2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义 三角恒等变换及综合应用（有解答）

【新高考二轮复习——重难点精选专题】
三角函数与解三角形-三角恒等变换及其综合应用
专题综述
三角恒等变换及其综合应用问题高考中以公式的基本运用、计算为主，题型以选择和填空为主，算是比较基础的题型是我们必须拿下的一部分.但由于三角函数诱导公式众多，解题时如果没有正确的方向，则容易陷入繁杂的化简过程，造成解题障碍.同学们只要在解题中注意发现条件角与结论角、条件式与结论式之间的联系，并认真研究三角函数诱导公式的一些结构特征，从整体上把握公式，就能做到灵活运用，达到解题突破.
专题探究
探究1：变换角
三角恒等变换中，要注意观察条件角与结论角之间的特征，寻找它们之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角和差公式等求解.在进行角的变换时，还可以将条件角、结论角与特殊角如、、等建立联系，然后把“结论角”用“条件角”或特殊角表示出来.
(2021.山东模拟)设为锐角，若，则的值为_______.
【审题视点】
把结论角用条件角和特殊角表示，采用换元变角法。
【思维引导】
观察条件角与结论角的关系，当不能直接看出的时候，可转化为方程求解。
【规范解析】
(
设新元
)设，，可得，
(
用新元表示结论
角
)由，可得.
因为，，可得，
所以，，
(
求解
)故.
【探究总结】
当“条件角”有一个时，我们应着眼于“结论角”与“条件角”的和或差的关系，来进行变换.当“条件角”有两个时，“结论角”一般可以表示为两个“条件角”的和或差的形式.
(2021·山东省期末考试)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题.
已知，，，____，求.
探究2：变换函数名
有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需要变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦等等，以达到统一函数名称的目的。在变换函数名称的过程中，常用到公式有诱导公式、、,同角三角函数基本关系，、辅助角公式、二倍角公式等.
（2021.新高考全国Ⅰ卷）若，则（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
将结论式用条件式表示即可。
【思维引导】
利用作为桥梁，运用完全平方公式，化异角为同角.
注意到是关于的二次齐次式，可改变结构，化为关于的齐次式求解.
【规范解析】
(
化同角
，
化同
构
) (
用条件式表示结论式
) 原式
故选：．
【探究总结】
利用同角三角函数关系、二倍角公式将其化简为后，添加分母1，转化为齐次式，再分子分母同除即可,解题时要注意“1”的代换，
(
西南大学附属中学
高级教师
龙万
明
1.
高考真题，契合新高考评价体系中“一核四层四翼”中的基础性.
2
.
题目巧妙之处在于先利用
将分式化为整式，再利用弦切互化又将整式化为分式齐次式,是一道不错的推陈出新的题目.如果利用切化为弦处理，则要解二元二次方程组，效率不高.
3
.
试题看似在进行循环化简，但考察的是学生对于三角恒等变形基本技巧，基本结构的洞察力，培养学生的逻辑推理与数学运算的核心素养.
)如：，，及的情况的讨论.
(2021.湖北模拟)若，则的值是_______.
专题升华
求解三角恒等变换问题的基本思路是一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”，首先就是观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心，其次是看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，再次观察代数式的结构特征.从而迅速找到解决问题的办法.
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】解：选择条件①，．得，
因为，所以，可得； 所以；
由于，，所以，
所以；
所以.选择条件②：，，
所以；
由于，，所以，
所以；；
所以
选择条件③：因为，所以；
由，可得，解得，；
由于，，所以，
所以；
所以.
变式训练2【答案】
【解析】
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