2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义数列的递推公式(有解答)

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名称 2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义数列的递推公式(有解答)
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文件大小 778.1KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2022-11-09 20:19:33

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文档简介

【新高考二轮复习——重难点精选专题】
数列—数列的递推公式
专题综述
数列的递推公式是求通项公式的重要方法之一,数列的通项是数列部分的基础内容之一,在数列中占有重要地位,在高考中很少独立命题,但求数列的通项公式过程中的归纳、猜想、递推意识却融入数列的试题之中.求数列通项公式的方法有:归纳法、利用求、递推公式推导通项公式、派生数列等,其中递推公式推导通项公式较之其他方法,模型较多,过程体现转化思想,将非特殊数列问题转化为特殊数列问题来解答.复习数列的递推公式特别注意:构造特殊数列求通项,本专题就递推公式的常用的方法进行探究.
专题探究
探究1:构造等比数列
1.待定系数法构造等比数列
答题思路:
(1)形如(其中均为常数,)
变形为用待定系数法求,即构造以为首项,为公比的等比数列.
(2)形如(其中均为常数)
变形为用待定系数法求,即构造以为首项,为公比的等比数列.
(3)形如 (其中为常数,)
①(其中均为常数,)待定系数法求,即构造以为首项,为公比的等比数列
说明:若,则,变形为累加法;变形为构造等差数列.
②()待定系数法求,即构造以为首项,为公比的等比数列.
说明:其它的形如 的递推公式都可以利用待定系数法构造等比数列,不一一说明.
2.取对数法构造等比数列
答题思路:
形如()两边同时取对数设,即转化为待定系数法构造等比数列.
(2021浙江省台州市模拟) 已知数列满足,若,则数列的通项( )
A. B. C. D.
【审题视点】
已知的值,相邻3项之间的递推关系,尝试变形为的形式.
【思维引导】
,构造等比数列.
【规范解析】
解:由题意得,,
即,
即,
即,
又 ,
即数列是以2为首项,2为公比的等比数列,




则数列的通项为,
故选
【探究总结】
递推公式往往比较复杂,需要变形简化关系,明确用何种方法求通项公式.函数相邻3项的递推公式,变形后往往会出现 的形式,注意构造等比数列或等差数列.
(2021山西省太原市模拟) 已知首项为1的正项数列满足若,则实数的值为( )
A. 64 B. 60 C. 48 D. 32
探究2:构造等差数列
构造特殊数列是解决数列问题的重要方法,除构造等比以外,还要熟练的构造等差数列.
答题思路:
(1)同除法构造等差数列
①形如转化为构造数列等差数列;
②形如变形为构造等差数列;
(2)倒数变换法构造等差数列
形如(为常数,)两边取倒数,变形为若即构造等差数列;若,则可利用待定系数法构造等比数列.
(2021福建省福州市)数列中,,若不等式恒成立,则实数的取值范围是  .
【审题视点】
递推关系为分式结构,联想到等式两边先取倒数,再观察递推公式符合何种类型.
【思维引导】
将递推公式两边同时取倒数,变形为,构造等差数列.
【规范解析】
解:,

即,又,
数列是以2为首项,1为公差的等差数列,

不等式化为:
,当且仅当时取等号,
由,则当时,取最小,最小值为

故答案为:,.
【探究总结】
求数列通项公式的题目往往会和其它知识点综合考查,求通项公式是解题的第一步.递推关系为分式结构时,可以先想到两边同时取倒数,变形为,转化为数列的递推公式,再构造数列.
(2021湖南省四校联考) 已知数列满足,,设,若数列是单调递减数列,则实数的取值范围是
  
A., B., C., D.
探究3:累加法与累乘法
累加法与累乘法是递推公式求通项公式的基本方法,递推公式变形后为或的形式,可利用累加法或累乘法求通项公式,注意两种方法求出当时的通项公式,要验证当时,是否满足.
说明:与也可用迭代法求通项公式.
(2021浙江省温州市模拟) 已知数列满足,,且,则数列的前18项和为( )
A. 120 B. 174 C. -204 D.
【审题视点】
递推公式变形后满足,用累乘法求通项公式;的通项公式中有“周期”,求和时可以相邻3项一起求和,呈现规律性.
【思维引导】
递推公式变形为,累乘法或迭代法求出的通项公式,再求出的通项公式,具有周期性,所以数列求和时,可以相邻3项为一“周期”,先求和再汇总.
【规范解析】
解:,
故即,
,…,
故,
即,即
当时,
,,

数列的前18项和为:
故选:
【探究总结】
累加法或累乘法求通项公式时,要注意求出的通项公式是从第几项使用,对于未取到的项需验证.
(2021湖北省荆州市高三模拟) 已知数列、满足,,当时,,求数列、的通项公式.
专题升华
利用数列的递推公式求通项公式,解题方法灵活多样,技巧性较强.在数学思想方法上考查了待定系数法、不完全归纳法、递推思想、化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想等.大致可分为三大类:累加法、累乘法、构造特殊数列,其中构造特殊数列的递推公式的形式有①(其中均为常数,);②(其中均为常数,);③其中均为常数);④ ();⑥();⑦(其中均为常数);⑧;⑨().每一种形式,都有多种求通项公式的方法,不局限于上述探究方法.如常见的形式①②:
形式①:
(1)待定系数法:上述;
(2)累加法:
相加得,求出
(3)迭代法:
形式②
(1)当时,,累加法或迭代法;
(2)当时,①,累加法或迭代法;②转化为形式①解决;③,待定系数法求出,构造等比数列.
掌握由递推公式求通项公式常见的方法,在解题时能够熟练变形,注意细节,快速求出通项公式.
【答案详解】
变式训练1
【答案】A.
【解析】解:由题意得

令,则,两边取对数得,
又,
则数列是首项为,公比为2的等比数列

,即,
,由,
故选
变式训练2
【答案】B.
【解答】解:由得:

,即,
数列是首项为,公差为的等差数列,

,即,

数列是单调递减数列,
对于,,即,
即,
令,

在上单调递增,在,上单调递减,
又,,
当时,,
即,

即实数的取值范围是,,
故选:.
变式训练3
【解答】解:,

即,

.
当时,,故.
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