
【点睛】
此题考查了因式分解所涉及的相关知识：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法因式分解和分组结合等，也考查了学生对题文的理解能力．【来源：21·世纪·教育·网】
35．（2022·广东·江门市第 ( http: / / www.21cnjy.com )二中学八年级开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形．
【解析】
【分析】
（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．
（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．
【详解】
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2
=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是：a﹣b=0，a﹣c=0，
所以,a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【点睛】
本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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