4.5.3 函数模型的应用（学案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第四章 指数函数与对数函数
4.5.3 函数模型的应用
学案
一、学习目标
1.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
2.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.
3.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
二、知识归纳
1.常见的函数模型：
（1）一次函数模型：（k，b为常数，）.
（2）二次函数模型：（a，b，c为常数，）.
（3）指数函数模型：（a，b，c为常数，，，且）.
（4）对数函数模型：（m，a，n为常数，，，且）.
（5）幂函数模型：（a，n，b为常数，）.
2.利用函数模型解决实际问题的基本过程：
（1）审题：弄清题意，分清条件和要求的结论，理顺数量关系；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型；
（3）求模：推理并求解函数模型；
（4）还原：用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.
三、习题检测
1.螃蟹素有“一盘蟹，顶桌菜”的民谚，它不但味美，且营养丰富，是一种高蛋白的补品，假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为，假设该池塘第一年繁殖数量有200只，则第3年它们繁殖数量为( )
A.400 B.600 C.800 D.1600
2.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回出生地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为m/s时，它的耗氧量的单位数为( )
A.900 B.1600 C.2700 D.8100
3.在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0℃时的保鲜时间为120小时，在30℃时的保鲜时间为15小时，则该食品在20℃时的保鲜时间为( )
A.30小时 B.40小时 C.50小时 D.80小时
4.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%.如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖金y为1万元；销售额x为64万元时，奖金y为4万元.若公司拟定的奖励模型为，某业务员要得到8万元奖金，则他的销售额应为( )
A.512万元 B.1024万元 C.2048万元 D.256万元
6.某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元).要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工的绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少.则下列函数最符合要求的是( )
A. B.
C. D.
7.土壤沙化危害严重，影响深远，因沙漠化每年给我国造成的直接经济损失达540亿元，而间接经济损失更是直接经济损失的2～3倍，甚至10倍以上，若某一块绿地，每经过一年，沙漠吞噬其绿地面积的，经过x年，该绿地被沙漠吞噬了原来面积的，则x为__________.
8.某种细菌经30分钟后数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示繁殖后细菌总个数，则________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为_____________.
9.某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快，开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过月份的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；
（2）问约经过几个月，该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1000倍？（参考数据：，，，）
10.一片矿山原来的体积为a，计划每年开采一些矿石，且每年开矿体积的百分比相等，当开采到原体积的一半时所需要的时间是12年，为保护生态环境，造福下一代，矿山至少要保留原体积的，已知到今年为止，矿山剩余为原来的.
（1）求每年开采矿山的百分比.
（2）到今年为止，该矿山已开采了多少年？
（3）今后最多还能开采多少年？
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意得，，，则第3年数量.故选C.
2.答案：C
解析：当时，，即，故，所以.故选C.
3.答案：A
解析：由题意可得，解得，所以当时，.故选A.
4.答案：A
解析：设每年减少的百分比为a，由在50年内减少，得，即，所以经过x年后，y与x的函数关系式为.
5.答案：B
解析：依题意得，即，解得，，所以，当，即时，解得.故选B.
6.答案：C
解析：由题意知，拟定函数应满足：①时单调递增函数，且增长速度先快后慢再快； ②在左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数在内先减后增，不符合要求；B中，函数是指数型函数，增长速度越来越快，不符合要求；D中，函数是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求；在C中，函数的图象是由函数的图象经过平移和伸缩变换得到的，形状符合要求，且最小值为500.故选C.
7.答案：3
解析：先求绿地剩余面积y随时间x（年）变化的函数关系式，设绿地最初的面积为1，则经过1年，，经过2年，，…，那么经过x年，则.依题意得，解得.
8.答案：；1024
解析：由题意知，当时，，即，所以，所以.
当时，.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.
9.解析：（1）因为的增长速度越来越快，
而的增长速度越来越慢，
所以依题意应选择，
则有，解得，
所以.
（2）当时，，
设经过x个月，该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1000倍，
则，
解得.
故约经过17个月后该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1000倍.
10.解析：（1）设每年开采体积的百分比为x()，
则，解得.
（2）设经过m年剩余体积为原来的，
则，即，解得，
故到今年为止，已开采了6年.
（3）设从今年开始，再开采n年，则n年后剩余体积为.
令，即，，解得，
故今后最多还能开采18年.
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