2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义解三角形及其应用（有解答）

【新高考二轮复习——重难点精选专题】
三角函数与解三角形-解三角形及其应用
专题综述
解三角形问题是历年高考数学试卷中比较常见的基础考点之一，也可以充分体现在知识点交汇处命题这一指导精神，经常巧妙融合平面几何，函数、三角函数等相关知识综合考查.近年来，高考中解三角形问题呈现出一些新的面貌，形式新颖，特别是交汇知识的一些新面孔，如与平面向量、基本不等式、立体几何的交汇，要引起我们的高度重视.
专题探究
探究1：与平面向量交汇
解三角形与平面向量交汇问题，往往要求考生结合平面向量以及解三角形的相关知识加以转化，从而有效的把两者的知识融合求解.
答题模板：
第一步: 根据平面向量知识转化为未知数方程;
第二步: 求解方程即可.
(2021河北月考试卷)在中，角的对边分别为，已知向量
，，且满足．求角A的大小.
【审题视点】
本题为求值类试题，根据题干信息找等量关系。
【思维引导】
根据所给的向量的坐标和向量的模长，得到关于角A的三角函数关系，结合角A是三角形的内角得到结果．
【规范解析】
因为,所以
代入, ,
有
所以
即
所以,即.
【探究总结】
与平面向量结合的问题，首先要根据平面向量内容转为为关于边、角的方程，求解.
(2021江苏省期中考试)在中，角的对边分别为,已知向量
，，且,
(1)求的大小；
(2)若点为边上一点，且满足，，，求的面积．
探究2：与不等式交汇
解三角形与不等式的交汇问题，是一类比较常见的综合问题，往往是需要综合应用正弦定理、余弦定理及基本不等式的知识求解.
(2020真题)中，，
（1）求;(2)若，求周长的最大值.
【审题视点】
观察式子，形式接近余弦定理，利用正弦定理、余弦定理求解.求最值找不等关系.
【思维引导】
由第一问可得关于方程，利用不等式求最大值即可得周长最大值
【规范解析】
解：(1)在中，设内角的对边分别为，
因为，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，因为，所以．
(2)由(1)知，，因为，即，
由余弦定理得，，
所以，
由基本不等式可得，所以
所以当且仅当时取得等号，
所以周长的最大值为．
【探究总结】
解三角形，通常首先借助正弦定理、余弦定理构造相应关系式，再通过构造、配凑等技巧构造相应不等关系，从而有效解决最值或范围问题.
(2020广东省广州市模拟)在中，角的对边分别为，其外接圆的半径，则的最小值为____．
探究3：与平面（立体）几何交汇
通常挖掘图形的几何性质，较好的考查化归转化思想及数学运算思想
(2021真题)如图,在三棱锥的平面展开图中，,,
,，,则_____.
【审题视点】
平面展开图，充分考虑展开过程中变与不变的量
【思维引导】
在不同三角形中先利用勾股定理和余弦定理确定相应的边长，再利用空间几何体与平面展开图之间的关系，建立相应的边长关系，最后利用余弦定理求解.
【规范解析】
解：由已知得,
∵重合于一点,
∴，，
在中，由余弦定理得

所以， ,得
在中，
由余弦定理得
故选D
【探究总结】
在解决与几何交汇的试题时，通常需借助几何图形的边、角关系合理推理,巧妙的转化,继而求解.
(2021浙江省台州模拟)如图所示,位于处的信息中心获悉:在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距的处的乙船，现乙船朝北偏东方向沿直线前往处救援，则等于( )
A. B. C. D.
专题升华
破解不同交汇背景下的解三角形问题，关键是利用题目条件，合理的建立相应的平面几何图形，有效发现对应三角形中的边、角元素之间的内在联系与变化规律，进而利用正弦定理，余弦定理，三角形面积公式等相关的知识进行求解，这充分体现了知识体系的融会贯通，提升了数学解题能力与数学应用能力，真正拓展数学知识，发散数学思维，提升数学能力.
【答案详解】
变式训练1
【解析】(1)因为 ,
由,所以
在中,由正弦定理得,
得，即
又所以,而，∴.
(2)由知, , ∴ ,
两边平方得①
又，所以②，
由①②得,所以
变式训练2【答案】144
【解析】因为外接圆的半径，所以
则,,
所以
当且仅当时取等号，故所求的最小值是144.
故答案为：144．
变式训练3【答案】
【解析】如图所示，在中，，，，
由余弦定理得
, ,
由正弦定理得
由知为锐角，故,
故．
故选.
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